基于条件极值的研究式教学设计谈大学生创新思维和科研能力的培养

赵小文， 宁荣健， 张 莉

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力”[1].从最近的中美贸易战、金融战到科技战，可以清楚的认识到，中美之间、乃至各国之间的竞争其实质是知识和科学技术的创新性的竞争，而知识和科学技术的创新性的竞争归根到底是具有创新思维、科研能力的高素质人才的竞争.因此，在全民信息化时代，一个人的发展前途取决于他的创新思维、科研能力的强弱，一个民族、一个国家在国际中的地位和竞争能力取决于其科技实力和创新力.

目前在我国，不论是科研单位、国有企业，还是民营企业，都极其重视关键科学技术和科研能力的掌握与提升，都将“科研能力”作为选人、用人的核心要素.此外，国内外心理学家对人的一生的创新性研究表明：人的一生中，大学阶段是创造心理大觉醒时期，其创新意识、创造动机强，是培养其创新思维、科研能力的关键时期[2].而任何理论与科技的突破和发展，首先需要的是思维的突破，即创新思维；其次是创新思维下的“产出”，即科研能力.高等学校作为高素质人才的培养基地，能否培养出具有创新思维和科研能力的高素质大学生，是我国产业转型升级、可持续发展和创新型国家建设的关键.因此，学生的创新思维和科研能力的培养与提高是高等学校担负的一项重任和职责.

然而，创新思维和科研能力不是天生具有的，需要基于科学理论知识体系不断循循善诱、因势利导产生、提高的.爱因斯坦说：“创造性原则寓于数学之中”.对于刚刚踏入大学的一年级理工科学生，高等数学课程不仅是“打开科学大门的钥匙、思维的工具、自然科学的语言”，更是“工程技术新时代下的核心武器”[3].高等数学所蕴含的理论知识体系和科学方法不仅是学生学习后继课程的重要工具和基础，更是学生的创新思维和科研能力培养的核心课程与重要途径.

实际教学中，高等数学由于知识点多，课堂教学基本仍处于让学生系统掌握数学知识的“满堂灌”“填鸭式”的接受式格局.与国外一流大学相比，我们学生在创新思维上相对不足，在科研能力上存在一定差距.因此，高等数学教学中，只有有效改变学生养成的应试性被动学习习惯，实施启发诱导、问题探究相结合的研究式教学，才能有利于培养学生的创新思维，有利于提高学生的科研能力，有利于促进学生掌握运用数学知识解决专业问题、实际问题的能力.

那么，哪些知识内容适合采用研究式教学方式，可以更好地培养学生的创新思维和科研能力呢？目前关于条件极值的教学主要集中在拉格朗日乘数法的解题和应用方面，对其理论的推进、所蕴含的科学方法、科研成果打磨等可以培养学生的创新思维和科研意识方面重视不够，学生一般知其然而不知其所以然.作者基于高等数学课程实际教学体会和科研经历，针对该知识内容的理论体系、理论体系推进中所蕴含的科学方法、必要条件的提炼与升华等要素的挖掘，展开研究式教学设计，具体为：通过条件极值理论知识体系抽丝剥茧式的问题陈设，使学生学会如何基于已知知识去探究未知科学；通过画龙点睛的阐述知识体系每推进一点所涉及的科学方法，让学生不仅知其然而知其所以然；通过突出必要条件在创新思维和科研方法的推进下的提炼和升华，以及结合论文收录SCI (Science Citation Index，科学引文索引)的科普，激励学生树立做具有创新性大科研的目标；通过精心设计知识内容的拓展训练，激发学生的问题探究意识.

2 条件极值的教学安排与设计

作为多元函数微分学的应用，多元函数的极值是高等数学的重要内容之一.多元函数的极值有两类：一类是，目标函数的自变量在其定义域范围内可以自由取值、没有任何其他附加条件限制的极值问题，称为无条件极值；另一类是，在实际问题中，目标函数的自变量除了其对应的定义域要求外，还受到某些条件的制约(如材料、经费的限制等)，这类带有约束条件的多元函数极值问题称之为条件极值[4-5].

目前，在条件极值的教学研究中，有关于其充分条件与必要条件的探讨和推广[6-7]，有从几何角度进行阐述和说明[8]，还有条件极值的应用和拓展[9]，等等[10-12].在本文中，基于高等数学课程实际教学体会和科研经历，对条件极值开展研究式教学方式的介绍和探讨，以求激发学生的创新思维，提高学生的科研能力.

2.1 实际问题引入

实例要设计一个容量为V0的圆柱形水箱，如何做才能使得用料最省？

分析 若设圆柱体的底圆半径为r、高为h，则由题设知其表面积为S=2πrh+2πr2，且要求T:πr2h=V0(定值).因此，该问题建模为：目标(函数)S在约束条件T下的最小值问题.

教学设计(i) 实际教学中知道：如何将一个具体的实际条件极值问题用数学刻画好，也是教学和学生学习的一个难点；

(ii) 对实际问题数量关系的描述、刻画，本质上即为数学建模的思想与操作.因此，此处教学中可以实时、高效的点出、导入数学建模的思维，增强学生分析问题的能力；

(iii) 该处的实例可以根据所教授学生专业情况更改、调整，从而调动学生学习的兴趣与积极性.

再析 实际生产生活中，对于约束限制的一般操作是什么？突破限制！本题如何突破？将约束条件T转化，解出h=V0/πr2，带入目标函数得S=2V0/r+2πr2，则该问题就转化为S关于自变量r的一元无条件极值问题，上册所学知识就能解决.

小结1上述分析过程给出了求条件极值的第一类方法—突破条件、代入求解，即代入法.对于二元目标函数z=f(x，y)，从约束条件φ(x，y)=0中解出一个变量y=ψ(x)，进而将问题转化为求一元函数z=f(x，ψ(x))的无条件极值问题，我们也称为直接转化法.

2.2 必要条件探究

问题1若无法从约束条件φ(x，y)=0中解出一个变量，奈何？

教学设计一般情况下，研究一个理论问题时，首先讨论其必要条件，即在该结论A成立时的必要条件B，也即A⟹B；然后再看看B能否推导回去，即考察充要条件；若推导不回去，则考虑对条件B做相应调整或改变，得结论A的充分条件B+，即B+⟹A.这是科学研究的基本思路与方法，也是科研能力之一.在教学中，要将该科研方法与前面的无条件极值的学习结合起来，让学生懂得我们为什么要首先考察极值的必要条件，使得学生在知其然而知其所以然的同时，掌握基本的科研思维与科研方法.

初探如果在约束条件φ(x，y)=0下目标函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处取得极值，则(x0，y0)必然满足φ(x0，y0)=0，即(x0，y0)满足约束条件.

问题2在点(x0，y0)满足约束条件φ(x，y)=0(也称约束方程)下，能否延拓到一条曲线满足约束方程，即约束方程能否确定一个隐函数呢？

教学设计此设计的目的在于：

(i) 复习并诱导出隐函数存在定理，培养学生关注定理条件的意识，而不是只看重结论；

(ii) 提醒学生由点到线、由线到面的延拓方式是一种很好的科学研究方法，从而润物细无声地向学生渗透科研思维.

续探由前面所学隐函数存在定理知，若二元函数φ(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内存在一阶连续的偏导数，且φ′y(x0，y0)≠0，则约束方程必能确定y是x的隐函数y=y(x)，且

问题3若约束条件φ(x，y)=0确定了隐函数y=y(x)，则在理论上，目标函数z=f(x，y)=f(x，y(x))在点(x0，y0)处有何结论？

教学设计在分析该问题时，配以简单的几何图形(如图1所示)，既形象直观的给出了答案，也给学生阐明了数形结合的思想，并指出数形结合的思想方法对理解高等数学课程中许多知识内容和性质具有事半功倍的重要作用.

图1 条件极值的几何解释

基于几何解释，结合复合函数求导法则、隐函数存在定理、一元函数极值存在的必要条件，综合给出：若二元函数f(x，y)、φ(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内均存在一阶连续的偏导数，且φ′y(x0，y0)≠0，则有

即得

(1)

(1)式即为目标函数z=f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下在点(x0，y0)处取得极值的必要条件.

问题4有没有比(1)式更简捷的表示形式或结论？

(2)

表明点(x0，y0，λ0)满足方程组

(3)

教学设计在此处需要强调，参数引入法是科学研究中的另一个常用的重要方法，激励学生课后进一步搜索关于参数引入法的应用和推广.

问题5由上可知，(2)式及(3)式比(1)式简洁工整.试问(3)式有何特点？能否将其再进一步提炼？

教学设计通过提示，让学生观察(3)式中每个方程左边的函数是哪个函数的偏导数？并由此告诉学生观察法是一种难以言表的、美妙的数学方法.激励学生在学习时，要善于观察，勤于思考.

深探总结和提炼出(3)式中每个方程的左边是函数

L(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)

(4)

的偏导数，即

教学设计(i) 此处介绍拉格朗日的主要工作，以及相关术语，如拉格朗日乘数法、拉格朗日函数、拉格朗日乘数、拉格朗日驻点等；

(ii) 适当摘录数学家拉格朗日的生平事迹介绍，激发学生学数学、爱数学的热情；

(iii) 基于上述结论，引导学生感悟数学的逻辑性和形式美.

小结2上述分析过程给出了求条件极值的第二类方法——拉格朗日乘数法，其本质是将目标函数z=f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的极值问题转化为拉格朗日函数L(x，y，λ)的无条件极值问题，称之为间接转化法.

教学设计再次带学生回顾必要条件的推导历程：(1)式⟹(2)式⟹(3)式⟹(4)式，让学生体会逻辑的推进，思维的创新，结论的升华；并告诫学生：认真对待自己写的每点每滴，不断打磨自己思维的创新性，努力提高自己的科研能力和水平.

问题6对于目标函数是三元函数、四元函数乃至一般n元函数，约束条件有多个的条件极值问题，是否还能将其转化为类似的拉格朗日函数无条件极值问题呢？

教学设计此时，让学生再次回顾上述分析过程，看看上述推理过程中的核心点和创新处在那，能否将其拓展到更多元、更多条件的情形，且搞清楚为什么能拓展.从而让学生理清该知识内容的理论体系，领悟其中所蕴含的创新性和科研方法，进一步提升学生的创新思维和科研能力.

小结3对于条件极值问题，拉格朗日乘数法可以推广到含有多个约束条件的n元目标函数情形，如：对于目标函数为u=f(x，y，z)、约束条件为φ(x，y，z)=0，ψ(x，y，z)=0的条件极值问题，可以转化为下列拉格朗日函数

L(x，y，z，λ，μ)=f(x，y，z)+λφ(x，y，z)+μψ(x，y，z)

的无条件极值问题，其中λ、μ为参数.

教学设计此处向学生科普论文收录SCI (Science Citation Index，科学引文索引)及其分区情况；并基于上述必要条件所得成果，显然相较于(1)式、(2)式成果，写成(4)式的成果可以发表一个分区很高、级别很好的SCI期刊论文.因此，通过思维的突破与科研的打磨，我们完全可以把一个初步的研究结论(如(1)式、(2)式)提炼、升华为一个完美的结论(如(4)式，拉格朗日乘数法)，进而在学生心中播撒科学研究的种子，引导学生重视创新思维的提升，激励学生树立做具有创新性大科研的目标.

表 2018-2019学年第二学期评教系统中学生对教学的反馈信息

2.3 条件极值的判定与应用

问题7由上述必要条件的探究知，已经将条件极值问题转化为对应的拉格朗日函数的无条件极值问题，那么如何判断拉格朗日函数的驻点是否是极值点呢？

实际问题判定若根据实际情况对应条件极值必定存在，且相应的拉格朗日函数在定义区域内只有唯一驻点，则该点即为所求条件极值点，其对应的函数值即为所求极值.

应用针对前面的实例，分别运用上述介绍的两种方法对其求解.

解法2(间接转化或拉格朗日乘数法) 作拉格朗日函数

L(r，h，λ)=2πrh+2πr2+λ(πr2h-V0)，

教学设计对于条件极值充分性的相关理论，教学中一般不作要求介绍.因此，为了理论体系的完整性，通过一些拓展问题，倡导学生课后通过查阅资料，自学完成相应拓展内容.

拓展1条件极值的必要条件、充分条件还有哪些，试给出一两个你认为比较漂亮的结论，并总结、归纳每个条件演绎下的思维创新和科学方法；

拓展2能否给出一两个条件极值的必要或充分条件的几何意义，并给出其中蕴含了哪些数与形的刻画与描述；

拓展3请学生思考：有没有通过拉格朗日乘数法漏掉若干个极值点？稳定点是不是所有可能的极值点？

拓展4条件极值在你所学专业中有哪些应用，试总结归纳几个典型应用.

教学设计目前，各个高校都在开展智慧课堂，提供了各种各样的APP等交流平台.因此，每个拓展训练可以向学生适当推荐1-2篇阅读文献或资料链接，让学有余力的同学将自学的拓展内容总结好，分享到对应的交流平台.一是让一部分学习自觉性、积极性差的同学感觉到差距和压力；二是形成一个比较好的、良性竞争互学的氛围；三是通过平台交流，激发学生的自主性、创新思维和科研意识.

3 教学实效

本知识的教学设计方案已经分别在2018-2019学年第二学期、2019-2020学年第二学期高等数学的实际教学中开展了教学实践，具体情况如下.

上表给出的是2018-2019学年第二学期评教系统中学生对教学的评语，将其归类，大致包括上述六类.从中可以看出：学生认为教学是喜欢的、“生动形象”，对于层层设问的课堂互动、考核方式是“有趣”、“清晰”的；此外，学生也觉得课堂中的拓展是“很有意思”的，对高等数学这一学期教学的整个评教是积极的、很好的.当然，由于是一百多人的大班教学，也存在学生不能完全清晰的看到幻灯片等问题.

对于2019-2020学年第二学期中条件极值的教学情况，做了一个相应的问卷调查.针对开展的研究式教学情况，设计了六个问题，通过班级QQ群(235人)进行在线问卷调查，共收回196份完整、有效的答卷，详见图2.由于学生在手机上答题时，按照顺序答完前一题后才能看到后一题，因此图2中的调查结果越来越清晰的反映出研究式教学对于学生的创新思维、科研意识有很大启发和促进.此外，第四题数据说明研究式教学对于学生的自学能力也有很好的提升，第五题调查数据表明研究式教学对于线上教学的开展有很好的帮助.当然，通过数据和学生访谈发现，也有个别少数基础很薄弱的同学对于层层设问、循循善诱的研究式教学还不能很好适应，这也是我们后期教学中需要关注、改进和研究的.

图2 2019-2020学年第二学期关于条件极值教学情况的问卷调查及其统计图

综上教学系统中学生的评教、问卷调查反馈的信息，以及学生课堂中的表现，可以清晰的发现：实施启发诱导、问题探究相结合的研究式教学，能够很好地调动学生学习高等数学的兴趣和积极性，极大地激发了学生的创新思维，培养了学生的科研意识和能力.

4 结 论

本文在条件极值的研究式教学设计中，始终基于三个主线展开：

一是，通过条件极值理论知识体系抽丝剥茧式的问题陈设，循循善诱，使学生学会如何基于已知知识去探究未知科学，不断磨炼、突破学生的创新思维；

二是，通过画龙点睛的阐述知识体系每推进一点所涉及的科学方法，透过现象看本质，使学生深刻地感悟如何将所学理论知识以及衍生的科学方法运用于分析、解决新问题之中，不断强化学生的科研意识和能力；

三是，通过精心设计知识内容的拓展训练，激发学生的问题探究意识，产生链式效应，着力提高学生运用数学知识分析问题、解决问题的科研创新能力.

从条件极值研究式的教学实践来看，高等数学课程中还有许多知识点可以在教学过程中适时地、合理地引入研究式教学，重新构建、创设研究式教学情境，不仅丰富、深化了教学内容，极大地激发了同学们的自主性和问题探究意识，进而提高了高等数学课程的教学水平，而且培养了学生的创新思维和科研能力.因此，教师要始终坚持把培养学生的创新思维和科研意识作为研究式教学的出发点，将创设富有启发思维、科学探究的研究式教学情境作为落脚点，科学、合理地将研究式教学方法与其它优秀的教学法不断协调与融合，为教育教学的优化和改革添砖加瓦，不断贡献自己的力量.

致谢作者非常感谢审稿人提出的建设性意见，特别感谢唐烁老师对本文所给的宝贵指导，极大地提高、丰富了本文的内容.感谢合肥工业大学2019-2020学年第二学期高等数学(下)28、29教学班同学对于教学和问卷调查的配合和支持.