深度学习在数学教学中的生成与进阶

【摘 要】 《中国高考评价体系说明》要求数学考查转向，实现学生在数学教学中的深度学习.学生的深度学习生成与进阶可以从四个方面实施，即明确教学三种逻辑，寻找学生最近发展区;合理设计体验情境，设计数学具身活动;把握学生数学需求，高效进行知识交互;助力学生知识建构，主动回归现实应用.深度学习的实施还需要教师确立学生体验为核心的教学理念，优化教学环节.

【关键词】 复数;深度学习;HPM;具身

2019年教育部颁布了《中国高考评价体系说明》，搭建“一核四层四翼”评价结构，其中“四翼”提出了考查要求，即“基础性、应用性、综合性、创新性”.2020年高考数学山东卷以及适应性考试的试题都清晰地体现了考查要求的转向，由考知识转向考应用，由考解题转向考方案，由考问题转向考创新，这种转向要求数学课堂教学能够实现学生的深度学习.

深度学习是指基于人类探究、创新和有目的行为，旨在激发学生与教师的活力与激情，让学生更合乎人类的本性，让学生更直接、深度地投入、参与到学习中，进而实实在在地改变生活，改变世界[1].主要体现在三方面，一是运用知识解决现实问题;二是反思生活与改变世界;三是促进核心素养的生成.

1 深度学习在复数教学中的生成与进阶

数学教学作为一个系统，包含静态要素：教师、学生、教学内容与教学环境.四个静态要素相互关联、相互影响，以学生深度学习为导向的数学教学需要四个要素协调运作，教师需要发挥积极作用，为教学系统提供驱动力，将数学教学中的静态要素串联为动态系统，促进深度学习的生成与进阶，图1为生成深度学习的四要素关系图.

1.1 明确教学三种逻辑，寻找学生最近发展区

最近发展区是指学生现有发展水平和潜在发展水平之间的距离，教师的教学设计首先要依据所教学生的学情，寻找学生的最近发展区，确立教学目标，即在教师的帮助下学生可以够得着的潜在发展水平.教师可以从知识逻辑、教学逻辑、认知逻辑三种逻辑角度，分析并寻找学生的最近发展区.

案例1 复数的概念（2019年人教A版）教学分析

学生现有水平：能够解决判别式大于或等于0的实系数一元二次方程根的问题，理所当然地认为判别式小于0时的实系数一元二次方程无实数根;曾经历过一次数系扩充，即方程的根从有理数到无理数的过程，在没有无理数概念时，学生能够解方程x2-4=0，但是不能求解方程x2-2=0的根.

学生的最近发展区：学生学习了对数的概念，如2x=3中x的对数表达，通过引入新的数学符号对概念进行定义.

三种逻辑：①知识逻辑，数系的扩充已经完成了自然数、整数、有理数、实数四个过程，每一过程都是在上一数系基础上，重新定义新的数，同时后者的运算规则兼容前者的运算规则;②教学逻辑，即类比推理的方法可以得出复数概念的新定义与运算法则;③认知逻辑，面对方程x2+2=0，可以选择方程无解，也可以思考无解的原因是我们关于数的认识局限性，如在整数域内解方程x2-2=0，也是无解的，但是如果在实数域内解方程x2-2=0，则是有解的，所以是否有解与所处于的数域有关，自然得出复数的定义，这是一种基于自身体验产生的需求问题，是一种具身认知.

点评 ①教师的教学不仅仅是将知识告诉学生，还应在学生已有认知基础上构建新认知，所以教学首先要清楚学生关于所要学习知识的最近发展区，让新知识的构建有锚点，案例一中针对学生已经学过的数系扩充进行了分析，同时对一些数学概念进行了回顾，准确寻找到学生知识体系中的生长点.②三种逻辑中，知识逻辑基于数学大概念，教學逻辑基于归纳推理的严格逻辑证明，认知逻辑中学生的体验是教学的核心，三种逻辑的正确理解与应用是教学高效的保证.

1.2 合理设计体验情境，设计数学具身活动

情境体验是学生从“他心”到“我心”转化的环节，在体验前教师所展示的问题或学生所处的情境，对于学生而言，是与自身无关的身外情境，在经历过具身活动（物理具身、思维具身、想象具身与情感具身）后，学生成为情境的主角，问题的解决成为其自身的需求.

具身活动指身体、思想、情感与想象协调参与的活动，不能狭隘地理解为必须身体参与的教学活动才是具身活动.教学中的具身活动需要根据教学内容与学情进行情境设计，学习内容直接来源于现实生活，可以设计从现象到学科知识的全过程体验;学习内容来源于其它数学模块知识的，可以从HPM（数学史）的角度进行体验，这种体验是“像数学家一样学习数学”，是从数学旧知生成数学新知的体验.

案例2 复数的概念（2019年人教A版）情境活动

学生活动1：问题1：已知方程组x+y=10，

xy=40，分别求x，y的值.

生1：代入消元，可得一元二次方程x2-10x+40=0，其中判别式Δ=-60<0，所以方程无解，即原方程组无解.

师：历史上曾经有人给出了方程的解，早在五百多年前意大利数学家卡尔丹研究的问题“把分成两部分，使其乘积为”这一问题，卡尔丹给出两个“数”5+-15和5--15，认为这两个数就是题中方程组的解.

生2：根式下面是负数没有意义的.

师：很长一段时间大家都这么认为，但是如果将这两个数当作有意义，通过检验，它们是满足原方程组的.所以这种写法有其合理的一面，即原有范围内的数不能解决这一问题.回想数的几次扩充，我们用什么样的视角理解这两个看似没有意义的数.学生活动2：

问题2：在整数范围内求解方程x2-2=0;在有理数范围内求解方程2x=3.

生3：求出的解都不满足要求，第一个方程求出是x=±2，第二个方程的根是log23，前者不是整数，后者不是有理数.

师：那么如何改编问题，就可以顺利地求出解？

生4：将题中的数域进行扩张就可以了.

学生活动3：

问题3：请同学们参考问题2中的数域扩张，对问题1也进行一次数域扩张.（同学讨论、自学）

点评 复数来源于解方程时的困境，它并非是身体物理参与发生的.①上述活动基于HPM，即数学史角度重现复数概念的发生发展，让学生在解题中既感受到复数出现的合理性，又感受到复数定义的迫切性;②在教学逻辑上，采用类比的方法，在历史上，每一次数域的扩充都伴随着新概念的出现，让学生重走数学家的探索之旅.

1.3 把握学生数学需求，高效进行知识交互

传统教学由教师端单向供给知识，深度课堂中教学首先由学生端对知识产生强烈需求，教师再进行知识靶向供给.前者是一种大水漫灌式的教学，与学生需求无关，是教师完成教学任务，对知识的自我构建;后者是精准地滴灌，学生需求是教师教学的方向，是基于学生对知识的自我构建.在知识交互中，教师与学生分别处于知识的上下游，当教师进行知识传递时，学生只有处于积极开放的状态才能更好地对知识进行内化，所以深度学习的各环节呈前后逻辑关系.

案例3 复数的概念（2019年人教A版）知识交互

问题4：如图2，观察历史上曾经发生过的数域扩张，说明数域扩张的特点.

生5：数域扩张的特点有两个，一是扩张均来源于解方程的需要，二是都加入了新数.

师：总结的非常到位，我们来看一下历史上的复数是如何定义的.由数学家欧拉引入字母i来表示方程x2+1=0的解，规定i2=-1，其中i叫做虚数单位.

视频介绍：①复数的产生：“虚数”是17世纪数学家笛卡尔创设，当时认为它不是真实存在的数字，后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实，虚数轴和实数轴构成的平面称复平面，复平面上每一点对应着一个复数.欧拉与复数，1746年欧拉在给哥德巴赫的一封信中提到虚数.1748年，欧拉发表了对复数的发展具有重要作用的欧拉公式：eix=cosx+isinx，并用這个结果处理大量问题.②高斯与复数：1831年高斯发表有关复数几何表示的相关论文，1831年高斯在论文《双二次剩余理论》以及 1831年的《哥廷根学报》论文中，对复数进行清晰的几何表示.高斯认为虚数是客观存在的[2].

师：复数的定义、复数的分类、复数相等（略）

点评 复数在其发生发展过程中备受争议，许多学者均认为它虚无缥缈，没有实际价值.在教学过程中，有些学生也存在这种认识，如何克服这种心理，是教学的重点.所以本节课依据数学史观（HPM）处理，帮助学生迅速完成数系扩充的合理性建构，教学过程让学生像数学家一样研究扩充过程.

1.4 助力学生知识建构，主动回归现实应用

传统数学教学往往强调数学知识的逻辑性及抽象性，忽视数学知识的实际应用，这既容易造成学生对数学学习产生畏难心理，又容易形成数学只停留在学习场景中的局面，因此高中数学教学迫切需要让数学走进现实生活.

案例4 复数的概念（2019年人教A版）回归体验

师：复数在量子力学、系统分析、信号分析中有着广泛地应用，但是在初等数学以及日常生活中很少涉及，在教学中应对学生指出，它现在还处于认识状态，我们生活中的手机信号处理都需要复数知识，它在物理学中有着广泛应用，当前需要从基础学起.问题6：当m为何实数时，复数z=m2+m-2+（m2-1）i分别是_______.

（1）实数; （2）虚数;（3）纯虚数;（4） 0.

问题7：解方程 x3-1=0.

生：略.

点评 复数知识的特殊性，使得我们找不到符合学生已有认知的现实世界实例，教师需要指出复数的发展方向，让学生明白学习知识的必要性，此时数学是抽象的、脱离现实生活的.在体验中设计两个问题，分别回顾复数的基础知识与解方程的应用，其中问题7是复数的具身体验.

2 深度学习在数学教学中的思考

数学是一门高度抽象的学科，其发生发展需要依据严谨的逻辑推理，数学也是许多学科的基础，所以数学的教与学需要教师厘清教学内容的知识逻辑，遵循学生的认知逻辑，明晰教学逻辑，促进学生的深度学习.

2.1 改进教学理念，培养学科素养

数学学科素养的形成需要深度学习.由于深度学习需要学生明晰学习内容的生活价值，即清楚为什么学习，理解学习内容的发展方向，即学习后能解决什么问题，因此深度学习可以激发学生学习兴趣，强化学生学习内因.同时深度学习中的教师处于顾问的角色，仅在学生解决问题遇到障碍时，才提供帮助，这种帮助可以是知识的交互活动，也可以学生体验的指导，无论哪一种形式，教师都与学生处于平等状态，学生的学习是一种成功的自我建构过程，在建构过程中自然地实现了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析的学科素养培养.

传统教学过分注重静态知识的传递，忽视数学学科素养的形成，主要有三个方面原因，一是高中数学内容处于从直观向抽象过渡阶段，高考内容繁杂且变化多样，许多学生对数学有着畏惧心理;二是学生对为何学习这些内容并不清楚，很多时候感觉是教师强加于学生的知识，学生对数学缺乏兴趣，导致许多学生厌学;三是教学质量评价行政化，行政主管部门对教师的考核主要以考试成绩为主，为此教师不仅要在有限的时间内完成课本上内容的教学任务，还要补充大量的课外知识，甚至需要超前教学.三重原因导致数学学科教学打着素质教育的旗帜，走的却是应试教育.以深度学习为目标的数学教学可以促进学生高阶思维的养成，有助于破解传统教学中的困境.

2.2 优化教学环节，实现深度学习

课堂教学中的学生常以两种状态呈现，一是听众的状态;二是基于自身需求的状态.传统教学（甲）中学生处于前一种，深度学习的教学（乙）中学生处于后一种.

教师教学顺序如图3：

图3中，教师甲处于主导地位，教学流程中，教师先将知识传递给学生，并对所传递知识进行总结，再让学生利用知识解决问题.教学系统中的教师与学生各自处于高低不同位置，是一种不平等的教学形式;学生的学习动力并非来源于自身需求，更多地是教师的灌输产生的动力，学生对于知识仍处于自我认知状态.

教师乙先让学生体验问题、发现问题，主动提出自己遇到的困难，教师针对学生的解题需求组织教学，具有很强针对性.学生对现象问题的体验形成教学的原动力，学生对知识的困惑与释疑形成教学的表层主线，学生对知识的感悟与生成形成教学的深层线索，最终实现新知与旧知的融合，有效解决真正问题，提出自己的解决问题方案，形成自己的解题特征，即为深度学习.

深度学习下的教学环节需要以学生的具身感知为中心，教师在学生力图扩充自己的内部视域时出现，在学生体验知识与生成知识时及时退出，不越位不缺位.3 结语

深度学习强调学习要在知识理解的基础上发生，通过对知识的再背景化、再情境化，还原知识的真实面貌，让学习者与知识的原初与本质相遇;强调学习者认知、情感、态度、行为的高投入性和学习过程的沉浸性;强调学习者能够在众多知识与思想间建立关联，把握学科的核心思想、意义与本质[3].教师、学生作为教学系统的两个核心要素，都需要全新的思想理解深度学习，让自己成为深度学习的动力源，培养学生的高阶思维.

参考文献

[1] 张良，杨艳辉.核心素养的发展需要怎样的学习方式[J].比较教育研究，2019（10）：29-36.

[2] 孙庆华，包芳勋.复数的历史发展及在中国早期的传播[J].西北大学学报（自然科学版），2006（03）：502-506.

[3] 张晓娟，吕立杰.SPOC平台下指向深度学习的深度教学模式建构[J].中国电化教育，2018（04）：96-101.

作者简介 张阳（1976—），男，江苏苏州人，中学数学高级教师.研究方向：数学现象教学与具身课堂.苏州市学科带头人.