对解题教学中数学直觉的价值及培养途径的思考

杨元韡 耿晓华

(1.江苏省常州高级中学213003；2.常州市北郊高级中学213031)

直觉通常理解为人的大脑不经演绎、不经推理就能立即感知的事实.数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察.数学直觉思维是一种非逻辑思维活动，是一种由下意识(潜意识)活动参与，不受固定逻辑约束，由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动.[1]

数学直觉思维与数学逻辑思维是数学思维的两种方式.中学数学教师在数学教学中，尤其是解题教学中重视逻辑思维而轻视直觉思维的现象还是比较普遍的.事实上，数学直觉思维和数学逻辑思维都有其自身的价值.历史上，数学家Weyl评价数学家Hilbert：他就像一条嗅觉灵敏的狗，能够敏锐地发现哪里有骨头，并且奋不顾身地扑上去. 这句话形象地说明数学直觉的重要价值，即数学直觉可以帮助我们从纷繁复杂的现象中发现某些有规律的东西，让我们能够“大胆猜测”.而数学逻辑思维可以帮助我们对“大胆猜测”的结论进行“小心求证”.在中学数学教学尤其是解题教学中，如果不能兼顾数学直觉思维的培养，很难说学生数学素养能真正得到提升，更不能说这样的数学教学能为今后从事科学研究(如果有可能的话)奠定基础.

数学解题教学是数学教学的重要组成部分.如果教师在解题教学中，常常引导学生有意识地将数学直觉运用到数学解题中去，往往能起到较好的效果.这样做的目的并不是带着功利的思想让学生仅仅学会“猜结论”，而是让学生先利用数学直觉，通过观察、联想、类比、比较、分析等形成“大胆的猜测”，再用数学逻辑思维进行“小心求证(计算)”，最后对根据数学直觉得到的“大胆的猜测”进行证明或者证伪，形成“猜——证——验(指验证猜想)”(甚至是“猜——证——验——新的猜——证——验……”)的一个(或多个)完整的“闭环”，引导学生学习数学家思考和解决数学问题的方式，提升学生数学素养.

1 对数学直觉在解题中的价值的思考

1.1 利用数学直觉猜测问题结论

数学直觉的重要价值之一在于能从纷繁复杂的现象中发现某种规律或结论.在解决一些数学问题，尤其是解决一些选择题或填空题等客观题中，运用数学直觉有时很容易猜测结论.这里要注意的是，不能有完全依靠猜测的倾向，否则数学问题本身蕴含的规律或本质得不到体现，也就失去了其应有的价值.

教学案例1——片段1

(2012年高考题江苏卷第12题)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．

例题展示几分钟后，笔者巡视学生的解答情况，发现平时基础较弱的学生A得出了正确结论，笔者让他谈一谈想法.

生A：如图，只要点C到直线y=kx-2的距离为2就可以了.

师：为什么？

生A：过点C作直线y=kx-2的垂线，垂足为M，以M为圆心1为半径的圆与圆C外切即可.直觉上是这样的，但是说不清楚.

师：嗯，你的直觉是对的，非常好！请坐.

教学案例2——片段1

(2018年高考题全国卷1第12题)已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ).

师：能否找到这样的一个平面α？如果能，作出这个平面截正方体所得的截面.

生B：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1D就是满足条件的一个截面.

师：嗯，很好，我们曾经证明过这个事实.还有吗？

生B：类似地还有△AB1D1等，应该每个顶点都对应着一个三角形截面.

师：截面都是三角形吗？还有吗？

生C：与平面A1C1D平行的截面都可以，还可以是六边形.

师：你能作出面积尽可能大的六边形截面吗？可以猜测一下面积最大的截面的位置.

生C：如图，我觉得若取正方体的六条棱的中点M,N,P,Q,R,S，并把它们顺次连起来得到一个正六边形MNPQRS.这个正六边形应该是面积最大的截面.

师：这六个中点一定共面吗？

生：共面，先前我们做过一个作图题，即过正方体中给定的三条棱的中点作出截面的习题，最后的截面就是这样的正六边形截面.

师：很好，那为什么正六边形截面的面积最大呢？

生C：当与平面A1C1D平行的平面从△A1C1D的位置，平行移动到△AB1C的过程中，截面的面积先变大再变小，很明显△A1C1D与△AB1C面积相等的，所以我觉得“中间”位置的截面面积最大.

师：很好，你的直觉是正确的！虽然道理还没能够讲清楚，但已经很不容易了！

说明：通过前面的两个案例的片段，可以发现学生完全能利用直觉猜想出相应的结论，但都不能用演绎的方式证明相应的结论，这说明数学直觉思维是一种非逻辑的思维方式，具有一定的或然性，明显的猜测性.在这两个案例片段中，数学直觉思维的目的在于迅速找到结论，提出猜想，而不在于论证这个猜想.

1.2 利用数学直觉诱发数学联想

在利用数学直觉发现问题的结论后，这些结论很多情况下会诱发学生自觉地、有目的地产生数学联想，联想到这个数学对象的变形形式或者与之关联的另一个数学对象，从而可能为逻辑地解决这个问题提供某些“雏形”，或不严密但很形象的解释.

教学案例1——片段2

师：刚才生A已经猜想出结论，哪位同学还有其他的见解？

生D：因为直线y=kx-2过定点(0,-2)，要使k最大，可以将直线y=kx-2绕着点(0,-2)逆时针旋转，旋转至与圆C“最近”的圆M与之外切即可，如果按逆时针再旋转，“最近”的圆M与之外离，就不符合条件了.因此，只需点C到直线y=kx-2的距离小于或等于2即可.

师：很好！生D从旋转的动态的角度解释了这个结论，很好.还有吗？

生E：如图，我作出了以直线y=kx-2上的点为圆心的很多个单位圆，发现这些单位圆会“扫过”与直线y=kx-2平行，且与它距离均为1的两条直线m,n之间的每一个点，所以只要点C与图中的直线m有公共点即可，也就是要求点C到直线m的距离小于或等于1，换句话说，也就要求点C到直线y=kx-2的距离小于或等于2.

说明：两位学生在生A由直觉得到的结论启发下，分别联想到两种动态的过程，一种是直线绕定点逆时针旋转，另一种是圆心在定直线上的动圆扫过带形区域，得出了这两个形象的解释.这两种解释都得出了点C到直线y=kx-2的距离小于或等于2，这比生A的“静态”的特殊情形更为深入，也更容易理解.

1.3 利用数学直觉引领逻辑推理

实践表明，学生并不满足于通过数学直觉得到的结论，对于问题的本质仍会怀有强烈的好奇心与求知欲，所以由数学直觉得到的结论还是需要通过逻辑推理证明或者证伪的.在一些问题的解决中，数学直觉可以引领逻辑推理，让逻辑推理有目标方向、方式手段，也可能直接从利用直觉发现的结论那里得到一些有用的启发.

教学案例1——片段3

师：前面两位同学得出了：点C到直线y=kx-2的距离小于或等于2.能否从题干中的圆与圆的位置关系条件得到这个结论吗？

生F：若直线存在点P，使得单位圆P与单位圆C有公共点，两圆有公共点等价于0≤PC≤2，即PC≤2.而PC≤2等价于点P在以点C为圆心，2为半径的圆上或圆内.因此，点P既在直线y=kx-2，又在以点C为圆心，2为半径的圆上或圆内，所以点C到直线y=kx-2的距离小于或等于2.(掌声……)

教学案例2——片段2

师：其他的六边形截面有什么特征呢？可以从前面的正六边形入手考虑.

生G：如图，我们还可以作出六边形截面M1N1P1Q1R1S1，根据面面平行的性质定理可以知道M1N1∥Q1R1，N1P1∥R1S1，P1Q1∥S1M1.

师：很好，还有其他特征吗？

生H：每个内角都是120°，因为这个六边形截面与前面的正六边形MNPQRS截面平行，根据面面平行的性质定理有M1N1∥MN，N1P1∥NP，等等.

生J：可以看成一个大的正三角形的三个“角”分别裁去三个全等的小正三角形.

师：很好！我们已经挖掘了这个六边形截面的一些特征，其面积最大值应该是可以求的.

(注：以下可利用函数的方法或解三角形的方法求六边形截面的最大值，其最大值恰是生C所猜想的正六边形的面积，具体过程略)

说明：教学案例1的片段3中，利用直觉猜想的结论，诱发的数学联想得出的形象解释的基础上，得出了原条件的充要条件为点C到直线y=kx-2的距离小于或等于2，并引导学生以这个充要条件为目标，对圆与圆的位置关系进行转化，给出的逻辑的解读.教学案例2的片段2中，教师引导学生从直觉猜想得出的正六边形的特征得到启发，利用面面平行的性质定理等不断挖掘一般六边形截面的特征，从而使得问题得到逻辑地解决.

1.4 利用数学直觉检验问题结论

在解题过程中，利用数学直觉有可能发现解答结论出现的错误、疏漏或不符合条件的部分，可以让学生反思自己的解题过程，帮助查找原因，纠正错误，补充疏漏的部分，舍去不符合条件的部分.

生L：不对，根据条件我感觉β，α-β都是唯一确定的角，所以2α-β应该只有1个值，不可能有3个值.

师：很好，大家看看究竟是哪一个值，怎么确定这个值？(以下过程略)

说明：本案例表明，数学直觉在某些条件下可以帮助我们纠正解题的错误，例如上面案例中生L在没有进行具体运算的条件下发现了生K的解题中的错误.

2 对在解题教学中培养数学直觉的培养途径的思考

2.1 合理利用课堂教学提示语，促进学生整体的直觉感知

解题教学不应也不可能是纯粹的逻辑教学，数学直觉的因素或多或少参与其中.为了促进学生对问题的整体的直觉感知，教师可以适时地、合理地使用一些课堂教学提示语，如“请大家猜一猜”，“请大家估一估”，“你觉得结果是什么？”等.灵活地运用这些教学提示语在一定程度上反映出教师积极的教育观与教学观，即坚持以人为本的教育理念，充分发挥启发式教学的积极作用，激发学生的创新意识，发展学生的观察能力、分析能力、比较能力等，而不是简单地告之或灌输，一味地让学生进行机械地模仿与记忆.笔者努力尝试利用课堂教学提示语进行解题教学，例如在教学案例2中的“你能作出面积尽可能大的六边形截面吗？可以猜测一下面积最大的截面的位置”等，主动引导学生进行直觉感知“面积最大截面的位置”.当学生的直觉得到的结论即“正六边形截面的面积最大”得到证实时，学生心中是喜悦的.长期坚持这样做，可以充分调动学生学习数学的情感、态度、意志等非智力因素，让这些因素发挥积极作用，进一步激发学生学习数学的热情.

2.2 积极关注解题的关键环节，形成学生强力的直觉引擎

观察、联想、对比、分析等都是学生解题的关键环节，这些环节为直觉的产生提供了强有力的动力.观察是解题过程的信息输入环节，是容易产生较为初级的直觉的环节，例如在案例1的片段1中，学生通过观察环节就能得出相应的结论.而联想与直觉往往是相伴相随，相互交融的，直觉诱发联想，联想又可能会促进更高层次的直觉的产生，例如在案例2的片段2中学生能从三角形截面出发，联想到做过的作正六边形截面的习题，从而产生新的直觉，即正六边形截面面积可能是最大的.对比与分析同样可以产生较高层次的直觉.例如在案例2的片段2中，学生能从平行截面的起止位置面积相等这个基本事实出发，通过对比与分析，感受到平面连续平移过程中的截面具有“对称”的特点，就更确信正六边形截面面积是最大的.这几个关键环节作为直觉的强力的引擎，需要教师积极关注，需要教师在解题教学中多给一点时间让学生能够适度展开.

2.3 善于积累丰富的数学模型，扩充学生必要的直觉储备

数学直觉的产生需要源泉.很难想象，没有任何数学知识储备尤其是常用的数学模型的储备的学习主体，会有很好的数学直觉，会得出好的数学猜想.常见的数学模型的是产生直觉的重要的基础与源泉.这里所说的数学模型，是广义的数学模型，可能是经典的图形，可能是重要的公式等等.例如在案例2的片段1中，笔者曾与生B交流过，生B坦言，他能在正方体ABCD-A1B1C1D1中迅速找到一个符合条件的截面△A1C1D，这与笔者课堂上曾经对这个经典图形(即2012版苏教版普通高中课程标准试验教科书必修2封面上的图形)所作的解读有关.这表明，平时教师引导学生积累的一些数学模型，包括经典的图形，经典的问题等等，很可能就会成为学生直觉产生的知识储备.值得提醒的是，我们不能走极端，不能过分地强调数学模型及其重要性，应竭力避免学生生搬硬套数学模型.

2.4 精心选择入口宽的好问题，引导学生多维的直觉表征

精心选择那些入口宽，解法多样的优质例题，并以此为载体展开教学，可以引导学生从多个维度对问题本身进行直觉表征.只有数学问题本身的内在表征具有多元的形式，学生才有可能从多角度、多方面直觉地理解这个数学问题.数学问题的多元表征往往表示不同的意义，而不同的学生的思维往往倾向于某种类型的直觉敏感性.让不同的学生表达对同一数学问题，可能会有不同的表征，适当创设条件就有可能将不同的表征进行相互比较或相互转化，以达到简单明晰，易于理解的目的.这样的过程，有利于学生间的思维的碰撞、交流与共享，形成更为丰富的、多维的直觉表征经验，让学生在更为广阔的视域下理解问题与解决问题.例如，案例1中的问题入口非常宽，除了前面的一些解法外，还可以用代数的解法，即设出圆心的坐标(t,kt-2)，利用两圆有公共点，得出关于t的一元二次不等式有解求参数k的取值范围问题.通过这个问题的一题多解，让学生从各个角度考虑得出问题的不同表征再给出各种解法，起到以一当十的效果.实践表明，解题教学的效果并不完全取决于题目的多寡，而更在于选题的典型与精致.

结语数学直觉作为一种高级心理活动，其产生的机制仍有很多不可解释的地方，这应是心理学研究的范畴，并不是一线数学教师研究的.而数学直觉在数学学习中，尤其在数学解题中，有着不可替代的价值，本文只是粗浅地谈了其中的几点，以抛砖引玉.当然，数学教育工作者尤其是数学教师更应该关注的是学生数学直觉的培养，并将这个培养的过程寓于每一节数学课，落实到具体的教学环节中去.