平面双线性映射的伸缩率分析

2021-10-30王旭辉

大学数学 2021年5期

李倩，王旭辉

(合肥工业大学数学学院，合肥230601)

1 引言

平面(2D)变形是图像处理中具有多种应用程序的操作，有着广泛的应用.例如，利用WarpGAN自动生成漫画[1].平面变形在3D几何参数化中也有着重要贡献[2].

经典的平面变形方法有Free-From变形(FFD)[3]、Thin-Plate样条(TPS)[4]和Mean-Value坐标(MVC)[5]，但它们并不能保证局部失真.因此，最近的平面变形强调控制局部失真，即保证角度的局部变形，为此引入了共形映射，可以最大程度地保留角度.因此，近年来共形映射及其近似被广泛用于平面变形[6-9]以及参数化[10-11].但共形映射的自由度少，且很难插入四个及以上的点并保证单射性.

在此基础上，研究者提出最小化共形失真，即构造最优拟共形映射.例如，Lipman等[12]提出了4点插值公式(FPI)，可以最小化最大共形失真且均匀分布在整个区域；Nian等[13]提出了一种基于交替方向乘法器(ADMM)迭代算法来计算Teichmüller映射，能产生更均匀的参数化，提高精度；Goswami等[14]在多边形之间提出一种基于O(1/ε4)的迭代算法来获得连续的极值拟共形映射，保证了伸缩商的减小；Weber等[15]基于Teichmüller对极值映射的全纯二次微分伸缩商的刻画，提出了一种计算零类曲面极值拟共形映射分段线性逼近的算法，具有良好的收敛性；Lui等[16]提出了拟共形迭代(QC迭代)算法来计算Teichmüller映射，其基本思想是用Beltrami系数(BCs)表示微分同胚集，寻找与Teichmüller映射相关的Beltrami系数(BC)，最后使用Linear Beltrami Solver(LBS)构造最优拟共形映射.

本文在平面区域内通过双线性映射[17]构造拟共形映射，针对平面凸四边形，研究双线性映射的伸缩率极值情况.

2 预备知识

本文考察双线性映射的伸缩率极值情况.令z=s+it是一个复变量，其中i2=-1,s,t∈分别是z的实部和虚部，记为z的共轭.对于任意可微复变函数f(z)，它将一个复平面映射到另一个复平面上，其导函数可被定义为

定义1(拟共形映射) 假设f∶D⊂→是复变函数，且具有连续偏导.若f满足Beltrami方程

(1)

且复值函数μf(z)满足‖μf(z)‖∞<1，则称f为拟共形映射.其中，μf(z)被称为f的Beltrami系数.

拟共形映射的Beltrami系数μf(z)可以用来衡量共形程度.拟共形映射是一种从微小圆到微小椭圆的映射，其中椭圆的离心率即f的伸缩商是由旋转角度arg(μf)/2的最大放大倍数1+|μf|和旋转角度(arg(μf)-π)/2的最大缩小倍数1-|μf|给出(见图1).因此，f(z)在z点处的伸缩商定义为

f的最大伸缩商定义为

由于当‖μf‖∈[0,1) 时，Kf关于‖μf‖成严格单调递增，故讨论伸缩商的最大值情况等价于讨论‖μf‖的最大值情况.下面分析双线性映射的伸缩商情况.

3 双线性映射

给定平面上一个凸四边形Q，其四个顶点分别为q00,q01,q10,q11∈2，且q00,q01,q10,q11为逆时针排序.将2上的向量(s,t)表示为复变量z=s+it的形式，则该四边形的顶点qij=(xij,yij),i,j=0,1，可表示为qij=xij+iyij.定义双线性映射如下：

F(z)=x(s,t)+iy(s,t)=q00(1-s)(1-t)+q01(1-s)t+q10s(1-t)+q11st，

(2)

其中(s,t)∈Ω=[0,1]×[0,1].该双线性映射为单位正方形区域映射到凸四边形区域Q上的一一映射.

由伸缩率函数的定义(1)，双线性映射F(z)的伸缩率函数μF可表示为

从而

(3)

(4)

引理1设H(s,t),G(s,t),N(s,t),D(s,t)如公式(4)所定义，则有如下关系式

证由(4)得

定理1双线性映射F(z)对应的γ(s,t)=|μF|2有且仅有一个驻点，且在该驻点处取极小值.

证首先记M⊂2是γ(s,t)的驻点集合，即

由引理1可得

所以

M={(s,t)|HGs-HsG=HGt-HtG=0,D≠0,s,t∈}.

由双线性映射的定义(2)知

deg(H)=2, deg(G)=deg(Hs)=deg(Ht)=1，

所以deg(HGs-HsG)=deg(HGt-HtG)=2，因此M中最多存在4组解.另外，由(4)可知

(5)

可得

(6)

根据双线性映射的定义(2)，可得

(7)

为了简化计算，将(7)记为

Fs=A0t+A1,Ft=A0s+A2,Fs t=A0，

(8)

其中A0=q00+q11-q01-q10,A1=q10-q00,A2=q01-q00.因此，(6)式的四个解可记为

又因为D=H-iG≠0，故只保留一组解，即

(9)

因此，γ(s,t)=|μF|2有且只有一个驻点，即双线性映射的伸缩率函数μF有且只有一个驻点.

再计算γ(s,t)的Hessian矩阵行列式值为

代入(4)，(5)，(8)式和驻点，可化简为

(10)

(11)

令A1=q10-q00,A2=q01-q00,A3=q11-q10，则A0=A3-A2.将A1,A2,A3记为

A1=ρ1eiθ1,A2=ρ2eiθ2,A3=ρ3eiθ3，

(12)

其中ρ0,ρ1,ρ2,ρ3是向量A0,A1,A2,A3的模长，θ1,θ2,θ3∈[0,π]为A1,A2,A3的辐角.则

(13)

(14)

从而，(11)式化为

故该驻点是极值点.又

所以在该驻点处取得极小值.

例1给定一个平面凸四边形Q1，其顶点分别为q00(0,0),q01(0,1),q10(2,0),q11(1,2)，则从Ω到Q1的双线性映射为

F(z)=2s(1-t)+i(1-s)t+(1+2i)st，

显然，Fs=2-(1-i)t,Ft=i-(1-i)s,Fs t=-1+i，其中A0=-1+i,A1=2,A2=i.

又因为

D=H-iG=9+12s+5s2-6t+5t2≠0，

定理2双线性映射F(z)的伸缩率函数μF的最大值发生在区域Ω的顶点处.

证若γ(s,t)=|μF|2最大值在区域Ω=[0,1]×[0,1]内部取得，由于γ(s,t)在除极点外充分光滑，那么γ(s,t)一定存在另一个驻点，使得最大值发生在Ω内部，与定理1矛盾.所以，γ(s,t)的最大值只能在边界上取得.下面考察γ(s,t)在边界s=0,s=1,t=0,t=1上的取值情形.由(4)和(8)式，可得

下面只考察γ(s,t)在s=0上的取值情况，其余三条边界类似.令

显然上式的分母在区间内[0,1]不为零.对T0(t)求导，可得

由于T0(t)的一阶导数的分母恒大于0，故只需讨论其分子.令g(t)为上式的分子部分，即

设g(t)=0，可得驻点

由(12)知

因此

又

当θ3>θ2时且q′00位于四边形内部时，SΔq00q01q10>SΔq′00q01q10，即t>1(见图2(a)(b))；当θ3>θ2时且q′00位于四边形外部时，q′00的位置在q00与q10之间，仍有SΔq00q01q10>SΔq′00q01q10，即t>1(见图2(c)(d))；当θ3<θ2时，ρ2ρ3sin(θ3-θ2)<0，即t<0.

(i) 当θ3>θ2时，函数g(t)开口向下，对称轴t>1，那么在[0,1]间至多只有一个驻点t1.

若t1在[0,1]内，此时在[0,t1]上g(t)<0，在[t1,1]上g(t)>0，则T0(t)在[0,t1]上单调递减，[t1,1]上单调递增.又t1是驻点，取得极小值，故T0(t)的最大值在t=0或t=1处取得，即在顶点处取得最大值.

若t1不在[0,1]内，此时g(t)在[0,1]上恒大于0或者恒小于0，则T0(t)在[0,1]上单调.再考虑f(0)与f(1)的大小，有

故T0(t)在[0,1]上单调递增.又t1是驻点，取得极小值，故T0(t)的最大值在t=1处取得，即在顶点处取得最大值.

(ii) 当θ3≤θ2时，函数f(t)开口向上，对称轴t<0，那么在[0，1]间至多只有一个驻点t2.

若t2在[0,1]内，此时在[0,t2]上g(t)<0，在[t2,1]上g(t)>0，则T0(t)在[0,t2]上单调递减，[t2,1]上单调递增.又t2是驻点，取得极小值，故T0(t)的最大值在t=0或t=1处取得，即在顶点处取得最大值.

若t2不在[0,1]内，此时g(t)恒大于0或者恒小于0，,则T0(t)在[0,1]上单调.再考虑f(0)与f(1)的大小，有

所以T0(t)在[0,1]上单调递增.又t2是驻点，取得极小值，故T0(t)的最大值在t=1处取得，即在顶点处取得最大值.

故|μF|2的最大值发生在顶点处，即双线性映射的伸缩率函数μF的最大值发生在顶点处.

例2由例1，从单位正方形Ω到Q1的双线性映射为

F(z)=2s(1-t)+i(1-s)t+(1+2i)st，

其伸缩率函数为