行列式定义的相关注解

王子晗 黎 雄

(北京师范大学数学科学学院 100875)

1 引言

行列式起源于人们解线性方程组时分离系数的需要，其作为一种速记的数学符号极大地简化了人们求解多元线性方程组的繁杂过程. 我们所熟知的克莱姆，也就是创立解线性方程组的克莱姆法则的数学家首次给出了行列式的计算定义，详细地阐述了如何计算行列式. 在很长一段时间内，人们对于行列式的理解仅仅是一个工具，简化求解线性方程组的工具.

范德蒙是首次将行列式与线性方程组分开单独研究的人，以他命名的范德蒙行列式也曾在线性代数课上被反复提及. 他给出了行列式展开的详细法则，此后拉普拉斯在他的基础上对于行列式的相关计算性质加以推广和扩充. 自那以后行列式自成一体，成为一个独立的分支.

行列式的性质很多，那么到底哪几条性质是成为行列式所必备的呢？或者说，哪几条性质可以作为根源进而推导出其他更加复杂的性质呢？人们最终提炼出了行列式最为基本而且简单的三条性质，从而导出了行列式的公理化定义.

行列式不仅仅可以用于解线性方程组，重积分中换元积分法的雅可比矩阵，解析几何中立体图形的体积也都与行列式有关. 事实上，这一结论在三维空间中并不陌生. 我们知道，三个向量的混合积就是这三个向量张成的平行六面体的有向体积，而混合积恰好可以表示成一个3阶行列式. 那么更高维的情形呢？施密特正交化方法为扩充其含义起到了重要的作用.

本文我们首先给出这三种定义，然后用严格的数学语言证明其等价性.

2 三种定义的表述形式

定义1 计算定义[1]n阶方阵A=(aij) 的行列式记作detA，它是一个实数,定义为

其中Sn表示n元置换群，εσ表示置换的符号，偶置换对应于1，奇置换对应于-1.

定义2 行列式的公理化定义[2]为一个域，如果函数det :Mn()→满足以下性质

(1)线性性质：函数关于整列是线性的,即

det (α1,…,λβi+μγi,…,αn)

=λdet (α1,…,βi,…,αn)+μdet (α1,…,γi,…,αn);

(2)归零性：若不同位置的两列相同，αi=αj,i≠j, 那么det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)=0;

(3)规范性：detIn=1，其中In是对角线全为1而其它地方全为0的n阶单位矩阵.

那么detA称为A的行列式.

定义3 行列式的几何定义n个n维列向量组成的行列式的值定义为这n个向量张成的n维平行2n面体的有向(n维)体积.

3 三种定义的等价性

我们首先证明行列式的计算定义与公理化定义等价.

定义1→定义2即要证明计算定义中的行列式满足公理化定义中的三条性质.

(1)线性性质：

(2)归零性：若αi=αj,i≠j，则 det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)=0.

由计算定义，可知

det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)

由于αi=αj,i≠j, 所以上式右端所出现的项全能两两相消，因此，

det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)=0.

(3)规范性：由计算定义易得 detIn=1.

定义2→定义1即要证明满足公理化定义中的三条性质的函数只能是计算定义中的行列式.

由归零性和线性性质, 可得

0=det (α1,…,αi+αj,…,αi+αj,…,αn)

=det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)+

det (α1,…,αj,…,αi,…,αn).

所以，det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)

=-det (α1,…,αj,…,αi,…,αn).

下面根据公理化定义给出A的行列式的计算定义.

如果记e1=(1,0,…,0)T,e2=(0,1,…,0)T,…,en=(0,0,…,1)T, 那么

detA=det (a11e1+a21e2+…+an1en,a12e1+a22e2+…+an2en,…,a1ne1+a2ne2+…+annen)

下面我们证明定义1→定义3,即要证明行列式的计算定义可以用来计算n维平行2n面体的有向体积.设张成n维平行2n面体E的列向量为α1,α2，…,αn.这里采用施密特正交化方法，将E转化为与其体积相同的直角n维平行2n面体E0以便计算其体积.

设张成E0的n个向量为β1,β2,…,βn,

如果记E0的有向体积V(E0),那么

V(E0)2=|β1|2…|βn|2

=det [(β1T,…,βnT)·(β1,…,βn)]

=[det (β1,…,βn)]2.

同时注意到

det (β1,…,βn)

=det (α1,…,αn).

因此，E的有向体积

V(E)=V(E0)=det (α1,…,αn).

最后我们证明定义3→定义2,即要证行列式的几何定义能够导出公理化定义中的三条性质,其中归零性和规范性是明显的,这是因为如果行列式有两个列向量相同，那么组成行列式的这n个列向量所张成的平行2n面体的维数小于n, 因而其n维体积自然为0.另一方面，n个标准单位向量e1=(1,0,…,0)T，e2=(0,1,…,0)T，…,en=(0,0,…,1)T所张成的n维平行2n面体的体积恰好是单位体积.所以只有线性性质需要证明.由于行列式的值是对应的n维平行2n面体的有向体积，所以交换行列式的两列将改变行列式的符号，因此不失一般性，我们只要证明

4 结论

至此，我们看到了行列式三种定义的产生与演化，知道了其在数学上的等价性，行列式的公理化定义的三条性质恰好与几何体体积的相关性质密切吻合.

如今，行列式成为数学研究不可或缺的重要元素，从线性代数，到微积分，再到几何, 其独特而富有内在背景的性质，简明的表达方式，将数学的各个领域粘合在一起，为不同分支之间的交融从而共同发展提供了可能.

在教学过程中，往往从计算定义引入行列式，而这种既成的定义十分抽象，初学者很难理解，为什么定义行列式需要引入如此复杂的计算公式.随着学习的深入，老师可以在不同的专业课程，如数学分析、解析几何阐述行列式的其他定义方式，加深学生对于行列式的认识.比如，其几何定义可以结合重积分变量替换公式中的雅可比行列式，或者高维曲面积分，或者解析几何中求几何体的体积来讲解，从而学生有更直观的理解.其公理化定义则向学生揭示了，看似复杂的计算方式有其背后的独特性与唯一性，也就是说，行列式的计算方式与多重线性变换的定义相吻合.这样，行列式将不同分支相互融合，从而深化对不同数学课程的联系与理解.