借助数形结合解决数学难题

摘 要：数学作为初中阶段的基础学科，数学解题是重要的教学内容，特别是数学难题解答.在实际的数学解题中，有着不少的疑难题目，使得学生解题较为困难，作为教师，应当注重数形结合思想的引入，帮助学生明确解题思路，提高学生解题效果.通过数与形之间的转化，完成数学和几何知识的联系，提高学生解题效率.因此，在初中数学难题解答中，教师应当引导学生利用数形结合思想，保证学生学习效果.本文分析初中数学难题解答中，数形结合的应用策略.

关键词：初中数学;难题解答;数形结合;应用策略

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）32-0030-02

收稿日期：2021-08-15

作者简介：何映霞（1977.2-），女，安徽省合肥人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

在初中数学教学中，应当全面了解数学学科特点，结合数学学科逻辑性强的特点，优化课堂教学方式，帮助学生掌握数学知识.初中数学难题解答中，引入数形结合思想，将几何知识和代数知识联系起来，借助代数方式解答几何问题，利用几何图形解答代数问题，将复杂问题简单化，降低题目解答难度，有效解决数学难题.通过数形结合思想的有效利用，促进学生数学思维发展，培养学生综合素质.

一、借助数形结合使得难题简单化

在初中数学解题中，多数的数学题目看似简单，但其题目中隐藏着几个干扰信息，并且数学题目主要是通过语言和数字进行描述，使得题目较为冗长繁琐，解题较为枯燥，学生很容易掉入陷阱，使得学生解题出现错误，甚至会影响到学生自信心，使得学生产生厌学心理.因此，作为初中数学教师，应当注重数形结合的引入，帮助学生解答难题，根据题目叙述通过图形展示，清除题目中的干扰信息，获取有价值的数学信息，降低题目解答难度，顺利完成题目解答.

例1 x、y、z均为介于（0，1）之间的数，求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）小于1.

解析 根据题目中的已知，x、y、z均介于（0，1）并且出现了x（1-y）、y（1-z）、z（1-x）三个代数式，如果按照常规解题方式，难以完成题目求解，解题过程非常复杂，很容易出现解题错误.因此，教师可以引导学生利用数形结合方式，对题目进行分析.教师首先让学生画出一个正方形，并且正方形的边长是1，之后，在边上分别划分部分，分别表示x、y、z，如图1所示.通过对图形进行分析，将三个代数式转化成图形面积，并且做出相应的分析.如x（1-y）表示其中的一个长方形面积，同理对其他两个代数式进行分析.那么x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）则转化成图形面积，而正方形的面积是1，所以得出x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1成立.

通过对上述例题的分析，在数学难题解题时，教师应当能够引导学生正确利用图形，将复杂题目简单化处理，帮助学生思考和解答难题，明确问题解决思路，找出其中的数量关系，提高学生解题效率.

二、借助数形结合使得难题形象化

数学学科具有比较强的逻辑性和抽象性，对于多数的初中学生来说，语言叙述较为枯燥，难以调动学生积极性，直观形象的信息更能吸引学生，激发学生探究欲望.虽然初中学生已经具备一定的抽象思维，但是，在实际的数学难题解答中，依然有着一定的难度.如果学生面对难题，能够结合题目意思，将文字叙述转化成直观的图形，可以帮助学生对已知条件进行整理，寻找其中蕴藏的信息，有效理解题目内容，找出难题解答突破点，有效解答数学难题.

例2 如图2所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+ax+b和x轴的两个交点为A（1，0）、B（3，0），点P是抛物线上一点，且在第一象限，直线BP与y轴的交点是C.（1）求解抛物线y=-x2+ax+b的解析式;（2）当P点是线段BC的中点时，求解P点坐标.（3）在（2）的条件下，求解sin∠OCB的值.

解析 （1）根据A、B的坐标，代入抛物线y=-x2+ax+b中，得出a、b的值，完成解析式求解.

（2）的解答中，根据C点的横坐标为0的条件，确定P的横坐标，将横坐标代入解析式，得出P的坐标.

（3）根据P点的坐标求解出C点坐标，结合B、C点坐标，利用勾股定理求解BC长度，结合sin∠OCB=OBBC，得出相应的結果.

对上述例题进行观察和分析，明确题目的意图和思路，画出相应的几何图形，将题目更好的展示出来，促进数与形的转化，实现抽象向具体的转化，帮助学生充分理解已知和未知信息，有效解答数学难题.

三、利用数形结合分析数学难题

在初中数学难题的分析中，引入数形结合的思想，可以帮助学生正确理解数与形的关系，结合相关的数学理念，灵活利用数形结合思想，完成数学难题解答.在初中数学中，一次函数、反比例函数以及二次函数是重要的知识，并且这些知识内容较为抽象，涉及到的知识点比较多，题目解答较为困难.面对数学难题，引导学生利用数形结合思想，可以帮助学生有效分析数学题目，锻炼学生数学知识应用能力，培养学生良好学习习惯.

例3 某人的生活费用是通过家教服务劳动获得的，此人每天家教服务时间是x小时，该月得到的费用是y元，已知此人的基本工资是150元，x和y之间的函数图像如图3所示，根据图象求解此人每月的生活费是多少？

解析 根据题目意思以及图象分析可以得出，此人的基本工资是150元，每个月家教时间在20小时内，绩效是每小时2.5元，家教时间超过20小时，超出20小时的部分，每小时是4元.通过这样的方式，列出相应的函数解析式，完成题目的求解.

在数学难题解答时，通过对函数图像进行观察，发掘图像中隐藏的已知信息，明确函数解题方式，深入发掘和分析题目，将数形结合思想渗透其中，帮助学生思考和解答难题，提高学生解题效率.

四、借助数形结合强化知识应用

通过数学解题教学，加强学生知识理解，锻炼学生知识应用能力.以往的初中数学解题中，学生常常采取生搬硬套的方式，使得题目解答较为困难，影响学生数学知识的掌握和应用，不利于学生解题能力培养.作为初中数学教师，应当改变以往的教学模式，在数学难题解答环节，加强课堂指导和引导，灵活利用数形结合方式，完成数学难题的分析和解答，提高学生解题效率，并且锻炼学生数学知识应用能力.

例4 在数轴上，1、2对应的点分别是O、P，点P关于O点的对称点是E，E表示的数字为x，那么x-2+2x的数值为多少.

解析 在此题解答时，通过阅读题目内容，引导学生利用数形结合，画出相应的数轴，对题目进行分析，在数轴上找到E点的位置，完成题目的解答，计算出E点对应的数.通过对数形结合方式的利用，对有理数的绝对值和相反数的概念进行利用，完成数学难题的分析和解答.通过这样的方式，帮助学生更好的解题，保证学生解题效率.

数形结合思想是重要的数学思想，也是学生数学解题的重要方式.因此，在数学难题解答中，应当引导学生灵活利用数形结合，实现数与形的转化，有效解答数学难题，丰富学生解题体验，锻炼学生解题能力，培养学生发散思维，促进学生数学综合能力提升.

参考文献：

[1]陈小春.初中数学数形结合题型的解题技巧[J].数理化解题研究（初中版），2014（11）：17.

[2]马文兴.用数形结合思想巧解初中数学题[J].中学数学教学参考旬刊，2016（8X）：35-36.

[3]朱俊燕.浅谈初中数学解题技巧之数形结合[J].儿童大世界（下半月），2019（5）：111.

[责任编辑：李 璟]