用“份数法”化解分数和倍数学习难点

马国庆

摘要：小学数学中，与分数或倍数有关的实际问题，尤其是融入加减变化后有多组分数或倍数关系的实际问题，一直是学生学习的难点。在小学没有学过方程的方法时，解决这类问题可以采用“份数法”：将分数或倍数关系转化为份数的比的关系，利用不变量搭桥，找准对应的份数，再利用变化量对应的份数，求出每份数，从而求出其他未知量。份数和每份数是学生更容易理解的基本量，更贴近学生习惯的“整数视角”。这个方法体现了基本量思想和方程思想，能培养学生的数学抽象能力和逻辑推理能力。

关键词：分数关系;倍数关系;份数法;基本量思想;方程思想

小学数学中，与分数或倍数有关的实际问题，尤其是融入加减变化后有多组分数或倍数关系的实际问题，一直是学生学习的难点。究其原因，学生常常无法判断单位“1”（在不同的分数或倍数关系中，单位“1”有变化），导致量率的对应出错，计算的选择不对——有时连线段图都画不清楚。

如果是在中学比较系统地学过方程的方法后，就可以利用方程的方法（尤其是列多元方程）很容易地解决这类问题（不用想，只需算）。但是，在小学没有学过方程的方法时，如何解决这类问题，学生比较容易掌握（不容易出错），并能够体会到更一般的数学思想（不是纯粹地玩技巧），为初中学习方程的方法做好铺垫（有机实现小初衔接）？笔者认为，可以采用“份数法”。

所谓“份数法”，就是将分数或倍数关系转化为份数的比的关系，利用不变量搭桥，找准对应的份数，再利用变化量对应的份数，求出每份数，从而求出其他未知量，解决问题。在分数关系中，当然有平均分和份数（分数可以看成份数的比）：几分之几就是平均分成几份，取其中的几份。在倍数关系中，其实也有平均分和份数（倍数也可以看成份数的比）：1倍量就是平均分后的一份，几倍量就是平均分后的几份。因此，分数和倍数关系可以转化成份数的比的关系。但是，在不同的分数或倍数关系中（单位“1”有变化），可能有某个不变量所占的份数不同（因为每份数不同），这时，可以利用比的性质（分数的性质，或者说商不变的性质）将不变量所占的份数化为相同（每份数也就一致了）。由此，学生很容易发现这个每份数是解题关键：求出它，其他量无非是再乘一个份数。

这里，份数和每份数蕴含着“每份数×份数=总数”这个一般化程度很高的数量关系，是学生更容易理解的基本量（尤其是相对于分数蕴含的“对应数÷几分之几=总数”，更贴近学生习惯的“整数视角”）。在这个过程中，其实已经蕴含着“把未知量当已知量理清其他量与之的关系，再设法求出未知量进而求出其他的量”的思想。也就是说，体现了基本量思想（利用一个量表示其他量）和方程思想（把未知量当已知量），能培养学生的数学抽象能力和逻辑推理能力。

下面，试举数例加以说明。

一、基本题：两个量、两组分数或倍数关系的问题

例1某商场原有台式电脑、笔记本电脑共630台，其中台式电脑的数量占15。后来又运进一些台式电脑，这时台式电脑的数量占两种电脑总台数的310。问：又运进台式电脑多少台？

这是一道分数关系问题。其中，两个分数关系中的不变量是笔记本电脑的台数，这个量比较基本，较易求出。因此，本题不用“份数法”难度也不大：630×1-15=504，504÷1-310=720，720-630=90。只是，学生对分数是否需要用1减以及分数是乘还是除，很容易搞错。由此不难看出学生解决这类问题的基本困难所在。

然而，使用“份数法”思路更清晰：前面的15说明台式电脑占1份，笔记本电脑占4份，总共是5份;后面的310说明台式电脑占3份，笔记本电脑占7份，总共是10份;前后笔记本电脑的台数不变，因此，求出4和7的最小公倍数28，可将前后两种电脑所占的份数以及总份数的比分别化为7∶28∶35、12∶28∶40，因此，每份数为630÷35=18，又运进台式电脑的台数为18×（12-7）=90。可以看出，这里的运算都只与整数有关;同时推理虽然略长，但很自然（指向清晰）。

例2甲书架上书的本数是乙书架上书的本数的47。两个书架上各增加154本书后，甲书架上书的本数是乙书架上书的本数的56。求甲、乙两个书架上原有书各多少本。

这是一道分数关系问题。其中，两个分数关系中的不变量是甲、乙两个书架上书的本数的差，这个量不太基本，很难求出。因此，本题最好使用“份数法”：前面的47说明甲书架上的书占4份，乙书架上的书占7份，总共是11份;后面的56说明甲书架上的书占5份，乙书架上的书占6份，总共是11份;前后甲、乙两个书架上书的本数的差不变，因此，求出（7-4）和（6-5）的最小公倍数3，可将后面甲、乙两个书架上的书所占的份数以及总份数的比化为15∶18∶33，因此，每份数为154÷（15-4）=14，甲、乙两个书架上原有书的本数分别为14×4=56，14×7=98。

例3甲、乙两所希望小学原来一共有若干本书。如果从甲拿10本给乙，则乙的本数是甲的两倍;如果从乙拿10本给甲，则甲的本数是乙的三倍。那么，甲、乙两所希望小学原来各有图书多少本？

这是一道倍数关系问题。其中，两个倍数关系中的不变量是甲、乙两所希望小学所有书的本数的和，这个量不太基本，很难求出。因此，本题最好使用“份數法”：第一个过程中的两倍说明甲的书占1份，乙的书占2份，总共是3份;第二个过程中的三倍说明甲的书占3份，乙的书占1份，总共是4份;两个过程中甲、乙书的本数的和不变，因此，求出3和4的最小公倍数12，可将两个过程中甲、乙书所占的份数以及总份数的比分别化为4∶8∶12、9∶3∶12，因此，每份数为（10+10）÷（9-4）=4，甲、乙两所希望小学原来图书的本数分别为4×4+10=26，4×8-10=22。

二、变式题：有关量增多、分数或倍数关系增多的问题

相对于基本题，变式题的解题过程可能有变化、更复杂，但是依然体现了基本量思想和方程思想。

例4学校买回四种图书，科技书的本数是文艺书本数的34，连环画的本数是剩余三种书本数的13，史地书的本数是剩余三种书本数的14，史地书比文艺书少80本。买回来的四种图书一共多少本？

这道题出现了四个量及总数之间的三个分数关系和一个和差关系。分析易得，后两个分数关系都涉及总数这一不变量，于是，由此入手：第二个分数13说明连环画占1份，其余书占3份，四种图书总共是4份;第三个分数14说明史地书占1份，其余书占4份，四种图书总共是5份;两种情况下四种图书的总数不变，因此求出4和5的最小公倍数20，可将连环画和其余书所占的份数以及总份数的比化为5∶15∶20，史地书和其余书所占的份数以及总份数的比化为4∶16∶20。于是，连环画占5份，史地书占4份，科技書和文艺书一共占11份，四种图书总共是20份;此外，第一个分数34说明科技书占3份，文艺书占4份，总共是7份;两种情况下科技书和文艺书的总数不变，因此求出11和7的最小公倍数77，可将连环画、史地书、科技书和文艺书所占的份数以及总份数的比化为35∶28∶33∶44∶140，因此，每份数为80÷（44-28）=5，买回来的四种图书的本数和为5×140=700。

例5同学们去参观动物园。笼子里关着鸡和兔，兔头比鸡头的3倍少6个，兔脚比鸡脚的5倍少4个。那么，鸡和兔各有多少只呢？

这道题是“鸡兔同笼”问题的变式：由鸡（头或脚）和兔（头或脚）之和的关系变成了鸡（头或脚）和兔（头或脚）之间的倍数关系;而且不是整倍数，有零头。其中有两个隐藏的条件：鸡脚是鸡头的2倍，兔脚是兔头的4倍。小学生不能用方程的方法解决，可以用“份数法”理清思路：若鸡头为1份，则兔头为3份少6个，鸡脚为2份，兔脚既为10份少4个，也为12份少24个;既然兔脚数不变，那么2份就是24与4的差，因此，每份数为20÷2=10，鸡和兔的只数分别为10，10×3-6=24。

这样的思路分析过程以逻辑推理为主，但是其中显然蕴含着列方程的思考（寻找等量关系）和解方程的计算（移项、系数化为1等）。可以说，这样的解法不是方程方法，学生能够理解，但是蕴含着方程思想（正向思维），为初中学习方程做了铺垫。

美国心理学家、教育学家布鲁纳在《教育过程》中曾提出“螺旋式课程”的概念，强调以与儿童思维方式相符的形式将学科结构置于课程的中心地位，随着年级的提升，不断拓广加深学科的基本结构，使之在课程中呈现螺旋式上升的态势，使课程内容得到更加有效的组织。倍数、乘法、分数、除法等知识及其应用的学习几乎贯穿小学数学学习的全过程，这些内容之间有着内在的联系，而“份数”和“份数法”就是其中重要的线索。教师要通过这些内容的教学，让学生对“份数”和“份数法”的理解实现“螺旋式上升”，并形成“份数”思维（知识结构），为初中列方程解应用题的学习做好铺垫。

参考文献：

[1] 胡文兰.例谈小学数学教学中促进深度学习的策略＼[J＼].教育研究与评论（课堂观察），2021（2）.

[2] 王凌.从整数视角到分数视角——“分数的初步认识（二）”的学生错误与教学对策＼[J＼].教育研究与评论（课堂观察），2021（1）.