构建开放、自主、深刻的拓展课堂

摘  要：数学拓展课是一种强调让学生动脑和动手的课型，主要目的是激发学生的数学学习兴趣，习得数学思维策略，开拓数学思维方式，促进数学思维发展，提高数学素养. 在“直角三角形”的拓展课教学中，通过设置开放引入、自主展开、逆向思考、纵向拓展和设问结尾五个教学环节，并采用“学生先行—交流展示—教师归纳”的教学形式，实现过程深刻的拓展课教学.

关键词：开放;自主;深刻;拓展

一、教学缘起

《浙江省教育厅关于深化义务教育课程改革的指导意见》中指出，在开齐开好基础性课程的基础上，要积极探索拓展性课程的开发、实施、评价和共享机制，并规定七至九年级每学年拓展性课程课时要占总课时的20%左右. 在此背景下，越来越多的教师开始关注拓展性课程资源的开发，思考拓展课的设计与教学. 笔者也积极投身数学拓展课的教学实践，经过两年多的“思考—实践—改进—实践—提炼”研究过程，逐步形成了开放、自主、深刻的拓展课教学风格. 下面以“直角三角形”的拓展课教学为例，阐述如何通过开放、自主、探究的环节设置，实现过程深刻的拓展课教学.

二、教学环节及说明

1. 开放引入——读图

问题1：如图1，在Rt△ABC中，[∠ACB=90°，] CD⊥AB于点D. 你能想到与此关联的哪些结论？

数学拓展课的教学宜选择从简单问题切入，图1是一个基本图形，学生独立思考之后可以得出如下结论.

学生先行：（1）[∠A+∠B=90°，] [∠A+∠ACD=90°，] [∠ACD+∠BCD=90°，] [∠B+∠BCD=90°;]（2）[AC2+BC2=][AB2]，[CD2+AD2=AC2]，[BD2+CD2=BC2];（3）Rt△ABC  ∽ Rt△ACD ∽ Rt△CBD;等等.

教师归纳：研究一个基本图形，一般可以先从图形的基本要素（边、角、线、面积、周长）入手，然后观察图形结构，再结合题目条件，发现它们的位置关系和数量关系.

【教学说明】此环节通过设置开放性的问题1，引导学生边读图边观察，挖掘图形中蕴含的直观信息，为后续教学内容的研究做好准备. 此外，通过学生先行思考、交流，教师归纳，梳理出研究几何图形的一般方法，聚焦本課教学涉及的主要知识和内容.

2. 自主展开——赋值

问题2：给图1中的某两条线段赋值，并在此基础上设计一个问题，同桌之间相互解答.

【教学说明】通过问题2突出学生的主体地位. 凸显学习的选择性是数学拓展课的重要任务，让学生给图1中的某两条线段赋值并设计一个问题，为学生自主选择学习内容创造了机会.

学生先行：（1）令AC = 6，BC = 8，求CD的长;（2）令CD = 4，AD = 2，求BC的长;（3）令AB = 10，AC = 6，求△BCD的面积;等等.

教师先肯定了学生之间的互问、互答，然后提出如下问题情境.

小明被同学们的学习热情所感染，也尝试设计了一个问题，想要考考大家. 问题如下：已知AB = 10，CD = 6，求线段AD的长.

有学生给出如下解法：设AD = x，由Rt△ACD ∽ Rt△BCD，得[CDAD=BDCD，] 即[6x=10-x6.] 化简，得[x2-][10x+36=0.] 学生发现此方程无实数解，无法求出AD的长.

教师归纳：这表明小明设计了一个“坏问题”，但恰恰是这个“坏问题”，让我们发现了一个事实，即不存在斜边长为10，斜边上的高为6的直角三角形. 由此，引发新的思考：直角三角形斜边上的高与斜边之间满足怎样的数量关系？

学生解答：如图2，取AB的中点E，连接CE. 易知[CE=12AB]. 而CD ≤ CE，故[CD≤12AB]，即直角三角形斜边上的高小于等于斜边长的一半.

【教学说明】《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，学生的学习活动是一个自主探索和合作交流的过程. 拓展课教学不仅要教会学生解答、掌握结论，更重要的是让学生在自主探索和解决问题的过程中锻炼思维、发展能力、激发兴趣，进而逐步养成自主选择问题和提出新问题的意识. 于是此环节改“师问生答”为“生问生答”和“错题解答”，旨在调动和发挥学生的主体性，凸显自主、选择与思辨. 其中，让学生进行生问生答，为的是有效激起学生的学习潜能和思维动力，使学生向内聚焦自己的发现，向外打开视野，也让自己的数学素养得到充足而自由的发展;而让学生进行错题解答，则是为了形成认知冲突，引发悬念、引起思辨、探究成因，进而发展学生的质疑意识和批判性思维能力.

3. 逆向思考——作图

问题3：作一个直角三角形，使斜边长为10 cm，斜边上的高线长为5 cm.

追问：作一个直角三角形，使斜边长为10 cm，斜边上的高线长为4 cm.

【教学说明】要想深入掌握某个知识，就要对这个知识的正反两个方面给出明确的辨析. 基于此，对于一个直角三角形，在正向思辨的基础上，要敢于“反其道而思之”，让思维因逆向而深刻. 本环节中，已知直角三角形的斜边长和高线的长，求作直角三角形，就是对“探究直角三角形斜边上的高与斜边之间的关系”的逆向思考. 问题3相对简单，让多数学生能获得成功的体验，增强继续探究的信心与勇气，凸显人文关怀. 追问则是在问题3的基础上进行深入探究，思维含量较高. 对于追问，教师可以渗透如下两种思维路径. 一是先算后画，即借助如图3所示的草图，先计算出AD的长，确定点D的位置，再作出高CD;二是交轨法作图，即如图4，先作线段AB = 10 cm，并作出以AB长为直径的⊙O，再画垂线段OE = 4 cm，作CE∥AB，交⊙O于点C，则△ABC即为所求作的直角三角形.

4. 纵向拓展——制作

任务1：现有一根60 cm长的细木条，试用它制作一个周长尽可能大的直角三角形.（画出设计图纸即可.）

任务2：现有一根60 cm长的细木条，试用它制作一个周长和面积都盡可能大的直角三角形.（要求：小组合作;先画出设计图纸，再根据图纸制作出直角三角形.）

学生先行：对于任务1，学生通过计算，设计出的直角三角形的尺寸有：7 cm，24 cm，25 cm;15 cm，20 cm，25 cm;12 cm，22.5 cm，25.5 cm;10 cm，24 cm，26 cm;等等.

对于任务2，学生在独立思考之后，进行小组合作，发现周长为60 cm的等腰直角三角形的面积最大.

教师归纳：（1）对于任务1，除了通过计算设计出符合要求的直角三角形外，也可以通过尺规作图的方法设计出符合要求的直角三角形，如图5所示.（2）引导学生观察任务1中设计出的不同直角三角形，发现三边长为15 cm，20 cm，25 cm的直角三角形的面积最大，由此提出任务2.（3）为学生完成任务2提供帮助.

【教学说明】数学教学的最终目标，是让学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界. 于是，通过设计动手制作直角三角形环节，让学生经历“设计—操作—论证”的思维过程，实现数学作为工具学科的应用价值. 对于任务1，由于并不要求学生直接设计出符合要求的直角三角形，因此不同水平层次的学生可以采用不同的方法（低水平层次的学生可以采用“凑数”的方法，高水平层次的学生可以采用“推理”的方法）设计出周长不同的直角三角形，然后再比较这些直角三角形周长的大小，体现“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念. 任务2是对任务1的递进与深入，对学生思维要求较高，但由于有任务1做铺垫，多数学生能猜想到“在周长一定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大”，故教学重点是引导学生对此进行推理论证.

5. 设问结尾——展望

问题4：本节课主要研究了什么内容？经历了怎样的学习过程？

展望：对于直角三角形，你觉得还可以探究什么？

学生先行：（1）梳理本节课的核心内容、主要过程及思维方式;（2）提出直角三角形的其他探究内容.

教师归纳：（1）将学生的回答进行整理与归纳;（2）引导学生提出新的探究问题，并思考提出新问题的思维方法和方式. 例如，通过类比联想，引导学生提出“过直角顶点的角平分线与斜边的关系”;通过逆向思考，引导学生提出“面积比等于周长比平方的两个直角三角形是否相似”，等等.

【教学说明】一节好课的结尾应该如美妙音乐，曲终意未尽，能再次燃起学生的思维，达到“课结束，思继续”的意境. 本环节中，让学生展望直角三角形的其他探究内容，并将不同学生提出的探究内容记录下来作为家庭作业，既锻炼了学生提出问题的能力，又解决了数学拓展课的作业问题，凸显“从学生中来到学生中去”的自主开放的教学理念.

三、教学思考

本节拓展课教学，笔者采用“学生先行—交流展示—教师归纳”的教学形式，让学生有时间思考、有空间讨论、有机会表达. 宏观上，追求让学生在交流和碰撞中促进知识理解，交换数学思想;在教师归纳和点拨中渗透思维方法，领略数学魅力. 微观上，践行“设问开放，展开自主，过程深刻”的拓展课教学理念.

1. 设问开放

苏格拉底认为，理想的教育方法不是把现成的、表面的知识传授给别人，而是凭借准确的提问，激发对方思考，使对方通过自身的思考，发现潜藏于自己心中的真理. 在本节拓展课中，笔者打破“以条件为起点、以结论为终点”的常规设问方式，构建“条件固定，结论发散”的开放性设问，鼓励学生积极参与、主动探索. 在课堂的引入阶段变“结论单一的封闭设问”为“结论多元的开放设问”，旨在充分调动和发挥学生的主观能动性，既为后续教学的展开做好知识准备，又让学生深入参与课堂学习. 在课堂的结尾阶段变“归纳性封闭设问”为“展望性开放设问”，“展望”问题的抛出，让课堂再起波澜，再次引发学生思考. 不同学生看待问题的思路不同、角度不同，于是就会提出不同的探究问题，思考就会继续，研讨就会顺延，数学教学就会实现从“课中”向“课外”转移.

2. 展开自主

列夫·托尔斯泰曾说，成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣. 浓厚的学习兴趣，可以使学生产生强烈的求知欲、敏锐的思维力、丰富的想象力，以及迫切探求新知识和新问题的推动力. 基于此，对于拓展课的教学，教师需要适时后退，促使学生主动地、有选择地、富有个性地学习. 在本节拓展课的主体教学内容展开环节，笔者结合具体的教学内容，从学生实际出发，创设了“生问生答”的活动情境，把学习的选择权还给学生. 具体实施时，分为两个活动环节：一是同桌之间的“互问互答”活动，以此保障每位学生都能经历至少一次“问”和“答”的机会;二是全班展示活动环节，即先由一位学生展示自己设计的问题，再由同桌完成解答，最后由其他学生进行追问或评价. 这样的数学活动给学生提供了更多自主探究的机会，充分调动了学生学习的主动性和积极性，满足了学生的表现欲望，它既能活跃课堂氛围，激发学生的学习兴趣，又能提高学生用数学语言进行交流和表达的能力.

3. 过程深刻

拓展课是一种更加强调动脑和动手的课型，主要目的是激发学生的数学学习兴趣，习得数学思维策略，开拓数学思维方式，促进数学思维发展，提高数学素养. 一节好的拓展课教学，要做到学习目标明确、问题情境丰富、学习任务有挑战，这样过程才会深刻. 为此，教师要设法使学生深入参与教学过程，经历观察、质疑、讨论、探索、思考等一系列活动，使学生真正对所学的知识和内容产生深刻理解，对涉及的思想和方法有所领悟，从而将知识内化、方法深入，进而使知识结构和思维习惯得到扩充和改造. 在本节拓展课中，笔者站在学生的立场上设计能引发学生质疑、探疑和解疑的学习任务，促使学生深度思考. 具体体现在以下几个方面.

（1）巧设“意外”，让有价值的“意外”成为教学资源.

在“自主展开”环节，教师刻意呈现错误素材，促使学生产生认知冲突和思维碰撞，然后通过引导学生思辨与反思，让学生经历怀疑、矫正和求真的解决问题的过程，进而在一定程度上让学生的批判性思维与辨证性思维能力得到锻炼和发展，让教学过程因意外而深刻.

（2）由“正”向“逆”，让有意义的“逆向”成为思考习惯.

在探究出“直角三角形斜边上的高与斜边之间的关系”之后，教师提出逆向思考题，让学生主动参与作图活动，从中发现问题、思考问题并解决问题. 在此过程中，学生既能掌握知识和技能，又能积累思维和实践的经验，感悟逆向思维对于问题解决的意义与价值，让教学过程因逆向而深刻.

（3）动手制作，让有挑战的任务成为学习要素.

在“纵向拓展”环节，教师让学生动手设计与制作“周长和面积都尽可能大的直角三角形”，强调通过动手实践、自主探索、合作交流完成制作任务，这个富有挑战性的学习任务，无痕地将智力活动融于实践操作，有效地激发学生积极思考，进而让学生在制作直角三角形的过程中深刻理解数学知识. 更加重要的是，在这一过程中进一步发展了学生自主探索的能力和空间观念，让教学过程因实践而变得深刻.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]江丽华. 数学开放性课堂的教学实践：谈“平行四边形‘圆’来如此”教学设计[J]. 中小学数学（初中版），2019（3）：51-52.

[3]顾建锋. 知识有机整合  问题递进探究：2013年浙江省嘉兴市中考试题第24题赏析[J]. 中国数学教育（初中版），2014（7 / 8）：104-108.