新授课“四问驱动”教学范式的构建与实践 ①——课堂教学实施“问题解决”的操作策略的探索

王克亮

(江苏省射阳中学 224300)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》在课程目标中强调：“通过高中数学课程的学习，学生能提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称‘四能’).”这表明新的课程标准提倡课堂教学采用“问题解决”的形式. 与之配套的苏教版高中数学新教材则在扉页的“致同学”中提到：“怎样学习数学？第一，要学会发现问题和提出问题；第二，要尝试分析并解决所提出的问题；第三，要学会回顾反思.”很明显，这是在向学生介绍“问题解决”式的学习方法.

那么，在高中数学新授课中，该如何实施“问题解决”式的教学方法呢？经过近两年的探索与实践，笔者构建了“四问驱动”的教学范式.

1 “四问驱动”教学范式的流程及内涵

笔者构建的新授课“四问驱动”教学范式的流程如图1所示，其中，“启问、探问、追问、回问”构成一个问题解决循环.

图1

笔者认为，一节新授课就是一个“问题解决”的大循环.

启问：依据目标，提出问题. 这是“问题解决”的发生阶段，指发现问题与提出问题的过程. 启问通常紧跟问题情境之后或置于一个教学活动之前，往往隐含一节课或一个教学环节的学习目标.

探问：拾级而上，解决问题. 这是“问题解决”的发展阶段，指分析问题与解决问题的过程. 这一阶段通常需要老师的引导与启发，可设计一系列的子问题或“问题解决”的小循环来引导学生探究.

追问：质疑交流，促进思维. 这是“问题解决”过程中的一个个小高潮，指质疑问难与思维交流的过程，旨在出现老师质疑学生、学生质疑学生、以及学生质疑老师的生动场景.

回问：反思提炼，总结提升. 这是“问题解决”的结束阶段，指回顾与反思的过程，意图从中提炼思想方法，或提出新的问题.

笔者认为，一节新授课就是在不断地提出问题与解决问题的过程中达成学习目标.

2 “四问驱动”教学范式的实践与体会

在新授课“四问驱动”教学范式的实践中，笔者获得了如下一些启示.

2.1 启问：宜发展学生核心素养

《普通高中数学课程标准(2017年版)》在教学建议中强调：“情境创设和问题设计要有利于发展数学学科素养.”笔者心目中的“启问”是教学目标问题化的结果，是贯穿整节课或一个教学环节的大问题，它不只是瞄准定义、定理、法则这些冰冷的知识，而应尽量发展数学抽象、数学建模、直观想象等数学核心素养.

案例1向量的概念及表示

引例1每次上课前，我(指教者，下同)从办公室出来走140米到了教室；下课后，我将再从教室出发走140米回到办公室. 那么，我这两次运动位置变化的效果一样吗？

意图引出“位移”这个矢量.

引例2每次上课前从办公楼出来时，我先向西匀速行走40秒，每秒钟行2米；然后向南匀速行走10秒，也是每秒钟行2米. 那么，这两个时段内我行走的速度一样吗？

意图引出“速度”这个矢量.

追问像这样的量，你能再列举一些吗？

意图抽象出上述两个物理量的共性之处，并找出更多类似的量.

● 用什么样的数学模型来表示这样的量？又该如何研究这个数学模型呢？

意图从数学抽象、数学建模以及研究路线的角度“启问”，进入“问题解决”大循环. 同时指出，这就是新的一章“向量”将要研究的内容.

案例2平面向量基本定理

回顾向量共线定理的内容是什么？

意图回顾已学知识：如果有一个实数λ，使b=λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b=λa．

追问1你是如何理解向量共线定理的？

意图引导学生回答出以下两点：

(1)所有的与向量a共线的向量，与实数之间构成了一一对应的关系；

(2)一个非零向量，利用数乘可以表示所有的与它共线的向量.

追问2如果将向量共线定理看成是一维空间中的一个基本定理，那么你想到了什么样的问题？

意图引导学生提出如下问题.

● 在二维空间(即平面)中，有没有类似的基本定理呢？

意图从直观想象、数学建模的角度“启问”，进入“问题解决”大循环，同时引出本节课的课题.

评注上述两个案例都是从数学核心素养的高度来“启问”的.笔者认为，新授课的“启问”，通常指明了本节课研究的大方向，明确了本节课的核心教学目标，它可以只是一个“虚拟的问题”，起“前呼”的作用.在案例2的情境之后，笔者还为学生自己发现问题与提出问题创设了平台.

2.2 探问：宜展示知识形成过程

新授课离不开有关概念、定理、法则等新知识的学习，为了让学生弄清楚这些新知识的来龙去脉，教学中应尽量还原它们的形成过程，所以需要设计一些探究性问题.笔者认为，“探问”应围绕“启问”而设计，层层递进，通过这些问题的解决自然生成新的知识.另外，新知识的应用策略也可以用“探问”的形式来引领.

案例3向量的概念及表示(案例1续)

明确研究路线请回顾“集合”的所学内容，并类比其研究模式，试确定“向量”这个全新的数学模型的研究路线.

意图提炼出数学对象的一般研究模式：数学概念——表示方法——特殊模型——定义运算——知识运用.然后明确本节课主要研究向量的概念、表示和特殊的向量模型.

问题1什么叫向量？你认为该如何给它下个定义呢？

意图从前面的多个实例中抽象出“既有大小，又有方向”这两个共同特征.

问题2对于既有大小又有方向的向量，你想到了哪几种合理的表示方法？

意图在已学的线段、有向线段等知识的基础上，从图形、字母等角度来研讨向量的表示方法，并给出向量的长度(模)的概念及表示方法.

问题3自己先画一些向量，然后试着从长度和方向这两个角度观察，我们可以给出哪些特殊的向量模型？

意图从学生所作的图形入手，描述其特征，指出它的大小或方向的特殊性，然后进行合理命名，并借鉴已有经验给出相应的记法，逐步完成下列表格.

名 称特 征图形表示大小方向记法零向量长度为00任意0单位向量长度等于1个单位长度1/单位向量e相等向量长度相等且方向相同相等相同a=b相反向量长度相等且方向相反相等相反a=-b平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量/相同或相反a∥b垂直向量方向相互垂直/垂直a⊥b

问题4如何运用上述新知识来解决问题？

意图例题分析、方法提炼及变式练习(此略).

评注本案例中的问题1～问题3是根据数学对象的一般研究模式而确定的，它们是相对独立的三个“探问”，而问题4则是新知识的应用策略.实践表明，本节课中所有的新知识都可以在学生自行探究的基础上自然生成，无需任何“灌输”.特别是问题3，给了学生较多的发挥空间，课堂上甚至探究出了本节内容中没有涉及到的“垂直向量”.

案例4平面向量基本定理(案例2续)

问题1在平面内，若有类似于向量共线定理的基本定理，该如何来探究呢？

问题1.1若有这样的基本定理，它的结构如何？

意图类比向量共线定理得到平面内该基本定理的结构：给定平面内的一些非零向量，对于该平面内的任一向量，都可以用这些向量来表示.

问题1.2若只给定平面内的一个非零向量，它能表示该平面内的任一向量吗？为何？

意图引导学生体会到平面内的一个非零向量只能表示与它共线的所有向量.

问题1.3若给定平面内的两个非零向量，它能表示该平面内的任一向量吗？

引例如图2，炮弹在发射的某一时刻，速度v可以分解为水平向前的分速度v1和竖直向上的分速度v2.那么，v,v1,v2之间的关系可以怎样表示？

图2

意图根据向量的加法法则，得v=v1+v2.

思考1保留上述两个非零向量v1,v2，换一个炮弹的发射速度v3(如图3所示)，它能用v1,v2的式子来表示吗？

图3

意图得到v3=λ1v1+λ2v2的表示形式.

追问1该表达式中的λ1与λ2唯一吗？为什么？

意图引导学生用向量加法的平行四边形法则和向量共线定理解释λ1与λ2的唯一性.

思考2若将v1,v2改成平面内其它的两个非零向量e1,e2，将v3改成平面内的任一向量a，上述结论还成立吗？

意图给出多组非零向量e1,e2，引导学生体会到只要它们不共线，结论总成立.

问题1.4研究至此，你能得到什么样的结论？

意图提炼出平面向量基本定理，并介绍基底与正交分解的概念.

问题1.5我们是如何探究得到平面向量基本定理的，你从中获得了哪些感悟？

意图从逻辑推理(类比迁移、理性分析、逻辑表述)、数学建模、直观想象等数学核心素养的角度谈学习体会.

问题2你是如何理解平面向量基本定理的？

意图引导学生从以下几个角度来理解：

(1)平面内一对不共线的向量，就可以表示该平面内的所有向量；

(2)当一组基底确定后，平面内的向量就与实数对(λ1,λ2)之间建立了一一对应的关系；

(3)平面向量基本定理可作为判断向量是否共面的依据，所以也可以理解成是向量共面定理；

(4)平面向量基本定理可看成是向量共线定理的推广，从一维空间拓展到了二维空间.

追问2很自然地，此时你又有了什么样新的猜想？

意图再将平面向量基本定理推广到三维空间，猜想出空间向量基本定理.

问题3如何运用平面向量基本定理来解决问题？

意图例题分析、方法提炼及变式练习(此略).

评注在该案例中，问题1～问题3是“问题解决”大循环中的“探问”；同时，问题1及其子问题又构成了一个“问题解决”的小循环，其中的问题1相当于是“启问”，问题1.1～1.4是“探问”，问题1.5是“回问”，问题解决过程中有“追问”.

2.3 追问：宜促使学生深度思维

数学教育的核心目标在于培养学生的思维能力，所以课堂上我们应追求学生的深度思维.对此，“追问”应当是一个有效的策略.“追问”可以基于课前预设，更多来自课中临时生成，由此可引发师生之间、生生之间的对话，促使师生思维的交流与碰撞，在追问中将学生的思维不断引向深入.

比如，在案例1中，“追问 像这样的量，你能再列举一些吗？”需要学生抽象出“位移”与“速度”的共同特征.

在案例2中，“追问1 你是如何理解向量共线定理的？”需要学生深入领会向量共线定理的内涵，并能用自己的语言表述出来；而“追问2 如果将向量共线定理看成是一维空间中的一个基本定理，那么你想到了什么样的问题？”则需要学生善于类比，在二维空间中提出类似的新问题.

在案例3中，特别是在问题3的解决过程中，应当有多个临时生成的“追问”.比如，“如何确定零向量的方向比较合理？”“相反向量类似于哪个熟悉的概念？”“平行向量的定义为何要强调‘非零向量’？”“零向量与其它向量平行吗？”“平行向量中的‘平行’如何理解？”“共线向量中的‘共线’如何理解？”等.

在案例4中，“追问1 该表达式中的λ1与λ2唯一吗？为什么？”需要学生能够运用所学知识探究出λ1与λ2的唯一性；而“追问2 很自然地，此时你又有了什么样新的猜想？”则需要将一维、二维空间中的结论推广到三维空间，以培养学生的类比迁移和创新思维能力.

评注“追问”通常贯穿教学的全过程，它的主体可以是老师，也可以是学生.为了培养学生质疑的勇气与能力，课堂上要创设更多的平台鼓励学生发问.比如，老师可经常说这样的几句话：“此时，你想提出什么样的问题？”“对此，你有什么好的想法？”“同学们有什么疑问？”等.笔者认为，“追问”是灵动课堂的核心所在，是教师教学智慧的体现.

2.4 回问：宜引导学生提高认识

我们知道，数学是一门逻辑性、探究性很强的学科，所以在新知识的学习中，回顾反思这一思维活动是必不可少的，它对提高学生的认知水平和数学能力至关重要.“回问”就是利用问题驱动学生进行反思，让学生在反思中感悟，在反思中提升，在反思中创新.

案例5向量的概念及表示(接案例3)

我们是建立了什么样的数学模型来表示“位移”“速度”这些量的？本节课我们研究了这个数学模型的哪些内容？

意图回顾本节课所学的主要内容，即向量的定义与表示、特殊的向量模型.

在本节课的学习中，你获得了哪些启示？又有哪些地方值得注意？

意图让学生畅所欲言，并聚焦以下几点：

(1)学会建模：学会从多个实例中抽象出数学模型，如向量的概念；

(2)注重传承：学会将旧的知识移植到新的知识中，如向量的表示、特殊的向量模型等；

(3)转变观念：注意一些旧的经验可能有了新的涵义，如平行向量、共线向量中的“平行”“共线”的意义已不同于旧的经验，值得注意.

后续我们将要研究“向量”这个数学模型的哪些内容？

意图明确后续将要研究向量的运算及应用等，进而引出“向量的加法”这个话题，为下节课做铺垫，激发学生进一步学习的兴趣.

案例6平面向量基本定理(接案例4)

你是如何理解平面向量基本定理的？

意图把握平面向量基本定理的实质，它是一组本质一致的结论在二维空间中的表现形式.

你认为研究平面向量基本定理有何重要意义？

意图让学生体会到，在此基础上可建立平面向量与实数对的一一对应关系，进而为平面向量的代数化奠定基础.

在本节课学习的基础上，你想提出什么样的新问题？

意图引出“向量的坐标表示与坐标运算”这个话题，为下节课作铺垫，激发学生进一步探究的欲望.

评注上述两个案例分别从知识内涵、研究路径、学习意义、问题提出等角度进行“回问”，加深了学生的认识.笔者认为，“回问”通常起“后应”的作用，既是对“启问”的回应，更是对思想和方法的提炼与升华；同时，“回问”还常常起着承上启下的作用.

实践表明，基于“启问、探问、追问、回问”的教学范式，是新授课实施“问题解决”的一个较好操作策略，能充分发挥学生的主体作用，实现课堂教学方式的转型.该教学范式既与新课标的倡议相吻合，又能提升课堂的层次.