基于遗传算法的低轨导航星座构形优化设计

李怀建，韦彦伯，杜小菁

(北京理工大学宇航学院, 北京 100081)

0 引言

近年来，低轨卫星得到广泛关注并迅速发展。从最初的铱星(Ridium)系统和全球星(Globalstar)系统，到如今的O3b、OneWeb、星链(Starlink)等系统，低轨卫星系统的功能从实现卫星移动通信，到实现宽带接入、天基物联，低轨卫星星座正被广泛运用到各个领域[1]。

目前，常用卫星导航系统包括美国的GPS系统、欧洲Galileo系统、俄罗斯GLONASS系统、中国北斗导航系统，均为中高轨星座系统。低轨卫星相较于中高轨卫星轨道高度较低、路径损耗小，使得低轨卫星星地延迟相对较小、信号衰减小，在一些遮蔽较为严重、具有信号干扰的环境中，具有显著优势[2]。另外，低轨卫星重量相对较轻，可以充分利用一箭多星技术的优势，大大降低其发射成本。

传统星座设计中常采用覆盖带法进行覆盖分析，计算效率高，但在星座参数空间巨大、优化约束较复杂情况下，很难获得或接近最优解。遗传算法鲁棒性好，可以有效解决星座设计中参数离散、目标函数非线性等问题，能扩展星座设计的解空间[3],进一步逼近最优解。

1 传统卫星星座构型设计概述

在传统星座设计中，常见的星座构型包括Walker星座构型[4]、Flower星座构型[5]、近极轨道构型等。

Flower星座由于采用共地面轨迹设计，导致其卫星轨道平面较多，星座构型较为复杂，卫星维护运营较为困难，目前应用较少。

Walker星座构型[4]以及基于覆盖带法(street of coverage，SOC)的近极轨道设计方法[6]是公认的实现大规模全球连续覆盖圆轨道卫星星座的解析设计方法，已被广泛运用到各种星座系统中。

1.1 Walker星座构型

Walker星座特征是所有卫星在同样的轨道高度上，且均匀地分布在各个对参考平面有相同倾角的倾斜圆轨道上，在确定轨道高度和轨道倾角的情况下只需要星座卫星总数T、轨道数P、相位因子F三个参数就可描述整个星座的分布，其中F表示位于不同轨道卫星的相对位置，取值范围为(0～P-1)。Walker星座在全球和纬度带覆盖上有突出的优势，应用广泛，如全球星、北斗等卫星星座系统[7]。

以赤道作为参考面,假设第一条轨道面上的升交点赤经为Ω0，初始时刻该轨道面上某颗卫星为第一颗卫星，其初始相位记为u0，则星座中的第i条轨道面上第j颗卫星升交点赤经Ω和相位u分别为：

(1)

相较于近极轨道星座，Walker星座的全球纬度覆盖能力较好[7]，有利于进一步优化。同时，Walker星座是圆形轨道星座全球覆盖设计问题的最佳解决方案之一[1]。

1.2 覆盖带分析方法

目前覆盖分析方法主要有网格点法[8]、球面三角形外接圆法与覆盖带法等。

网格点法通过在目标区域内规律布置一定数量的地面观察点，在足够长时间内以确定的时间间隔对观察点进行卫星覆盖统计，进而获得区域覆盖特性。其优点是精度较高，适用于任何类型的轨道，缺点是计算效率较低，且无法得到对星座设计的一些指导性信息[9]。球面三角形外接圆法可以针对具有相同半长轴和偏心率的卫星组成的星座对全球连续性覆盖进行分析，但效率较低，且只能用于圆形覆盖区域。

覆盖带设计方法将同一轨道下的覆盖范围视为带状，可以高效分析同构星座的全球或者纬度带连续性覆盖情况[10-12]。

2 基于遗传算法的星座构型优化

星座构型设计本质是一个多目标多约束的优化问题，采取适当的优化算法可以有效提高星座覆盖能力等性能。

由于卫星总数、轨道数等星座参数的整数特征、优化目标与星座参数关系的不确定性，在星座优化设计中采用遗传算法[13]，可以有效解决星座设计中参数离散、约束函数非线性等问题，扩展星座设计的解空间并逼近最优解；遗传算法在星座构型优化中的流程图如图1所示。运用遗传算法进行星座构型优化时，需要针对不同的星座优化目标，分析其所受约束并建立对应的适应值函数与约束模型函数，以进行遗传操作、更新种群。

图1 遗传算法在星座构型优化中的流程图

文中以减少卫星总数T作为星座结构优化目标，并尽可能减少卫星轨道数P。在此基础上建立遗传算法的适应值函数并进行优化计算。

3 基于遗传算法的星座优化验证

全球星系统采用Walker星座构型，由48颗卫星分布在8个倾角为52°的圆形轨道平面上，每个轨道平面6颗卫星，轨道高度约为1 414 km。整个系统在南北纬70°以内地区，总有2～4颗卫星覆盖[14]，即可以实现南北纬70°的双重覆盖。其星座可近似记为W48/8/1/52星座，W表示Walker星座，数字依次代表卫星总数T、轨道数P、相位因子F与轨道倾角。本次优化目的是验证算法的正确性；同时在实现同等覆盖性能下，减少星座卫星总数。

为达到星座卫星总数最少的目标，适应值函数应当与卫星总数呈正相关。优化中使用STK软件进行星座性能参数(即覆盖重数)计算。根据全球星星座覆盖性能，优化中，约束星座在南北纬70°内覆盖重数大于2。

在轨道高度为1 414 km、轨道数为8的约束条件下，采用遗传算法设计出与全球星系统同等覆盖能力Walker星座。在STK中计算多个周期内星座覆盖性能，所得结果如表1、图2所示。在限定轨道数P=8时，设计星座为W48/8/3/53。

表1 同轨道数下设计结果与原星座对比

图2 同轨道数下设计星座与原星座最小覆盖重数

可以发现，利用遗传算法设计结果可满足南北纬70°区域内的双重以上连续覆盖要求；优化星座参数与全球星系统星座参数相近，覆盖性能基本一致，验证了算法的正确性。

在此基础上，去除轨道数约束、利用遗传算法进一步优化星座，在同等覆盖性能要求下减少卫星总数。优化结果如表2、图3所示。在不限定轨道数P时，设计星座为W44/11/2/52。

表2 最少星数设计结果与原星座对比

图3 最少星数下设计星座与原星座最小覆盖重数

结果显示，优化后星座卫星总数减少了4颗，且同样能够实现南北纬70°区域内的双重以上连续覆盖，可以满足全球星系统设计需求。

4 基于遗传算法的低轨导航星座构型设计与优化

全球星系统是通信系统，需要保证信号覆盖范围。优化设计时通过覆盖设计约束基本可实现其性能；相较之下，卫星导航系统所受约束更加复杂。需要先对星座所受约束进行分析建模，以确定遗传算法的约束函数。

4.1 低轨导航星座约束分析

低轨导航卫星星座设计所受约束包括星座高度、最小地面仰角、覆盖重数与精度因子(dilution of precision，DOP)值等。

4.1.1 星座高度

低轨卫星轨道高度受到多种因素影响。在近地空间内，被地磁场捕获的高能电子与质子形成了环状辐射带，又称为范艾伦带。其分为内外两带，内带位于地球上空650～6 300 km处，外带位于10 000～65 000 km处。范艾伦带中的高能粒子会损坏卫星元件，缩短卫星寿命。当轨道高度小于650 km时，可有效规避范艾伦带；而当轨道高度超过1 300 km后，范艾伦带的影响急速增强[12]。因此低轨卫星轨道高度通常位于500～2 000 km，在这一范围内范艾伦带对卫星影响相对较小，可采用有效的防护措施保护卫星、抑制其破坏力。进一步提升轨道高度会产生较大卫星损耗与防护成本。

轨道高度还受全球覆盖所需卫星数量的影响。随着轨道高度降低，卫星信号覆盖范围迅速减小，实现全球覆盖所需卫星数量迅速增加。以基于覆盖带法的Walker星座构型为例，当限定最小地面仰角为10°时，可以得到实现单重覆盖所需要的最少星数如图4所示，当星座高度为500 km时，需要252颗卫星；2 000 km时则仅需要48颗；所需卫星数随高度上升不断减少，在1 500 km后卫星数变化较小，1 500 km处与2 000 km处所需星数仅差16颗(64颗、48颗)。

图4 Walker星座单重覆盖星数随轨道高度变化(最小仰角α=10°)

另外，卫星轨道过低，受到的大气阻力等干扰大大增多；轨道过高，发射与运行成本也会提高。综合以上因素，设定低轨星座设计高度为1 500 km。

4.1.2 最小地面仰角

卫星在进行信号传输与地面观测时，会受到多径效应和阴影效应的影响，发生信号的散射、折射、反射、遮挡等现象，因此卫星对于用户的直接可见并不能保证信号可用。为保证卫星信号传输与地面监控的稳定性，需要约束仰角最小值进行可用星选取。对于导航卫星而言，最小仰角一般设定为5°～15°间。最小仰角α、卫星高度h、单星覆盖半径θ以及地球半径R的关系如图5所示。

图5 卫星单星覆盖示意图

由几何关系可得：

(2)

由式(2)可知，最小仰角过大会导致卫星理论信号覆盖半径减小，所需星数增多。但最小仰角过小，则会使信号传输不稳定、DOP值受到影响。综上所述，选取最小仰角为10°。

4.1.3 覆盖重数要求

设计目标是建立可用于全球导航的低轨星座。采用经典的测边交会法进行导航解算。

测边交会法卫星导航的伪距观测方程为：

(3)

4.1.4 DOP值

对卫星导航星座性能进行评价时，常采用DOP值作为重要标准。DOP值的数值大小取决于卫星的位置、可见星数目、卫星高度及方位等因素，用于反映地面站与可见卫星星座的几何关系[13]，可近似视为测量误差放大倍数。DOP值越小，卫星导航结果精度越高。DOP 包括水平精度因子(HDOP)、垂直精度因子(VDOP)、位置精度因子(PDOP)、几何精度因子(GDOP)和时间精度因子(TDOP)。文中主要以衡量位置精度的PDOP值作为约束。

GPS要求PDOP值不超过6。一般来说，DOP值不能超过8[13]。设定低轨导航卫星星座PDOP值为8。

4.2 星座设计性能指标

在星座设计中设定轨道高度为1 500 km、最小仰角为10°；星座性能方面，约束星座在连续多个周期(6 h)中在全球范围始终保持四重以上覆盖、各网格点PDOP值均值小于8。

根据以上约束及导航应用需求，星座设计主要通过覆盖重数、卫星建设运行成本与PDOP值覆盖率两项指标进行星座性能评估。

卫星建设运行成本通过卫星总数T与轨道数P体现，星座卫星总数与轨道数越少，其建设运行成本越低。

PDOP值覆盖率定义为同一时刻下全球PDOP值小于阈值的区域面积占全球面积的百分比。根据PDOP值约束设定阈值为8。

4.3 设计结果分析

基于以上约束与性能设计指标，分别利用覆盖带法与遗传算法进行低轨导航星座设计与构型优化，并将设计结果导入STK软件进行覆盖数和DOP值等性能指标计算分析。所得优化星座参数如表3所示。

表3 低轨导航星座设计结果对比

遗传算法所得设计星座比覆盖带法求解星座卫星总数减少了5颗、轨道数减少6条。

两种算法的最小覆盖重数与PDOP值均值随纬度分布情况如图6、图7所示。

图6 覆盖带法设计星座(W170/17/13/63.3)最小覆盖重数、PDOP值均值随纬度分布图

图7 遗传算法设计星座(W165/11/4/87)最小覆盖重数、PDOP值均值随纬度分布图

遗传算法设计星座相较于覆盖带法设计星座，覆盖重数更高。其绝大部分区域最小覆盖重数可达到四重以上,PDOP值显著降低。覆盖带法PDOP值最大值为7.46，遗传算法结果仅有2.62，且变化较为平滑。

两种算法设计星座的PDOP值覆盖率情况随时间变化如图8所示，其中PDOP阈值为8。遗传算法PDOP值覆盖率始终在99.98%以上，而覆盖带法则仅有98.85%到99.3%，遗传算法对星座PDOP值覆盖率有了较好提升效果。

图8 两种星座覆盖率变化图

以上仿真结果验证了所提出的基于遗传算法的低轨全球导航星座构型优化设计方法的有效性。

5 总结与展望

针对星座设计中存在的卫星参数空间大、星座设计参数离散、约束函数非线性等问题，开展了基于遗传算法的低轨导航星座构形优化设计。介绍了部分经典传统星座设计与覆盖分析方法，分析了利用遗传算法进行低轨卫星导航星座设计的设计流程；利用全球星系统对这一设计方法进行方法验证、优化全球星星座构型。结果验证了基于遗传算法的低轨星座设计的正确性；分析了低轨卫星导航星座的设计约束，分别使用覆盖带法与遗传算法进行星座设计与构型优化，并对设计出的两个星座进行性能对比分析。仿真分析显示，遗传算法相较于传统的覆盖带法，设计星座卫星总数减少了5颗、轨道数减少6条；星座覆盖重数显著提升，PDOP值最大值由7.46降至2.62，PDOP值可用覆盖率由99.3%以下提升到99.98%以上，进一步验证了遗传算法在低轨导航星座设计中的有效性。

就导航功能而言，开展进一步深入细致设计优化还需考虑更多约束问题，如重访时间、可靠性与轨道稳定性等；另外，低轨卫星系统的功能由单一通信、测绘或导航功能逐渐趋向多元化，未来星座设计中受到的约束会更加复杂。后续研究中可针对多约束问题，进一步开展基于遗传算法的低轨卫星多目标优化、多功能低轨星座的设计。