初中数学解题中转化思想的应用

摘 要：数学是一门抽象性与逻辑性较强的学科，目的在于培养缜密思维与分析问题、解决问题的能力，提升学生综合素养.传统解题教学方式过于单一，学生思维较为局限，以致于学生在解题中频频出现问题.事实上，数学试题与解答在一定程度上可看作矛盾体，即矛盾双方在一定条件下可相互轉化，解答即为促成转化创设条件，因此衍生出转化思想.该思想核心在于从未知转为已知，从繁至简，提高解题效率，发展思维能力.对此，本文则从多方面分析在解题教学中应用转化思想策略，望给予教师教学提供参考.

关键词：初中数学;解题;转化思想;应用策略

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）32-0040-02

收稿日期：2021-08-15

作者简介：袁炳全（1972.3-），男，广西壮族自治区苍梧人，研究生，中学高级教师，从事初中数学教学研究.

随着新课程改革全面实施，对各个学科提出较高要求，其中培养学生核心素养与学科思维已成为教师的重要课题.数学作为贯穿学生学习生涯重要学科之一，除了为学生传授知识与技能，还要让学生学会巧用知识与思维方式分析和解决实际问题.转化思想即运用某种方式将复杂抽象的数学问题转化为简单形式，从而达到解决目的.运用转化思想使学生基于多元视角思考和深度分析复杂问题，明确题目涵盖的隐性规则，并在此过程中高效理解数学知识，强化解题能力，提高解题效率与学习数学自信心.

一、明确题目规律，化复杂为简单

化繁为简是转化思想最基本和最重要的方式，基于化繁为简特征下的转化思想要求学生以正确积极心态面对复杂抽象的数学题目，并提取题目中涵盖的重要信息以及隐含规律，再简化繁杂部分，达到成功解题目的.上述转化思想要求学生在解题过程中做到认真审题，尤其明确题目中微小细节，之后从局部过渡至整体，提高解题效率.以三角形证明相关知识为例，数学教师为学生提出以下案例：小红想运用两根棍子摆成等腰三角形，两根棍子长度分别为5cm与11cm，问还需一根多长棍子能成功摆成等腰三角形？通过解析可得知，小红想运用三根棍子摆成等腰三角形，其中等腰三角形需两个边长度相等，题目提示可选取5cm或11cm棍子，然而选取两根5cm棍子与11cm棍子无法组成等腰三角形，故而需选取11cm棍子才能摆出等腰三角形.从上述教学过程可得知，学生在初中数学解题中遇到抽象繁琐的题目会下意识紧张焦虑，运用转化思想将题目化繁为简，能有效缓解学生紧张情绪，形成系统化解题思路，高度集中注意力将复杂繁琐问题转化为简单问题并寻找出其中解题技巧，提升解题效率与能力.

初中数学题目中最为重要的分类之一即动态几何，以压轴形式出现在考题中.此类题目考查点为运用动点运动考查学生理解、掌握图形性质等知识点以及综合分析问题与解题能力.运用转化思想解答此类问题可将动态化的点、线、面等问题转化为静态问题，达到化繁为简效果的同时明确题目中涵盖的关系式，从而高效解决问题.例如以下题目：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与直线y=12x+1交于A与B两点，其中点A位于x轴上，点B的纵坐标为3，点P是直线AB下方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，做PD⊥AB于点D.求a、b、sin∠ACP的值.对于上述问题，只需将点B纵坐标代入直线中就可得出其横坐标并在此基础上推算出A点坐标，最后将A、B两点坐标代入抛物线中就可解答问题.解答角的正弦值时可巧用图形中的边、角与线段，通过直线方程计算出直线AB与y轴交点后得出△AOE三边比值，再运用x轴与PC垂直与y轴平行得出线段平行关系后再相继推算角相等与所求角的余弦值.学生在此过程中需等价转化角，但大部分学生难以看到并运用△PCD进行解答，正因不知C点坐标会陷入困境.对此，数学教师可指导学生在解决上述问题时认真阅读题目，明确题目条件信息以及可运用的关系式，之后再巧用转化思想将复杂问题简单化，使学生深入理解所学知识以及转化思想意义，提升解题效率.

二、结合学生特征，激发学习兴趣

虽然初中生经历小学学习，已积累相关学习经验，但抽象思维能力还有待健全完善.尤其部分数学基础较差的学生无法理解抽象复杂的数学知识，此时需要数学教师结合学生特征引领其在学习中树立转化意识，将抽象复杂题目转为具体化.与此同时，学生学习数学知识从未知转为已知，直至熟能生巧，好似在一张白纸上涂抹绚丽的色彩.学生在解题过程中遇到陌生抽象问题不能直接拒绝，需认真分析并尝试将题目中陌生问题转化为自身学习过的知识内容或熟悉问题，上述充分体现转化思想.通过应用转化思想还能使学生树立战胜困难的意志与决心，提升学习数学自信心.以二元一次方程组教学为例，学生经过前期学习已基本能解答一元一次方程问题.部分数学基础较差的学生在解答二元一次方程组时因知识理解和题目难度等因素而产生抗拒情绪，甚至直接放弃.对此，数学教师可及时引入转化思想，指导学生将二元一次方程转为较为简单的一元一次方程后再给予解答.例如以下方程：x-y=4，3x-2y=18，针对上述方程可先将x-y=4转化至x=y+4后直接代入另一个方程，最后得出3（y+4）-2y=18，最后直接求出x、y的值.科学运用转化思想能促使学生高效解答复杂抽象数学题目，激发学生探究数学知识的兴趣，提高教学效率.

三、转化实际问题，深化知识理解

由于初中生刚从小学过渡而来，对于复杂抽象题目不可避免有所抗拒，教师可结合学生学情在实际问题分析与解答中应用转化思想.事实上，现实生活中涵盖大量数学知识，学习数学知识目的之一也在于更好地解决实际问题，尤其是会应用几何图形、函数、方程等知识，故而运用转化思想能直接降低题目难度，提高解题效率.例如某商店想采购A、B两种商品，如果商家可用200元分别采购6件A商品和7件B商品，也可用200元分别采购10件A商品与5件B商品，请问A与B两种商品进价分别为多少？若商家在后期售卖中，销售1件A商品可从中获利4元，B商品能获利6元，商家想花费不足500元购买30件A、B两种商品且全部销售后总利润不能低于156元，请问商家该如何进货才能保证自身在销售后能实现利润最大化，其最大利润该如何计算？针对上述题目中的首个问题，分析题目条件后可得知，通过列出方程组可得出A商品进价10元，B商品进价20元.针对第二问，阅读题目信息后可直接联想到运用不等式得出采购A与B两种商品数量的取值范围.通常在常规思想指引下需在该取值范围内计算每个数值下利润获取情况后再进行比较.上述计算方式相对复杂，不利于数学基础较差的学生运用，故而可运用函数求最值方式.即设商家购买A种商品为m件，B种商品为（30-m）件，从题目条件可得知，10m+20（30-m）≤500，4m+6（30-m）≥156，解答后可得出10≤m≤12且因商品总利润为w=4m+6（30-m）=-2m+180是关于m的一次函数且w在m增大的前提下不断减少，故而当m=10时，w最大为-2×10+180=160，换言之，商家只有购买10件A商品和20件B商品才能获取160元利润.

总之，数学思想在初中数学解题中发挥着不可小觑的作用，甚至与数学基础和技能地位相同.在数学解题中应用转化思想能帮助学生化同求殊与化繁为简，将复杂抽象的数学知识化为直观形象的具体知识，促使学生高效解题，强化分析能力、解题能力与思维能力.初中数学教师在应用转化思想时应充分结合学生学情与题目类型，最大限度发挥转化思想优势，引领学生深入思考题目涵盖的数学知识，形成系统化与缜密化解题思维，从而获取正确答案，对提升学习数学自信心以及促进更高层次数学学习有着重要现实意义.

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[责任编辑：李 璟]