数学问题解答

2606设凸四边形ABCD的边长和对角线长分别为BC=a,CD=b,DA=c,AB=d,AC=m,BD=n，四边形的面积为Δ，则

(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

当且仅当四边形为正方形时等号成立.

(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

证明如图，设P,Q分别为线段BD,AC的中点，直线BD和AC所成角为θ，

则mn(1-sinθ)+2PQ2≥0.

等号当且仅当sinθ=1且P与Q重合即四边形ABCD为正方形时成立.

由托勒密定理ac+bd≥mn知(等号当且仅当四边形ABCD为圆内接四边形时成立)

①式⟹2ac+2bd+4PQ2≥4Δ.②

又由结论：任意四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和再加上对角线中点连线长平方和的4倍，知

②式⟹a2+b2+c2+d2+2ac+2bd-m2-n2

≥4Δ.

故(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

当且仅当四边形为正方形时等号成立.

2607设数列{an}的通项公式为

(河南质量工程职业学院 李永利 467001)

证明由{an}的通项公式可知该数列即为

0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,…,0,0,0,1,1,1,….

这是一个周期T=6的周期数列，且

a1=a2=a3=0，a4=a5=a6=1.

设[x]表示不超过x的最大整数，则由周期数列的前n项和公式

上式取极限得

(1)

再设n=6k+rn，其中k，rn均为非负整数，

且rn=0,1,2,3,4,5.则

于是

(2)

(3)

由(1)，(2)，(3)三式可得

2608已知a,b,c∈R，且a,b,c中至多一个为0，则有

(云南省大理州漾濞县第一中学 秦庆雄 范花妹 672500)

证明因为(a+b)2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)(a2+b2)

=(a+b)2(a2+b2)+(a+b)2c2-2(ab+bc+ca)(a2+b2)

=(a2+b2)2+(a+b)2c2-2c(a+b)(a2+b2)

=(a2+b2)2-2c(a+b)(a2+b2)+(a+b)2c2

=[(a2+b2)-(a+b)c]2≥0，

所以

(a+b)2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)(a2+b2)，

同理可证

将以上三式两边分别相加，可得

(浙江台州市洪家中学 邬天泉 318015)

证明设A(acosθ,bsinθ)，B(acosφ,

bsinφ)(θ-φ≠kπ,k∈Z)，则

联立(1)(2)得

设Q(acosγ,bsinγ)，同理可得

=(X1,Y1)，

同理，得

=(X2,Y2).

=(X1Y2-X2Y1)2，

2610设任意△ABC的三边长及对应的三中线分别为a、b、c、ma、mb、mc，则有

当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.

(安徽省太和县第二小学 任迪慧 张小林 236630)

(1)

(2)

(3)

(1)+(2)+(3)整理得

(4)

一方面在△ABC中 ，易证

(5)

另一方面

(6)

由(4)、(5)和(6)可证得

2021年7月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2611设△ABC的外接圆半径，内切圆半径，三边长分别为R,r,a,b,c,三个内角∠BAC,∠ABC,∠ACB对应的旁切圆圆心分别为D,E,F，证明：

(安徽省岳西县汤池中学 苏岳祥 杨续亮 246620)

2612如图1，△ABC的内切圆⊙I与AB边相切于点D，⊙O，⊙O1和⊙O2分别为△ABC，△ACD和△CDB的旁切圆，设⊙O，⊙O1，⊙O2的半径分别为r，r1，r2，⊙O与AC相切于点E，则

图1

(四川省成都华西中学 张云华 610051)

(江苏省徐州市第一中学 张培强 221140)

(河南省方城县教研室 邵明宪 473200)