大概念视角下的初中数学单元整体教学设计 ①——以函数为例

斯海霞 叶立军

(杭州师范大学经亨颐教师教育学院 310018)

新一轮课程改革以发展学生学科核心素养为导向，这促使着课程教学设计从关注单个知识点、课时转向关注单元整体设计[1][2].单元整体教学设计的难点在于以何作为统合单元的支架，如何将学科素养落实到单元及具体课时中，对此，国内外学者皆将目标指向“学科大概念”[3]～[6]，提出学科大概念是对学科知识的精炼和整合，是引导学生深入挖掘学科本质，促成知识理解、素养培育落地的锚点.因此，研究认为大概念视角下的单元整体教学设计需以明确的学科素养培育为指向，通过深入研究课程标准、学科知识特征及学情，提炼学科大概念，重组和优化教材内容，以形成相对完整、内在关联、目标一致的整体教学单元[7][8][9].

当前单元整体教学设计在国内中小学数学教学中受到了广泛重视[7]，但以学科大概念为中心的单元设计路径并不统一[7][10]～[14]，小学阶段主要借鉴逆向教学设计或科学-写作启发式教学设计思路[15]，初中阶段虽有大概念为统摄，但其设计路径并不聚焦如何提炼大概念.且上述单元教学设计中皆未体现如何将学科素养落实到单元及具体课时中.事实上，科学-写作启发式教学是科学学科论证式教学的一个子类，其教学设计是典型的以大概念为中心的单元教学设计.这类设计需经历制作单元概念图、确定大概念及子概念、规划与大概念及其子概念相一致的学习活动这三个步骤[15].数学学科知识具有严密的逻辑性与层级性，数学学科大概念是学科知识的精炼，属于上位概念，适合通过概念图进行确定.因此，研究主要借鉴科学-写作启发式单元教学设计思路[15]，同时结合已有相关设计研究经验，探析如何突出以数学核心素养培育为指向，系统设计以学科大概念为锚点的初中数学单元整体教学.

1 单元整体教学设计路径

借鉴上述已有相关研究中的单元教学设计路径，明确学科核心素养指向下，以学科大概念为中心的单元整体教学设计需要经历前期分析与开发设计两个环节.

图1 单元设计路径示意图

如图1所示，前期分析环节共三步，第一步明确具体的学科核心素养指向，结合课标中内容要求，提炼学科大概念及关键概念，其中关键概念是大概念的细化和延伸[16]；第二步规划与大概念及其关键概念相一致的大任务或大概念，并结合学情确定单元教学目标；第三步通过对不同版本教材中大概念统摄下的相关单元编排分析，明确素养培育指向下的单元教学主题及结构.开发设计环节指针对前期分析中的单元目标及主题，设计相应的学习子任务、学习活动及评价活动.

2 指向建模素养的函数大概念单元整体教学设计

2.1 明确素养指向与课标要求，提炼学科概念图

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“高中数学课标”)首次明确提出六大数学核心素养，其中数学建模素养的提升已成为全世界中小学数学教育的一个重要目标，但如何将其整合到数学教学过程中仍缺乏共识[17].我国高中数学课标将数学建模作为内容主线突出强调，并在新版高中数学教材中将其单独成章或册，以便教师开展相应教学.《义务教育阶段数学课程标准(2011年版)》(以下简称“义教数学课标”)虽也强调培养学生的模型思想，将其作为十大核心概念之一，但教材并未设计相应专题，如何将建模素养培育融入初中数学教学仍在探寻.

事实上，数学建模素养在初中数学几大内容领域教学中皆有渗透，且在“数与代数”领域尤为清晰，如方程模型、函数模型等.为此，研究选择“数与代数”内容为设计对象，并基于义教数学课标第三学段内容要求，绘制图2所示“数与代数”内容概念图，以明确概念之间的层次与联系[18]，提炼该内容领域在数学建模素养指向下的大概念.具体绘制步骤如下：1)根据义教数学课标“数与代数”内容标准选定基本知识作为概念图节点；2)根据“数与代数”领域内容划分及知识概况性程度确定层级，连接各层级概念节点，并在连线上标明概念之间的关系，即连接词.

课标中“数与代数”内容领域原为三块，即数与式、方程与不等式、函数.其中方程、不等式、函数是初中阶段表示数量相等关系、不等关系、变化关系的重要数学模型.而数与式分为数与代数式，代数式是对现实问题中的量进行抽象的模型，且包含数.因此，在数学建模素养指向下，研究提取的“数与代数”内容领域的学科大概念为代数式、方程、不等式、函数.如图2所示，这四个大概念最终都指向构建相应模型，即构建分式方程、不等式、方程、函数模型解决问题.

图2 “数与代数”内容领域概念图

2.2 解析概念图层级关系，聚集函数大概念及其关键概念

初中函数是代数式、方程、不等式三大概念的集成[19]，它研究变量之间的依赖关系.变量是辩证性概念，学生理解函数需达到辩证思维水平[20]，但学生在初中阶段概念形成水平又较低，因此函数成为初中数学最难教、最难学的概念之一[21].为更好地突破初中数学教学难点，落实数学建模素养培育，研究将以大概念“函数”为锚点设计单元整体教学.

在图2函数各下位概念中，变量是理解函数概念的基础，但出现频率最高的是函数概念、函数表征(包括三类特殊函数)及用函数建模，皆出现4次，其次为出现3次的函数性质(三类特殊函数的性质).函数表征中的图象是研究函数性质的主要载体，且通过函数表达式，可将函数与代数式、方程、不等式进行关联.因此，研究将函数大概念的关键概念确定为函数表征、函数性质及用函数建模，其相应的大任务则为理解“什么是函数的本质？”“如何研究函数性质？”以及“如何用函数建立模型解决问题？”.

2.3 基于学情与教材分析，确定单元学习目标及结构

2.3.1 基于学情与任务驱动，明确单元学习目标

已有关于初中生函数学习认知特征的研究表明[19][20][22]，初中生对函数概念的理解在认知上存在困难，在实际教学中可通过强调以下三点来突破难点：首先，理解变量.通过对一些熟悉的客观事例进行分析理解变量；通过绘制图象、列表，直观呈现变量的变化过程，进而理解变量之间的相依关系.其次，突出关系.引导学生体会变量之间的制约性，建立函数模型；且为避免学生将函数与表达式等同起来，需强调函数表达式是建立函数模型的重要形式，但不限于表达式，列表法与图象法都可以表示函数，通过归纳三种表达形式的共性揭示初中函数本质.再者，区别函数与代数式、方程、不等式.代数式可以看作是带有变量的函数表达式，解方程是求已知函数满足一定条件的变数值，解不等式是求已知函数满足一定条件的变数值范围.

基于上述学情分析与函数学习大任务驱动，研究将数学建模素养指向下的函数大单元学习目标设计如下：

函数大单元学习目标 (1)理解变量:能通过对现实问题情境的分析,理解变量以及变量之间的依赖关系;(2)理解函数本质:通过分析表示现实情境下变量关系的表达式、图象及列表(没有表达式),归纳其共性以揭示函数本质,即表示变量之间的依赖关系;理解表达式是表征函数的重要形式,但不是唯一方式;通过与相应的方程、不等式进行联系,促进概念联结,深化函数理解.(3)掌握函数研究方法:从函数本质出发,分析并归纳得出一次函数、二次函数、反比例函数的概念;知道且会用函数图象研究函数性质;(4)发展数学建模素养:通过经历现实问题分析、建立函数模型,并应用函数解决实际问题的过程来发展数学建模能力.

2.3.2 基于教材比较分析，提炼单元主题及结构

函数是解决现实问题的数学模型，为实现从单元整体到局部课时设计皆渗透对学生数学建模素养的培育，其课程教学设计应以实际问题的完整解决带动函数单元教学，使学生在函数学习的一开始就对函数产生整体性的认识，再借助图象对函数性质进行深入研究，解决实际问题，即设计“总-分-总”型[13]函数学习路径.研究结合上述教学突破点，提炼“理解变量”、“突出关系”、“联系方程与不等式”、“‘总分总’结构强化素养培育”四个指标，对国内目前使用较广的五版初中数学教材中函数单元的编排进行分析，以便更好地明确函数单元主题及结构，达成学习目标.

表1 五版初中数学教材函数编排结构比较分析

表1显示五版教材中只有人教版的函数单元编排强调了“理解变量”、“突出关系”、“联系方程与不等式”及“‘总分总’结构强化素养培育”.且仅人教版按“函数→一次函数→二次函数→反比例函数”顺序编排章节，其它版本教材皆为“函数→一次函数→反比例函数→二次函数”.函数解析式是函数重要的表达形式，一次函数与二次函数表达式皆为整式；按一次函数、二次函数顺序学习有助于学生类比一元一次方程、一元二次方程学习函数.基于上述分析，建模素养指向下的函数大概念单元主题为“函数”、“一次函数”、“二次函数”及“反比例函数”，且借鉴人教版章顺序编排.考虑到学生在九年级已具备一定的形式推理能力，因此仍将“一次函数”(含变量及函数)编排在八下，“二次函数”、“反比例”皆编排在九年级.但具体章节且问题设计相比人教版有调整，如考虑前后章节连贯性及学习难度，删除原人教版《函数图象》的内容.

具体地，研究设计如图3所示的“总—分—总”型函数单元整体教学结构.首先，为避免学生将函数与函数解析式等同，在函数概念形成时引导学生分析现实情境中的变量，以及表示变量依赖关系的表达式、图象与列表(没有表达式)；在通过归纳共性建立函数模型后，随即引导学生利用函数模型解决之前现实情境中待解决的问题.此后，三类特殊函数的教学分别引导学生从理解函数本质入手，进而归纳得到三类特殊函数的一般表达式，并解决导入情境下的实际问题；且为更好地借助函数模型解决问题，设计引导学生从图象入手研究函数性质，为后续利用函数模型解决更为复杂的问题做准备；最后将函数与方程、不等式进行关联，以提高学生对代数领域的整体认知，深化函数理解.

图3 函数大单元结构设计图

2.4 以大任务为驱动，设计单元学习活动与评价

由图3可知，函数单元设计中三类特殊函数“一次函数”、“二次函数”、“反比例函数”的学习路径相似.由于“函数”概念课时较少，可将其融入“一次函数”单元，研究以“一次函数”单元设计为例，呈现如何设计大任务下的子任务及学习、评价活动.该单元的学习目标只需要将上述函数大单元目标中的(3)与(4)聚焦在一次函数上.

“一次函数”单元设计将遵循上图3中的设计路径，先引导学生理解变量与函数概念，再从揭示变量依赖关系入手，归纳得出一次函数概念，并通过一次函数图象深入研究函数性质以更好地解决实际问题；最后联系一次函数与方程、不等式，以深化对函数本质的理解.表2中“一次函数”各子主题学习活动设计呈现“总分总”型结构，即引导学生在单元整体到局部课时的学习中皆经历数学建模全过程，逐步渗透数学建模素养的培养.学习评价主要考察学生在理解函数相关概念的同时，其数学建模素养的水平(四水平)[23]，即能用数学语言表征变量之间的依赖关系建立函数模型→能在实际情境中建立函数模型，并尝试运用函数性质解决实际问题→能在实际情境中建立函数模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型，并最终解决实际问题→能在实际情境中建立相应的函数、方程、不等式模型，结合实际情境探索比较函数、方程、不等式的联系与区别，进而解决实际问题.详见表2.

表2 一次函数单元设计

续表

3 单元整体教学设计启示

3.1 以大概念为锚点，揭示数学知识整体结构及本质

数学概念(知识)之间具有严密的逻辑关系，且能按一定的层次网络结构进行组织[24].研究以建模素养为指向，根据课标内容要求建构概念图，以揭示意义建构下“数与代数”领域，从具体到一般的概念间的层级关系及相互渗透的网状关系[25].教师可借助概念图提炼学科大概念及其关键概念，明晰学科知识结构体系.研究建模素养指向下的函数单元教学设计路径，亦可引导教师以大概念为锚点连接课程与课时[26]，将对知识结构体系及本质的理解融入单元教学设计中，进而引导学生理解概念本质，掌握学习方法，发展学科核心素养.

3.2 坚持素养为指向，实现课程、教学与评价的一致性

研究第一步基于课标内容要求与素养指向，通过构建概念图提炼了函数大概念及其关键概念，并确定学习任务；第二步根据函数概念特征及学情分析，在任务驱动下明确指向概念理解与数学建模素养培育的学习目标；第三步以“理解变量”、“突出关系”、“联系方程与不等式”、“‘总分总’型强化建模素养”为指标，分析了国内五版教材编排特征，进而设计素养指向下的函数单元结构与活动.上述设计过程始终坚持以学生数学建模素养培育为指向，以学科大概念为锚点，通过函数“总分总”型单元整体设计过程，实现课程、教学与评价的一致性.这不仅回应了素养指向下数学课程建设实施的基本问题，亦是促进初中数学课堂落实素养培育的重要途径.

3.3 以设计单元整体教学为载体，促进教师专业发展

教师专业发展的核心是获得专业教学实践性知识[27]，具体表现为教师具备专业的教学设计能力、课堂教学能力及教学反思能力[28].依循上述单元整体教学设计路径设计教学，可助推教师专业发展[29].首先，上述设计路径为教师设计单元整体教学提供方法参考.其次，课程、教学与评价一致的单元教学设计，更有利于教师切实开展素养指向下的单元教学与评价，提升教师课堂教学实施能力.再者，单元整体教学设计需用系统论的观点分析课程内容、教材编排以及学情等要素，进而整体规划素养指向下的学习目标、学习任务、学习及评价活动.这个设计过程本身即教师不断反思，使自身教学理解与实践不断融合，促进自身专业发展的过程[7][30].

4 结语

研究以学科核心素养培育为指向，设计大概念统摄下的初中数学单元整体教学.该路径有助于教师基于素养指向下，系统地梳理知识结构，挖掘数学概念本质，把握学生学习起点与难点，在学生最近发展区内，整体有序安排单元主题，设计相应的学习、评价活动，在促进学生素养培育落地的同时，提升自身专业发展水平.当然，上述教学设计仍有待教学实践后不断完善.