结构化单元教学在初中数学教学中的实践 ①——以《菱形、矩形、正方形(1)》为例

陈 艳 徐明悦

(1.江苏省盐城景山中学 224000；2.江苏省盐城市教育局教科院 224000)

1 前言

在平时的教学中，一线教师经常会出现一种困惑，学生每节课的知识掌握效果很好，但时间一长，学习的内容就会遗忘；而知识一综合，或遇到新的问题时，常常就会束手无策.通过调查研究，我们发现这与平时单课时的教学有着密切的关系.单课时逐个知识点的学习使得知识处于零散的、碎片化的状态.这种“碎片化的教学”导致学生缺乏对知识的整体感知，缺少对数学本质的理解和对知识形成过程的探究.学习更多的是知识点的堆积，题目的僵化训练，而能力和素养得不到提升.

如何通过数学教学更好地规划学生素养的发展，这已经是一线数学教师亟待解决的问题．教育心理学家布鲁纳认为：“教学，其任务就是阐述学科的结构”.认知心理学家奥苏泊尔认为，知识的总框架能够为学习者后续的学习提供导航，能帮助学习者形成良好的知识结构.他们都认为学科结构的教学，有利于学习者的理解，有利于知识的内化和迁移，更便于素养的发展.《义务教育数学课程标准(2011版)》指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’和‘延伸点’，把每堂教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性”.而崔允漷教授指出“新高考、新课标背景下的‘新教学’.新教学，新在哪里？其中有一点就是素养本位的单元设计.”

所谓单元教学，是将教材、活动等划分为完整单元进行教学的一种教学法.每个单元均有规定的学习目标和内容，其目的在于改变偏重零碎知识和记忆文字符号的教学，强调学生手脑并用获得完整的知识和经验.结构化单元教学遵循整体系统的思想，重组或整合学习内容，借助结构，让学生经历知识的形成过程，感知知识的本质特征和内在联系.它是以提高学生整体认识事物能力与提升整体思维为目的，以促进学生学科核心素养为发展目标的教学.结构化单元教学与现在提倡的培养学生的核心素养不谋而合，是新一轮课改的必然趋势.本文就以“菱形、矩形、正方形(1)”为例，谈谈如何在初中数学教学中实施结构化单元教学.

2 已有学习基础

在学习本节课之前，学生已经通过“几何图形初步”这一章的学习，经历了直线、射线、线段和角等最基本几何图形的研究，接着又系统学习了三角形，平行四边形.学生通过直观感知、理性分析获得对相应概念的认知，并由此积累了一定的几何图形的研究经验，在直观想象、逻辑推理、数学抽象等素养上已经得到了一定的培养.

2.1 关于三角形的研究

三角形是非常重要的几何图形，它是研究其他几何图形不可或缺的基础.单个三角形的研究，学生经历了如下过程.

(1)三角形的概念

首先通过生活中的实例抽象，概括出三角形的定义，学会用符号表示三角形及其组成元素，并以要素的特征与关系为标准，对三角形进行分类，从而形成了完整的三角形的概念.

(2)三角形的性质

抽象出概念后，接着从定义出发研究了三角形的性质， 包括三角形的基本要素之间的关系：边的关系，角的关系；三角形相关要素之间的关系：外角与内角关系，外角之间的关系，中线、高、角平分线之间的定性关系等.

(3)特殊三角形的相关知识

发现有价值的“特例”是深刻理解研究对象的重要一环.在一般三角形的基础上，分别考虑边或角特殊化，得到等腰三角形和直角三角形.研究它们具有的不同于一般三角形的特殊性质.分别按照“定义-性质-判定-应用”这样的路径进行研究.初步积累了对几何对象“特例”研究的经验，往往从“要素或要素关系的特殊化”入手.

2.2 关于平行四边形的研究

平行四边形属于特殊的四边形，应该要研究它的概念、性质、判定.平行四边形性质的研究从它自身的要素关系展开，包含了边、角、对角线之间的数量关系、位置关系等.

归纳起来，学生已经初步形成了几何图形的研究套路：概念-性质(判定)-特例(概念-性质-判定)，了解了几何图形的概念通常包含定义、表示、分类这三个方面，几何图形的性质通常是其组成要素之间的相互关系等.

从上述分析看，在三角形和平行四边形的学习中，可以通过教师的教学设计，引导学生逐步学会有逻辑的思考，不断积累数学活动经验，从单元视角整体领会知识，初步构建几何图形的研究结构，体验研究过程，感悟研究方法等，从而培养学生的数学核心素养.

3 “菱形、矩形、正方形(1)”的教学设计研究

苏教版教材八年级下册第九章中心对称图形—平行四边形中的“菱形、矩形、正方形”是第4节内容，分5个课时.分别是菱形的性质、菱形的判定、矩形的性质、矩形的判定、正方形的性质与判定.

我们从单元教学的角度，把第4节作为本章的一个小单元，对内容进行重新整合，课时总数不变.第一课时是菱形、矩形、正方形的性质探究，第二课时是菱形、矩形、正方形性质的应用.第三课时是菱形、矩形、正方形判定的研究，第四课时是菱形、矩形、正方形判定的应用，第五课时是菱形、矩形、正方形的小结与思考.

小单元中的第一课时选择采用结构化思想整体设计菱形、矩形、正方形的性质.这节课的设计分为五个板块：(1)复习回顾三角形的研究路径和相关知识结构图，复习平行四边形性质以及研究的角度；(2)类比得出菱形和矩形的概念，并初步形成特殊平行四边形的结构图；(3)采用结构化思维探究菱形的性质；(4)类比探究矩形的性质；(5)总结提升.具体设计如下(问题串)：

问题1：回顾三角形的研究过程，三角形是按照怎样的路径展开研究的？

追问：什么是等腰三角形？什么是直角三角形？

设计意图：通过学生回顾，从数学本身的内在逻辑结构出发，复习三角形的研究路径：概念-性质(判定)-特例(概念-性质-判定)，通过追问引出特殊三角形的概念，帮助学生建构三角形的研究结构，形成结构图(1).为特殊平行四边形的研究提供方案和路径，也为特殊平行四边形的概念的形成做好铺垫.

问题2：平行四边形的性质是从哪几个方面研究的？分别有哪些性质？

设计意图：通过回顾，唤醒平行四边形性质的内容和研究的角度，形成结构图(2).矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质.平行四边形性质研究的角度也是矩形和菱形等性质探究的角度， 为矩形、菱形性质探究做好铺垫.

问题3：前面我们已经学习了平行四边形的概念-性质-判定，类比三角形的研究路径，你认为接下来应该研究什么？

追问1：如果你来研究，你会从什么角度研究平行四边形的特殊性？

追问2：类比三角形的研究过程，想一想，动手画一画，可以得到什么特殊的平行四边形？

设计意图：问题3构建研究方向，明确研究的内容.依据复习的研究路径，接下来应该研究特例，即特殊的平行四边形.追问1是引导学生思考研究特殊平行四边形的角度.学生类比特殊三角形的研究过程，水到渠成地想到从边和角研究特殊的平行四边形.学生有了研究的方向，但如何研究？结论是什么？还需要学生自己去探索.追问2从研究方法上提出问题，引导学生通过画图操作、直观想象和思考分析、逻辑推理相结合，让学生自主探究，同伴互助得出菱形和矩形，初步形成四边形的框架结构图， 如结构图(3).

问题4：类比特殊三角形的概念，你能归纳出菱形和矩形的概念吗？

设计意图：让学生类比“有两条边相等的三角形是等腰三角形”得出“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”；类比“有一个角是直角的三角形是直角三角形”得出“有一个角是直角的平行四边形是矩形”.结合图形帮助学生理解概念的内涵.

问题5：刚才我们了解了菱形、矩形的概念，接下来我们会研究什么呢？

追问1：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质吗？

追问2：菱形是特殊的平行四边形，它是否具有一般平行四边形不具有的特殊性质呢？

追问3：如果让你来研究菱形的特殊性质，你会从哪些角度来研究呢？

追问4：你是怎么想到这几个角度的？

追问5：菱形有哪些特殊性质？想一想，猜一猜，证一证.独立思考后小组交流讨论，整理出讨论的结果，派一名代表和同学们分享结论，并说明理由！

设计意图：首先引导学生根据几何图形的研究路径明晰后续的研究内容，学习完概念后接着应该研究性质.追问1和追问2引导学生把菱形性质分为两块梳理，一般平行四边形的性质和它特有的性质，并为特有性质的研究提供了方向和借鉴.追问3引导学生明确特有性质的研究角度.追问4是让学生反思研究角度的由来，让学生在学习过程中养成不但要“知其然”，更要“知其所以然”的习惯.追问5是在明确性质研究的方向后，放手让学生自主探究.学生通过独立思考、小组合作等多种途径，研究菱形的特有性质.再通过小组代表分享，教师点评，生生互评，完成菱形特有性质的学习.教师在学生分享研究结果的基础上帮助学生从边、角、对角线、对称性几个方面梳理菱形的所有性质.

问题6：下面请同学们仿照菱形的研究过程，自主进行矩形的探究，并尝试整理矩形的性质.思考后和同学们交流.

设计意图：类比菱形性质的研究过程，引导学生自主迁移到矩形性质的探究，帮助学生掌握知识结构，渗透结构化思维.教会学生研究问题的方法，培养学生的能力.

问题7：刚才同学们一起研究了矩形和菱形的性质，我们一起来看一看它的应用.

1.如图(1)，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,

(1)若∠ACB=30°，AB=3，则AC=______;

(2)若∠AOD=120°，AB=3，则AC=______.

图(1)

图(2)

2.如图(2)，已知四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O,

(1)若AC=6cm，BD=8cm，则菱形的边长=________;

(2)菱形的周长52cm,BD=24cm, 则AC=________.

设计意图：问题1考查了矩形的四个角是直角和对角线相等且互相平分的性质，问题2考查了菱形的四边相等和对角线互相垂直平分的性质.通过两个问题及时巩固矩形和菱形的性质.

问题8：回顾本节课的内容，我们学习了什么？

追问1：本节课学习了哪些知识？

追问2：矩形、菱形的概念和性质是如何展开研究的？

追问3：几何图形的研究路径是什么？

设计意图：通过追问让学生从三方面回顾本节课的学习.追问1总结所学的知识点：矩形和菱形的概念和性质.追问2回顾研究的过程：借助三角形结构类比得出平行四边形的结构；借助特殊三角形的概念类比得到矩形和菱形的概念；借助特殊三角形的研究方法类比得到特殊平行四边形的研究方法；借助平行四边形性质的研究角度类比得到菱形性质的研究角度；借助菱形的研究过程类比得到矩形的研究过程等等.追问3回顾几何图形的研究路径：概念—性质—特例(概念—性质—判定).通过回顾让学生对知识有着整体的认知，能体会结构化思维和类比的思想可以将新旧知识进行同化和顺应，方法进行迁移，也为课后正方形概念、性质的探究和特殊平行四边形判定的学习提供借鉴.

问题9：有一个角是直角的等腰三角形是什么三角形？有两条边相等的直角三角形是什么三角形？

追问：菱形和矩形学完后，将会继续研究什么四边形？

设计意图：通过问题完善三角形的结构图(1)，得到结构图(4).通过追问引导学生对后面的知识进行展望，从而形成本单元完整的结构图(5)，有助于学生对知识的整体感知，另一方面渗透了研究方法的延续性，帮助学生形成研究此类问题的方法结构.

问题10：作业布置：复习菱形和矩形的概念与性质以及它们的研究过程，并仿照本节课的研究过程，自主探索正方形的概念和性质.

设计意图：让学生课后自主研究正方形的性质，是课内学习的课外延伸.既是对本节课研究过程的复习巩固，又是让学生进一步利用结构化思维研究新的问题，培养学生的能力，逐步实现从“教”到“不教”.

4 教学思考

4.1 结构化单元教学的教学追求

结构化单元教学是以学科的内在逻辑结构和研究知识的过程、方法和思想为依托而展开的单元教学.它是以课标、教材为依据，以课本自然章节为基本大单元.既关注本单元内部知识之间的联系，更关注同类知识大单元之间研究方法和研究过程的结构关联，使得数学学习能有一个前后一致的思想主线，逻辑连贯的展开教学.

结构化教学通常包含三个层次.首先是将关联的知识通过结构呈现出来，构建知识网络，其次是对知识的产生过程进行分析，感悟过程中的；数学思想，形成过程结构；最后学会主动迁移和拓展，获得研究同类知识的方法结构.这三个层次的结构在教学中是相辅相成，相互融通的.这节课既有特殊平行四边形这个小单元的整体知识框架结构，也有菱形、矩形概念和性质的知识结构，更有“从特殊三角形的研究类比迁移到特殊平行四边形的研究，从特殊三角形的概念类比迁移到特殊平行四边形的概念，从平行四边形性质的研究类比迁移到特殊四边形性质的研究”的方法结构.结构化单元教学是在单元整体设计基础上进行的课时教学设计，对于防止碎片化教学，落实数学学科核心素养具有重要意义.它的教学追求是：数学的整体性，逻辑的连贯性，思想的一致性，方法的普适性，思维的系统性.

4.2 结构化单元教学的实施路径

结构化单元教学在每一个单元中具体实施的路径一般是“总—分—总”的形式.第一个“总”是对将要学习的单元进行初步整体感知，了解本章将要学什么？如何学？“分”是基于学生学情的限制，对每一个知识点进行深入学习．最后在具体学习每个知识点的“分”的基础上，再次审视各个局部之间的关系，更为深入地揭示知识内在联系，体会学习方法，深度融合与升华，形成“总”体认识.

结构化单元教学的实施关注数学的整体性.这个整体性首先体现在不同年级的纵向递进式的设计.具体表现为：(1)具有内在联系的不同内容之间的整体性.比如初中平面几何图形的学习，从角到三角形、四边形再到圆；平面图形的运动的学习，从平移到翻折中的轴对称，再到旋转中的中心对称；代数知识的学习，从数到式；从方程到不等式；从分式到根式等等.这些知识虽然属于不同的内容，但是都有着类似的研究方法和研究路径.在进行单元设计时要考虑上下位的知识，借助结构化思维帮助学生找到它们之间的联系.(2)同一主题内容中的数学整体性.比如代数中方程的学习、函数的学习.方程从七年级的一元一次方程，二元一次方程(组)，到八年级的分式方程到九年级的一元二次方程. 每一章都是从实际问题出发，抽象出概念，然后学习解法，最后再到应用方程解决实际问题，它们有着共同的研究内容结构.

4.3 结构化单元教学对教师提出了更高的要求

教师只有了解到多种结构的存在并形成结构化的认识，才有可能形成结构化的思维品质和教学策略，也才能帮助学生建构结构化的知识，形成规律性的认知方式. 结构化教学需要教师首先对教材和课标进行结构化研读，即透过教材知识点的布局寻找知识间内在的本质联系和展开逻辑，发现内容编写的思想内核及核心价值. 其次对教学进行结构化设计，对各类教学资源——教材的文本资源、师生的基础资源、教学的过程资源进行加工，形成长远规划、单元计划和课时设计. 在此基础上，采用“教结构—用结构”的教学策略，引导学生将散点的知识以结构的形式进行建构，并与头脑中原有的认知结构形成一定的层次关联，成为新的认知结构.