联想类比 自然构建——“双曲线的简单几何性质”的教学与思考

黄启明, 陈碧芬

(1.三山高级中学,浙江 慈溪 315300；2.浙江师范大学教师教育学院,浙江 金华 321004)

0 引言

在当前数学学习中，学生学习完新知识后感觉掌握得挺好，但是学完一个单元甚至一个学期的数学内容后却发现没那么容易掌握，这其中有数学内容本身的综合性、复杂性等原因，但更重要的是学生在学习数学知识时没有将相关的内容进行联系、没有建立良好的数学认知结构.在教学中由于各种原因，基本上是教师带着学生学习“应该要学的内容”，常常会省去“为什么学”“怎么来的”等知识获得的过程，直接跳到“是什么”“有什么用”上.这必然会让学生不明白这些新知识与已有知识之间的关联是什么.实际上，数学是站在巨人肩膀上发展起来的，数学的结构性特点也给我们启示：数学学习应该在相互联系的系统中理解、巩固并应用.心理学家保罗认为：理解是心理挑选、分析并把相关的可观察的事实整合在一起，拒绝不相关的，直到织成符合逻辑的合理性知识[1].可见，理解某物就是要将新知与旧知联系起来，将凌乱的知识梳理出清晰的结构.联想、推演、类比等是将新旧知识联系起来常用的学习方法.

本文以人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学(选修2-1)》中“双曲线的简单几何性质”为例，探索如何运用联想类比来实现知识的自然构建.

1 案例及解析

学生已经学习了椭圆的标准方程与简单几何性质以及双曲线的标准方程.由于双曲线的相关内容和学习方法与椭圆具有高度的相似性，因此，可以通过与椭圆的简单几何性质进行类比，通过学生合作讨论获得双曲线的简单几何性质的学习方法.下面通过几个教学片段呈现如何通过与椭圆相关内容的联想类比来实现双曲线简单几何性质的自然构建.

片段1类比椭圆的几何性质，确定研究的具体内容.

师：上一节课我们根据实验在黑板上画出了双曲线，并建立坐标系得出了它的标准方程.大家认为关于双曲线还可以研究什么？你是怎么想到的？

生1：研究双曲线的性质.在学习椭圆时，我们先学了椭圆及其标准方程，后面学了它的几何性质.

师：学习椭圆的几何性质有什么用？学习双曲线的几何性质又有什么用呢？

生2：可以让我们更准确地画出椭圆和双曲线.

师：还记得我们研究了椭圆的哪些几何性质？是如何研究的？

生3：研究了椭圆的长轴与短轴的范围、对称性、顶点及离心率.

生4：通过研究椭圆的方程得出性质.

师：猜想双曲线的几何性质有哪些？如何进行研究？

生5：类比椭圆，应该也有长轴与短轴的范围、对称性、顶点等，可以从特例出发进行研究.

设计说明从本质上来讲，3种圆锥曲线的研究视角和研究方法基本上是一致的.在这个环节中，引导学生回忆椭圆的几何性质，从而通过联想类比猜想双曲线的几何性质可能包含哪些内容，可以通过什么方法来研究这些性质.

片段2类比椭圆几何性质的研究方法，凸显双曲线的特有性质.

师：对称性呢？

师：顶点呢？

师：回顾同学们之前画的椭圆，有的较圆，有的则较为扁平，因此椭圆的扁平程度与哪些量有关?

生9：画椭圆实验时，把一条长为2a的绳子两端固定在点F1,F2处，改变两端点间的距离(即焦距2c)，发现焦距越大，画出来的椭圆越扁平.第二次实验时，焦距确定，改变绳子的长度，发现绳子越长，画出来的椭圆越圆.由此可见，椭圆的扁平程度受2a与2c的影响.

学生拿出课前准备好的拉链，小组合作探究画双曲线，然后派代表发言.

生10：当2a确定时，2c越大，双曲线张口越大.反之，若2c确定，2a越大，则双曲线张口越小.

生11：有两条渐近线，分别是x=0和y=0.

师：是怎么求出来的？

2 教学反思与启示

上述教学类比椭圆几何性质的研究思路，充分提取了已有的数学活动经验.渐近线是双曲线不同于椭圆的特有性质，研究中运用了从特殊到一般的研究方法，积累了新的数学活动经验，实现了双曲线几何性质的联想类比、自然构建的过程.

2.1 抓住数学本质，进行联想类比

类比推理是指两类对象具有某些类似特征和其中一类的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理方式.函数与曲线方程本质上是相通的，都是动点的坐标所满足的关系式.因此，学生按照以往函数性质所涉及的几个方面，不难联想陌生曲线方程——双曲线的几何性质所应研究的范畴.可见抓住了数学概念间本质上的共性，就如同找到了学生的最近发展区，为联想类比插上了翅膀，从而实现了概念的自然建构.

2.2 联系新旧知识，关注研究方法的一致性

数学知识有着千丝万缕的联系，数学问题的研究方法亦是如此.学生学习数学知识、方法也不是一次完成的.因此，教师要把数学知识、方法的教学放在整个高中数学的背景下系统处理.这就要求教师具备揭示数学各部分内容之间内在联系的意识，具有挖掘数学知识、方法间相互联系的方法，才能真正授学生以渔.函数的诸多性质，如单调性、奇偶性、周期性等都是从代数角度加以定义的，而函数图像恰恰是其性质的综合反映.这与解析几何的本质——用代数的方法研究图形的几何性质是不谋而合的.这也就促成了双曲线几何性质的探求可以从研究其方程入手.

同时，椭圆和双曲线都是圆锥曲线，其研究思路与方法是一致的，教学中让学生在不断比较二者异同点的过程中，探索标准方程与几何性质，也为后继学习抛物线的方程与几何性质奠定了知识与方法基础.

2.3 设置开放性问题，充分发挥学生的主观能动性

在概念教学中，教师应充分调动学生头脑中相关的知识经验，促使学生主动参与知识的构建，在探究中对概念的形成与抽象有所体验.要产生这样的探究体验，最好的引导途径就是问题引领.提出问题引导学生思考是数学教学的一条基本原则.在教学中，教师应当构建以问题为纽带的课堂.而开放性问题就是一种有效的提问方式.教师所提出的问题既要符合学生的认知需求、认知水平，又要能激发学生的学习兴趣与热情.如片段1中，教师提问“猜想双曲线的几何性质有哪些？如何进行研究？”这一开放性问题有助于学生联想椭圆的几何性质以及研究的思路与方法，点明了本节课的学习内容，同时也指明了研究双曲线几何性质的思路与方法.因此，只有把学习设置到有意义的问题情境中，才能充分调动学生的主观能动性，实现真正的学习.