育人为先轻负担 素养导向显思维——2021年浙江省杭州市数学中考试题评析

方成勇

(千岛湖初级中学，浙江 淳安 311700)

2021年是浙江省杭州市“全员中考”的第一年，新形势给中考备考和命题提出了新的要求.针对“2021年杭州市中考数学试题的特色，初中数学课堂教学的导向”等问题，笔者谈谈自己的认识，以期和同行交流.

1 试题的特点

2021年杭州数学卷以素养导向为命题原则，严格遵循《义务教育数学课程标准》的要求，全面考查了初中阶段的主要内容和核心思想方法.试卷整体呈现出“低起点、多层次、促发展”的特点，“低起点”体现在选择题、填空题、解答题分别进行系统设计，入手容易，入口较宽；“多层次”体现在试题的思维层次上，注重为学生提供可以多宽口、多渠道加以解决的问题，尽量回避方法单一的问题；“促发展”体现在试题的应用性和创新性上，充分发挥数学学科的育人价值.

1.1 新结构，体现素养导向

本次试题创新了题型的设计，优化了试题的结构，其中第19题为结构不良问题，具有很好的开放性.

何为结构不良问题？我们先来看结构良好问题，它是指问题的初始状态、目标状态和算子都是完整的，而结构不良问题则是这3者中至少有一个没有明确界定的问题，所谓算子就是解决问题的方法和途径[1].

例1在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC这3个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图1，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在边AB上(不与点A，B重合)，点E在边AC上(不与点A，C重合)，联结BE，CD，BE与CD相交于点F.若________，求证：BE=CD.

图1

注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分.

(2021年浙江省杭州市数学中考试题第19题)

分析本题属于条件缺失的结构不良问题，要求学生从给定的3个条件中任选一个将题目结构补充完整再作解答.

不同的选择将导致解答策略和方法不同.比如选择条件①，可利用“边角边”证明△ABE≌△ACD，从而获得结论；若选择条件②，则可利用“角边角”证明△ABE≌△ACD获得结论.各方法针对学生个体的熟悉程度也有差异，因此在解答时，需针对自己熟悉的方法和解答策略做出优化判断，实现从多角度对学生知识与能力的考查.试题难度不高，但更注重对学生探索精神和自主学习品质的考查.

由于结构不良问题具有条件模糊、解决方案多样、结果开放等特点，其解决过程能有效地激发学生的求知欲、帮助学生多角度把握问题本质、追寻知识背后的价值、形成跨学科综合解决问题的关键能力[2].因此本次试题结构的创新，符合中考从能力立意到素养导向的转变，在促进学生素养的养成和能力的提升方面具有深远意义.

1.2 新情境，强调应用创新

本次试题依托内容情境化，优化了传统数学情境，增设“五育”情境，突出“应用性”和“创新性”的考查要求和命题导向.

1.2.1 优化数学情境，考查数学阅读能力

例2如图2，在直角坐标系中，以点A(3，1)为端点的4条射线AB，AC，AD，AE分别过点B(1，1)，C(1，3)，D(4，4)，E(5，2)，则∠BAC______∠DAE(填“>”“=”“<”中的一个).

图2

(2021年浙江省杭州市数学中考试题第15题)

分析本题以直角坐标系中角的研究展开，优化了课本中将相似三角形设置在网格中的单一形式，考查学生在复杂情境中抽象出研究对象、选取合适的研究路径、分析并解决问题的能力.

思路1通过测量，提出猜想∠BAC=45°.联结BC，可证△ABC为等腰直角三角形，得∠BAC=45°，同理可得∠DAE=45°.在这个过程中考查学生利用测量、猜想、证明的几何研究思路分析并解决问题的能力.

思路2关注角度的大小关系，进一步关注三角形之间的关系，通过构造相似三角形进行求解.如联结BC和DE，利用三边对应成比例的两个三角形相似得△ABC∽△AED.

思路3在已知图形在网格中，思考是否存在学过的类似结构的图形.如图3，该图形来源于浙教版《数学》九年级上册第163页“目标与评定”第12题.

图3

于是

△CAD∽△CEA，

得

∠CDA=∠CAE，

故

α+β=∠ACB=45°.

即

∠DAE=45°.

该图形也展示出通过向量求夹角的基本图形,从而

即

∠BAC=45°.

新数学情境的设置方式体现了试题对教学改革的引导作用，引导教学关注几何研究的基本思路，重视数学活动经验的积累.

例3如图4，已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心、AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP∶AB=

图4

( )

(浙教版《数学》九年级上册第123页作业题第6题改编)

以上试题改变了传统的几何问题呈现形式，从不同的视角和顺序呈现条件与结论，优化了数学情境，体现了数学知识之间的关联，同时考查了学生在新的数学情境中的阅读能力和探究能力.

1.2.2 拓宽现实情境，落实“五育”并举

除了数学课程学习情境、数学探索创新情境外，本卷共出现了5道生活实践情境的题目.这5道题将国家经济社会发展、科技进步、生产生活实际等融入“五育”要求，通过考查学生灵活运用所学知识分析并解决实际问题的能力，使试题成为育人的重要途径和载体，突出“应用性”“创新性”“育人”的考查要求和命题导向.

例4“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10 909米的我国载人深潜纪录.数据10 909用科学记数法可表示为

( )

A.0.109 09×105B.1.090 9×104

C.10.909×103D.109.09×102

(2021年浙江省杭州市数学中考试题第2题)

例4以中国为之骄傲的“奋斗者”号载人潜水器为背景设置试题，考查学生对科学记数法的理解和掌握.试题注重基础，在考查知识的同时能够激发学生的爱国情怀.

例5某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次.设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x(其中x>0)，则

( )

A.60.5(1-x)=25 B.25(1-x)=60.5

C.60.5(1+x)=25 D.25(1+x)=60.5

(2021年浙江省杭州市数学中考试题第5题)

例5以某景点接待游客人次变化为背景设置试题，考查了学生对现实情境进行数学抽象、用数学方法进行构建模型的能力.同时通过四月到五月游客人数的爆发式增长，展示社会主义制度在抗击疫情、国家建设等方面所取得的巨大成就，增强学生的民族自信心和自豪感.

例6为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成4组，绘制成如表1所示的频数表和未完成的如图5所示的频数直方图(每一组不含前一个边界值，含后一个边界值).

表1 某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表

图5

1)求a的值;

2)把频数直方图补充完整;

3)求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比.

(2021年浙江省杭州市数学中考试题第18题)

例6以考生日常运动“跳绳”为素材设计数据分析题，考查频数直方图在数据统计中的作用，体现了学生获取有效信息并进行定量分析的意识和能力.将大家熟悉的运动命制在情境化试题中，让学生利用数学知识解决体育问题，鼓励学生积极参加体育锻炼，享受运动乐趣，发挥数学情境的育人价值.

1.3 新导向，突显数学本质

对学生数学思维的考查主要体现在学生认识数学、理解数学和感悟数学的过程中.本次试题在充分理解教材、挖掘教材的基础上，基于教材与教学进行设计，呈现出导向核心概念、导向过程的命题导向，进而考查学生的数学探究能力和思维品质.

1.3.1 导向核心概念，考查理性思维

课标中的核心概念既是课程与教学目标的核心，又彰显了数学能力，在试题中有多个题目直击数学核心概念，突出数学本质，重点考查学生的理性思维.

理性思维是按照数学对象本身的规律来认识数学对象，即不受制于无关因素的干扰，以概念、判断、推理的方式进行逻辑的思考，从而得出概念清晰、逻辑严密的结论[3].

例7已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x=m时，函数值分别为M1和M2.若存在实数m，使得M1+M2=0，则称函数y1和y2具有性质P.以下函数y1和y2具有性质P的是

( )

A.y1=x2+2x和y2=-x-1

B.y1=x2+2x和y2=-x+1

(2021年浙江省杭州市数学中考试题第10题)

分析本题为数学中的新定义问题，考查学生对于新定义的阅读与理解.但仔细思考发现“若存在实数m，使得M1+M2=0”的描述在方程的解中曾出现，源于教材又高于教材，考查学生在新的情境中对于核心概念的把握与理解.学生掌握方程解的概念，并利用根的判别式判断方程是否存在实数解进而解决问题.

本题设置在函数情境中，图像与性质是函数学习的主体.通过对函数图像的研究，从图形角度可以发现函数y1和y2具有性质P,也就是相应函数图像存在交点，通过画图可求解.

本题在函数中定义新性质，挖掘教材中知识的内在联系，将基础知识、方法进行一定的综合，为学生提供了多角度思考问题的机会，同时关注了初高中函数内容的衔接.试题导向核心概念，体现对抽象概括能力、推理能力、发现和提出问题等数学能力的考查，更关注数学本质.

1.3.2 导向过程，考查探究能力

试题始终围绕课标，关注学生学习过程的评价,多道试题突显出过程性评价与知识性评价并重，注重学生知识的形成过程、数学活动经验的积累过程、数学思维的发展过程.

例8在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图像的关系”活动中，教师给出了直角坐标系(如图6)中的4个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3).同学们探索了经过这4个点中的3个点的二次函数的图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为

图6 图7

( )

(2021年浙江省杭州市数学中考试题第8题)

分析依托学生熟悉的探索活动，考查学生用描点法画函数图像和选择合适方法求出函数表达式的能力.学生初看试题，发现可以通过枚举法求解，通过画图分析发现4个二次函数图像中有两个图像开口向下，进而优化求解过程，只需求出开口向上的两个函数图像(如图7)对应的函数表达式.

本题以课本中熟悉的探究活动为背景，模拟学生在学习过程中发现与提出问题的场景，体现课标的总目标，鼓励学生发现问题、提出问题，进而分析问题、解决问题.考查学生在探究过程中运用所学的知识、思想方法，特别是通过所积累的活动经验获取有效信息，选择恰当的方法，从而形成解决问题的思路.

这类试题关注学生学习过程的评价，它不只局限于对知识本身的考查，而是通过创设适宜的情境，以实践操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生经历探究和解决问题的一般过程，考查学生的探究能力，突显出过程性评价与知识性评价并重.

2 教学建议

全卷依据课标的知识与能力要求命制，试题“不超标”，引导课堂教学紧扣课标要求实施教学；依据教材表述设计试题的设与问，试题“不挖坑”，引导课堂回归教材.

全卷整体着重考查的是基础知识的扎实度、有效数学活动经验积累的厚度、数学本质理解的深度、数学思想的感悟度.这就要求课堂教学要紧紧围绕以下4点下功夫：在合适的数学情境与现实情境中设置兴趣点，培养学生学习数学的兴趣；在充分的探索、实践活动中抓住关键点，激发学生数学思考的活力；在多角度的思考中提出质疑点，提升学生发现和提出问题、分析并解决问题的能力；在分析问题的关键处形成生长点，养成用数学的眼光观察世界、用数学知识解决问题的习惯.

同时要求平时的教学回归与学生认知特点和学科发展规律相一致的正常课堂教学，切实减轻学生的负担，为学生“减负”创造良好的教育生态.