对平面向量教学的深度思考①

于道洋 宁连华

(南京师范大学数学科学学院 210079)

平面向量是高中阶段重要的必修内容，是解决诸多数学问题必不可少的有力工具，也是高中知识与大学知识能够顺利衔接的重要桥梁.当前，平面向量教学中尚存有部分“疑难杂症”亟待解决，包括但不限于：某些知识点的导入方式，如何促进对某些概念的深层次理解，这些都有进一步完善的空间.以下根据教学实践，试图对几处教学设计给出切实可行的优化策略.

1 如何减少向量学习中的负迁移现象

从小学阶段到高中阶段，由于学生长期与“数与数的运算”打交道，实数系统的种种规则在学生心目中的印象根深蒂固，因此，尽管学生还没有认知近世代数当中运算封闭性的严格定义，但学生普遍认为：同类的乘积得到的不应该是“异类”，向量作为一个新接触的体系，它的内部乘积应当像数与数的乘积一样是封闭的，即向量乘向量得到向量，而并非得到一个实数.显然，这是学生在学习过程中的一种负迁移现象.此前，已有部分文章对平面向量学习的迁移现象进行了研究，但未涉及此问题，因此，有必要进一步予以探讨.

事实上，学生之所以形成这种印象，除了上述原因之外还有一个重要因素，即高中阶段只讲向量的内积而不涉及外积.按照学生的思维定式，向量乘向量理应等于向量，诚然，这样的情形的确存在，只不过是外积，而不是高考考查的数量积.学生从未接触过外积，自然容易将本应是外积的运算结果错误地赋予内积.

要减少乃至避免负迁移的发生，应当着力于明晰前后两个概念或是两个系统的本质区别.学生在高中阶段认为向量的内积就是向量之间的乘法运算，然而，在数学的世界中，事实并非如此，向量的外积(向量积)才是向量与向量真正的乘法.因此，尽管高考不做要求，但是拿出短暂的时间向学生简单介绍外积的定义，让学生意识到这才是他们脑海中所设想的向量应有的乘积，恰恰能够起到让学生深刻理解内积的作用，不至于再存有向量的内积等于向量的错误认知.

这样的教学策略不仅能够有效破除学生的错误认识，与此同时，还能够拓宽学生的数学视野，促进学生对平面向量有更为系统和完整的认识.目前，新高考已经凸显出考查学生数学素养和数学应用能力的趋势，在考题中命制具有更高知识背景和更高视角的信息题，测试考生临场学习新概念并且快速应用的能力，是顺应新高考趋势的必由之路.而平面向量的外积，从知识难度、信息量等方面综合考量，无疑是命题的热门备选素材.进而，为应对这一高考的新变化，在日常教学中，适当地、适时地补充新概念，同时，这些新概念又起到了促进学生对旧概念深入理解的作用，这也正与新课标的理念、新高考的追求相吻合.

除上述现象之外，在实际学习过程中，部分学生“创造性”地让平面向量拥有了结合律，这显然是错误的.究其原因，第一，学生仍然认为向量系统满足实数系统的一切运算法则，实数运算具有结合律，向量自然也应该有，这仍然是一种负迁移；第二，这源于学生对平面向量点乘积的认识浮于表层，未能理解其本质.对此，需引导学生思考如何举出反例.通过认真的思考便不难得知，三个向量a，b，c做数量积，若先算a和b的数量积再计算与c的数量积，最终结果一定和向量c的方向一致，反之，若先算b和c，最终结果一定和向量a的方向保持一致，因此结合律自然被推翻.

2 问题驱动下的教学设计——巧借疑题教点乘

目前，大量学生对于平面向量数量积的坐标表示这一知识点认识不够深刻，其具体表现是计算公式记忆有误以及不能主动地在解题过程中运用这一方法处理相关问题.在课堂教学中，教师通常按照教材写法推导向量内积的坐标运算，即将任意两个向量分解为水平方向、竖直方向单位向量i和j的线性组合，再通过向量点乘计算得到结果.

这种教学设计是典型的接受型教学，多年沿袭，无可厚非.但综合知识内容和学情状况，此处的教学引入不妨在接受的基础上增加一些探究.正如顾继玲教授的观点：“设计相应的数学活动可以增进学生对知识的理解和方法的领悟，其中蕴含着丰富的策略性知识，但这些策略性知识学生难以自发产生，需要老师通过适当的问题启发引导.”[1]对于该知识点，笔者尝试给出一种“探究+接受”的引入方式，首先，请看以下习题：

此题使用绝对值三角不等式最为简洁，该年湖南卷的参考答案给出的也正是这一方法.然而，在实际教学过程中，部分学生未能独立想到参考答案的解法，而是给出了如下解题步骤：

这道题目本身也许平淡无奇，但学生给出的上述解法引发了笔者新的思考.何不用此题作为向量数量积坐标表示的课前引入？在讲授过平面向量的坐标表示后，抛出上述习题.此时的极限情况是全体学生中无人给出教师期待的解法，那么，教师需现身说法，请学生思考这一解法能否奏效.若班级学生中有人给出了类似解法，则教师可以因势利导，抓住学生解题中遇到的这一障碍，适时地提出如下问题：是否有一种方法，能求出x和y的线性组合的最大值？

随后，教师不妨暂且搁置本题，详细推导向量数量积等于横坐标相乘加纵坐标相乘的由来，在此过程中，学生始终带着如何创造解题新工具的好奇跟随教师的思路前行，这节新授课的教学效果自然得到了提升.同时，在完成此题求解的过程中，学生无形之中又温习了用模长和夹角计算向量点乘积的旧知，一举多得.

纵观数学发展史，在数学研究过程中，好奇心和解决问题过程中遇到的障碍往往是催生新方法和新数学工具的催化剂.对于这样的辅助元素，波利亚曾说：“要通过适当的说明，使得最引人注目的步骤的动机和目的可以被理解.”[2]对于学生而言，在解决问题的过程中遇到的瓶颈，以及对此所做的尝试正是学生学习的起点.此时引入能够带领学生突破瓶颈的新知识，能够让学生更真切地感受到学习该内容的必要性，对知识的理解也自然加深了几分.

3 结束语

平面向量是高中阶段十分重要的数学工具，毋庸置疑，本章的教学效果和教学方式直接影响着学生对数学的系统性理解水平和解题能力.尽管当下已不乏针对平面向量教学设计、解题训练方法等方面的研究论述，但学生和课堂教学都是处于不断发展变化中的复杂综合体，始终有新的疑难和新的障碍产生.因此，平面向量的教学，值得教学研究者和数学教育工作者进一步深入思考和探讨.