有逻辑地设计问题串，让学习真实发生

应佳成

摘  要：高质量的问题设计应该从数学知识的整体性出发，引导学生经历抽象、归纳、类比等学习过程，加强学生从整体视角看问题的能力，有逻辑的问题串就是一种精心而又不着痕迹的有效设计方式. 文章以“分式”单元教学为例，从研究方式、思想方法、特殊性和差异性等关键细节、知识建构角度思考问题串的设计逻辑，并给出“有逻辑的问题串”的三个特征.

关键词：问题设计逻辑;问题串;分式

高质量的问题设计是当下提升课堂教学质量的一个切入点. 教师应该从数学知识的整体性出发，引导学生经历抽象、归纳、类比等学习过程，加强学生从整体视角看问题的能力，有逻辑的问题串就是一种有效的问题设计方式. 怎样设计问题才有逻辑？笔者认为，教师首先要理解学习对象，清楚所要研究问题的本质，设计合理的学习材料，引导学生用符合内容逻辑的方式进行思考，清晰地表达具体的操作方法，进而达成研究目标. 设计有逻辑的问题串的意义在于将逻辑关系、思想方法等内隐的思维活动外显，帮助学生在经历学习过程中保持思维的连贯性，让知识的发生、发展有逻辑可循，帮助学生形成研究问题的一般方法.

如何设计有逻辑的问题串，让学生的学习真实发生，是文章阐述的核心内容. 研究方式、思想方法、特殊性和差异性等关键细节和知识建构是问题串设计的抓手，激活学生的认知基础、沿袭内容研究的逻辑、设计合理的迁移方法是问题串的达成路径. 本文将以“分式”单元教学为例，对问题串的设计逻辑进行思考.

一、以研究方式为问题串的设计逻辑

不同的知识内容有不同的研究方式，概念、法则是初中数学中较为常见的教学内容，都有其合理发生、发展的逻辑，这种逻辑就是问题串设计必须要遵循的原则.

概念课的问题串设计需要契合其基本研究路径，以“继承已有经验，理解概念内涵，发展学习能力”为逻辑，经历“实际情境—抽象研究对象—下定义—概念辨析—概念精致—概念应用”的过程，聚焦细微处，通过让学生对系列问题的思考明确要素、准确表示、精确分类，同时要兼顾融合学生的认知心理.

性质和法则课通常会应用类比、从具体到一般等方法教学. 教师可以通过问题设计引导学生经历性质的归纳过程，引发学生对知识原理进行思考，引导学生类比已有研究经验，发现研究对象与已有知识经验的异同，归纳研究对象特有的性质和运算法则.“从学习基础出发，突出内容本质，归纳性质或法则，及时巩固研究结论”是性质和法则课问题串设计需要遵循的逻辑.

分式概念的获得需要让学生经历研究对象的抽象过程并获得分式的概念，问题串的设计需要具备“继承”与“发展”的特点，即继承小学阶段积累的分数的学习经验，将分数的概念、性质、运算、应用的学习经验迁移到分式的研究过程中;同时要继承初中阶段整式的研究经验，通过数学抽象和数学建模进一步扩充代数研究体系，归纳、概括研究对象的共同特征，获得分式概念，发展代数研究能力.

基于以上思考，针对分式概念的引入，笔者设计了如下先行组织者材料并提出问题.

（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，则宽为         ;长方形的面积为S，长为a，则宽为      .

（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，则水面高度为      ;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，則水面高度为     .

（3）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现每册降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元. 降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是      .

问题：从以上材料中能抽象获得什么样的代数式？分析这些代数式的要素和运算关系，你能归纳得到哪些特有的共性？（明确研究方法指导）

追问1：[Sa， VS， ba-x]这些式子是不是代数式？（对照上位概念）

追问2：我们以往学习过哪种类型的代数式？今天抽象获得的这些代数式是否符合以往学过的代数式类型？为什么？（归纳特征）

追问3：这类代数式与整式有哪些不同？（对照同位概念）

追问4：类比[107， Sa， 20033， VS]与[ba-x]这几个代数式，你能否给这些代数式下个定义？（下定义）

在教师抛出的问题中，“抽象代数式”“分析要素和运算关系”“归纳”“特有的”“共性”等关键词都给学生的思考提出了具体明确的要求，遵循了概念研究的基本方式. 这样的问题可以在短时间内唤起学生的概念研究经验，再用这些关键词设计系列追问，对学生做出具体指导，即可完成对分式概念的研究.

以上问题串的设计起始于对先行组织者材料的剖析. 教师通过问题设计不断引发学生的思维冲突，让学生体验到学习分式的必要性. 同时，通过挖掘分式概念的内涵，借助已知（代数式、整式的概念、分数的形式特征）辨析研究未知，类比整式的研究方式来研究这类新的对象，归纳研究对象的特征，从而概括出分式的概念.

二、以思想方法为问题串的设计逻辑

思想方法是数学学习的本质. 将思想方法贯穿始终，帮助学生体会学习方法的一致性并潜移默化地加以运用也是问题串设计需要遵循的逻辑. 分式是一类新的代数式，也是一类新的研究对象，学生是在与分数的不断类比中学习分式的. 因此，分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系，分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则，是从分数的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的. 根据这种关系，发现两者具有一致性，也可以说是数式通性. 另外，数学建模、归纳、转化与化归等也都是重要的思想方法，这些都是问题设计的重要考量.

从本质上看，分式的基本性质是分数基本性质一般化的结果，是分式进行通分和约分的根本原理，这样一般化的过程需要通过合理的问题串设计来达成. 教师的问题串设计需要兼顾上位知识，能用好数式通性，帮助学生经历思维过程的“三级跳”——用字母替代倍数、用字母替代分数、用整式替代字母，顺利抽象、概括出分式的基本性质，这对学科素养的提升非常有意义.

针对分式的基本性质的学习，笔者设计了如下问题串.

问题：上节课，我们研究了分式的概念，本节课将研究分式所特有的性质，那么分式和分数有什么关系？分式的性质和分数的性质有什么关系？分式有什么性质？请大家类比分数的性质，尝试归纳分式的性质.（提出明确的学习要求.）

追问1：选取一个任意的分数，将其分子与分母同时放大（或缩小）相同的倍数，分数的大小是否发生变化？为什么？（回顾分数的基本性质.）

追问2：符合条件的数有多少？能不能将这些符合条件的倍数用字母替换？理由是什么？（用字母替代倍数.）

追问3：可否将任意分数的性质都一般化地表示出来？（用分式替代分数.）

追问4：类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？（用整式替代字母.）

预设：类比分数的基本性质，用“式”替换“数”得到分式的基本性质，即[AB=A · CB · C]，[AB=A÷CB÷C]（C ≠ 0）.（经过三次替换、三次一般化过程，得到分式的基本性质.）

这一组问题串不但在整体视角下为学生勾勒出研究方向，明确课时教学的内容和目标，而且帮助学生体验分式与分数的关系. 追问1和追问2的目的是用字母替代倍数，帮助学生体验分式是分数的一般化的结果，体验从[ab]到[AB]的过程;追问3的目的是用分式替代分数，发现对于一个具体的分数而言，分数的分子与分母同时乘以或除以的数可以用不为0的字母替代，体验从[ab=a · cb · c c≠0]到[AB=A · cB · c c≠0]的过程;追问4的目的在于继续一般化，用整式替代字母，将分数进一步一般化为分式，体验从[AB=A · cB · c c≠0]到[AB=A · CB · C C≠0]的过程，通过类比得到分式的基本性质. 经过这样一组精心设计的、有内部关联的问题串的引导，更容易让学生真正理解分式的基本性质.

三、以特殊性、差异性为问题串的设计逻辑

随着知识的拓展，在一些新内容的学习过程中，知识之间的联系和转化等思想方法往往是重点. 但是新知識的学习过程中，同样需要关注的还有新知识的特殊性，以及新、旧知识之间的差异性，这些往往是区分新、旧内容的关键，是概念、法则教学必不可少的有机组成部分，有逻辑的问题串设计对处理好整体与细节的关系、突出特殊性、辨析差异性具有不可忽略的作用.

与整式方程相比，分式方程的特殊性是其分母中含有未知数. 从表象上看，分式方程与整式方程相比有两个明显区别，因此解分式方程需要注意两个关键细节. 一是通过去分母转化为整式方程;二是通过去分母得出的整式方程的解必须经过检验，只有使分母不为0的解才是分式方程的解. 教师在讲清楚这两个细节的同时，需要让学生明晰其本质原因，之所以产生增根，是由于去分母时在方程两侧乘以的是整式而非数字.

针对分式方程的求解，可以对关键细节提出如下问题串.

问题：去分母，将分式方程转化为整式方程后，为什么有的整式方程的解是分式方程的解，而有的整式方程的解不是分式方程的解？

追问1：将分式方程转化为整式方程的手段是什么？

追问2：整式方程去分母和分式方程去分母的关键差异在哪里？

追问3：将分式方程去分母时，方程两侧同时乘以整式，该整式是否存在等于0的可能？

追问4：你能说说为什么解分式方程需要检验吗？

通过以上问题串的设计，使学生明白算理，理解产生差异的根本原因，让学生知道解方程绝非简单的机械化的程序性操作. 理解事物之间存在联系也存在特殊性，不但要知其然，更要知其所以然，提高认识水平.

再如，分式与分数的关系对于学生代数观念的形成非常重要，这也是教学中需要关注的细节. 在教学中，往往一个简单的问题串设计即可完成分式与分数的辨析.

问题：你能说说分式与分数的区别与联系吗？

追问1：分数[45]表示什么？分式[a+12a-1]表示什么？

追问2：当a的值分别为-2，1，2，-1时，分式[a+12a-1]的值是否相同？分式[a+12a-1]是否还有其他的值？为什么分式可以有不同的值？

追问3：当a取不同的值时，分式对应不同的值，那么是否可以认为，对于分式[a+12a-1]，字母a可以取任意一个数？到底可以取哪些数？

追问4：分式与分数的差异在哪里？

这一组问题设计的意图在于帮助学生回顾、体验、总结，明晰两个细节. 第一，让学生明确，与分数相比，分式是分数的进一步抽象，更具有一般性;第二，引发认知冲突，即整式研究所得到的经验是字母的取值不受限制，分式则不同，这是类比迁移学习经验后对差异的关注，是为了突出研究对象的特有性质，起到强化理解、精致概念、提升思维水平的作用.

以上问题串的设计引导学生适时关注特殊性和关键差异，便于学生更好地理解学习对象的本质.

四、以知识建构为问题串的设计逻辑

有逻辑的问题串设计不仅可以给学生提供一个合理的开始，而且可以帮助学生规划大致的学习方向，形成整体认识问题的视角. 课时小结环节的问题串设计往往起到画龙点睛的作用. 总结学习过程、构建单元框架是问题串设计需要遵循的逻辑.

例如，对于“分式的乘除”的课时小结，教师可以提出如下问题串.

问题1：本节课我们研究了什么问题？（回顾研究内容.）

预设：分式的乘除运算.

问题2：分式乘除的运算法则是什么？（聚焦研究对象.）

预设：类似于分数乘除的运算法则. 分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母;分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

问题3：分式乘除运算的结果如何化为最简？原理是什么？（聚焦基本原理.）

预设：约分是将分式化为最简的方法. 约分的基本原理是分式的基本性质.

问题4：两个分式进行乘除运算的步骤是什么？（聚焦操作方法.）

预设：如果分式的分子和分母都是单项式，则先按照分式乘除法则进行运算，再对结果加以约分;如果分式的分子或分母是多项式，先分解因式，再按照分式乘除法法则进行运算，最后对结果进行约分，如图1所示.

[两个分式相乘或相除][分式的乘法] [    分子与分母都是单项式][    分子或分母是多项式][    用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并约分][    先因式分解，再用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并约分] [转化][图1]

问题5：关于分式，我们已经研究了哪些内容？请思考接下来还要研究什么内容？（后续研究思路.）

预设：已经学习了分式的概念、性质及分式的乘除运算，接下来将研究分式的加减运算和应用，如图2所示.

以上问题串可以帮助学生明确三个问题. 第一，总结学习过程，聚焦分式乘除运算法则;第二，提炼思想方法，揭示乘除运算的根本原理是分式的基本性质，明确步骤化操作流程;第三，构建单元框架，将研究纳入已有的知识体系，并为后续研究提出思路.

五、有逻辑的问题串的特征

并不是将一组问题堆砌在一起就叫问题串，有逻辑的问题串既要符合课型研究的要求，又要有层次、有方向，是具有内在关联的系列问题的有机组合. 主干问题与追问之间环环相扣、层层递进，形成问题串. 知识、能力和思维层次都是问题串设计过程中需要教师思考的. 教师需要先明确学生应该学什么、能够做什么，以及怎样做才能实现教学目标，进而在细致分析的基础上设计问题串. 笔者认为，有逻辑的问题串要符合以下特征.

1. 以问题驱动，以逻辑追问

“问题”是引起思维活动的驱动力，也是思维外显的一种直接手段，“串”表明一组问题之间是有逻辑的，可以揭示教学内容之间内在的逻辑线索. 问题串一般由一个主干问题提出思考，这个主干问题聚焦于需要解决的问题，包含若干个关键词，而这些关键词将是若干个追问. 这样的问题串有驱动、有思考，层层递进，由浅入深，能为学生搭建思维的“脚手架”，引导学生体会内容所蕴涵的思想方法，触及研究本质，促进学习迁移.

2. 以继承驱动，以发展追问

有逻辑的问题串能够帮助学生了解知识的来龙去脉，经历知识的生成过程和构建过程，能体现知识领域之间、方法之间的关联，具有可发展性. 教师通过帮助学生在头脑中形成清晰、稳定、系列的知识链条，突出核心概念的思维构建过程和技能操作过程，突出思想方法的领悟分析过程，达成教学目的.

3. 以思维驱动，以探索追问

有邏辑的问题串设计既可以向广度发展，也可以向深度发展. 问题应该立足于学生思维的最近发展区，用问题之间的关联与递进激起学生的认知冲突，引发学生主动思考. 有逻辑的问题串能为学生提供探究的线索，对学生的思维形成挑战，促使学生在积极主动的探索中达成学习目标.

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