函数与不等式齐驱并驾 多角度解决最值问题
2021-09-10张培杰韩业
张培杰 韩业
摘 要：最值问题能考查学生推理、转换、归纳等综合数学能力，每年高考都会出现. 在高中数学教学中，最值问题的有两个主要的解决策略，一是转换成函数，利用函数性质求解，二是利用不等式求解.2020年全国Ⅱ卷第21题第（2）问是典型的最值问题，本文分别从函数性质和不等式的角度给出不同的解答，以总结出一般的思路步骤，供复习参考.
关键词：最值问题;函数;不等式;一题多解
中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0037-03
一、真题再现
（2020年全国Ⅱ卷第21题）已知函数f（x）=sin2xsin2x.
（1）讨论f（x）在（0，π）的单调性;
（2）证明：f（x）≤338;
（3）证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.
通过观察题目发现，该题以三角函数为背景，考查判断函数在区间内的单调性、求函数值域、不等式证明等多个知识点. 题目综合性强，难度较大，对考生的逻辑推理能力和运算能力有较高的要求，很好的体现了课程标准要求的核心素养导向，具有高考命题需要的区分度. 下面重点给出第（2）问的一题多解，对于第（1）、（3）问仅给出一种可行的解答.
二、真题解析
（1）分析 要讨论函数f（x）在区间内的单调性，只需要求导，由导函数值在区间内的正（负）可得到原函数在区间内单调递增（减），该题是常规考法.
解答 对函数f（x）=sin2xsin2x求导，得f ′（x）=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sin2x（2cos2x+1），
当x∈（0，π）时，令f ′（x）=0，得x=π3或x=2π3.
1°当x∈0，π3∪2π3，π时，f ′（x）>0;
2°当x∈π3，2π3时，f ′（x）<0.
因此，f（x）在（0，π）上的单调增区间为0，π3和2π3，π，减区间为π3，2π3.
（2）要想证明f（x）≤338，只需要证明-338≤f（x）≤338即可.
分析1 直接求导，利用函数单调性求最值. 要想求出函数的最值（取值范围），借助导数先判断单调性再求最值是最常用的方法. 因此，可以借助导数解答这个问题.
解答1 由（1）知，f ′（x）=2sin2x（2cos2x+1）=（1-cos2x）（2cos2x+1），令f ′（x）=0，得cos2x=1或cos2x=-12.
由f ′（x）≥0，得-12≤cos2x≤1，即2kπ-2π3≤2x≤2kπ+2π3（k∈Z），
由此得kπ-π3≤x≤kπ+π3（k∈Z），因此f（x）在kπ-π3，kπ+π3（k∈Z）上单调递增;
由f ′（x）≤0，得-1≤cos2x≤-12，即2kπ-π≤2x≤2kπ-2π3（k∈Z）或2kπ+2π3≤2x≤2kπ+π（k∈Z），由此得kπ-π2≤x≤kπ-π3（k∈Z）或kπ+π3≤x≤kπ+π2（k∈Z），因此f（x）在kπ-π2，kπ-π3（k∈Z）和kπ+π3，kπ+π2（k∈Z）单调递减.
综上，f（x）max=maxfkπ-π2，fkπ+π3=338，f（x）min=minfkπ-π3，fkπ+π2=-338.
所以，-338≤f（x）≤338，即f（x）≤338得证.
评析 这种解法是能够容易想到的，观察解答过程可以发现，对计算的要求较高. 此外，需要考生对三角函数的图象性质非常熟悉才能由f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）正确的求出x的范围. 体现了数学运算核心素养，考查学生的综合运用能力.
分析2 利用三角函數周期性，转化为连续函数在区间上的最值问题. 周期性是三角函数的一个重要性质，该题以三角函数为背景，易想到利用周期性解决. 由三角函数周期性，可以把问题转化为求一个闭区间内的最值问题，只要求出函数在这个区间内的最值即可.
解答2 由题意，f（x+π）=sin2（x+π）sin2（x+π）=f（x），所以π是f（x）的一个周期.因此，问题可以转化为：
证明当x∈0，π时，f（x）≤338.
由（1）知，因此f（x）在0，π3和2π3，π上单调递增，在π3，2π3单调递减.
所以f（x）max=maxfπ3，fπ=fπ3=338，
f（x）min=minf2π3，
f0=f2π3=-338.
所以，-338≤f（x）≤338，即f（x）≤338得证.
评析 这种解法较为灵活，要求学生具有抽象概括的能力、直观想象的核心素养，能够在看到三角函数时候即想到周期性，并将问题转为为一个闭区间上的最值问题. 学生在平时复习中，要熟练掌握基础知识，还要注意抽象概括能力的培养.
分析3 平方处理，利用四元均值不等式证明.题目要证的式子中含有绝对值，可以通过平方去掉绝对值. 平方后，问题转化为求乘积的最大值，可以构造四元均值不等式.
解答3 由题意，
f（x）2=sin4x·sin22x
=4sin6x·cos2x
=43sin2x·sin2x·sin2x·3cos2x
≤43·sin2x+sin2x+sin2x+3cos2x44=2764，
当且仅当sin2x=3cos2x，即x=kπ-π3或x=kπ+π3（k∈Z）时，取“=”.
由此，可得f（x）≤338.
分析4 先降幂化次数为1，再平方处理，利用四元均值不等式证明. 题目所给函数表达式两个因式的次数不统一，可以利用降幂公式把两项次数都化为1. 此时，再通过平方去掉绝对值，问题再次转为为求乘积的最大值，可以构造四元均值不等式.
解答4 由题，
f（x）=sin2xsin2x=1-cos2x2sin2x，
所以f（x）2=14（1-cos2x）2sin22x
=14（1-cos2x）2（1-cos22x）
=14（1-cos2x）3（1+cos2x）
=14×13（1-cos2x）（1-cos2x）（1-cos2x）（3+3cos2x）
≤1121-cos2x+1-cos2x+1-cos2x+3+3cos2x44
=2764.
当且仅当1-cos2x=3+3cos2x，即x=kπ-π3或x=kπ+π3（k∈Z）时，取″=″.
由此，可得f（x）≤338.
评析 这两种解法都蕴含两个关键思路，一是看到绝对值想到通过平方取绝对值，二是能够想到均值不等式中“和定积最大”解决最值问题. 不同的是，解法3直接平方处理，解法4先降幂再处理.不论哪一种解法，都要求对三角函数相关公式非常熟悉，有较强的运算能力才能正确解答. 此外，教材中所学的是二元均值不等式，这两种解法都用到四元均值不等式，要求学生具有较强的逻辑推理能力.
（3）分析 利用第（2）问已经证明的结论，平方处理，可以出现要证明目标中的34. 通过换元，再累乘，即可构造出题目要证明的式子.
解答 由（2）知，f（x）≤338，
两边平方，得f（x）2≤2764，
即sin4x·sin22x≤343，其中x∈R.
将x依次替换为2x，22x，23x，…，2n-1x，
得sin4（2x）·sin2（22x）≤343，
sin4（22x）·sin2（23x）≤343，
sin4（23x）·sin2（24x）≤343，…，sin4（2n-1x）·sin2（2nx）≤343.
累乘，得
sin4x·sin6（2x）·sin6（22x）·sin6（23x）
·…·sin6（2n-1x）·sin2（2nx）
≤343n
又因为sin6x·sin6（2x）·sin6（22x）·…·sin6（2n-1x）·sin6（2nx）
=
sin2x·sin4（2nx）·sin4x·sin6（2x）·sin6（22x）·…·sin6（2n-1x）·sin2（2nx）
≤1×1×343n
即sin2xsin22xsin24x…sin22nx3≤343n，
所以sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.
评析 该题涉及到三角函数性质，绝对值处理，数列累乘，放缩证明不等式等知识点和相关方法，综合性强，难度较大，很好体现了高考的选拔性功能. 在平时复习中，首先应注重夯实基础，其次要注意多个知识点的融合，培養学生的综合运用能力.可以发现，高考数学压轴题融合的知识点较多，综合性强，难度大，是最容易体现高考区分度的题型. 基于对今年高考题的分析解答，提出如下复习建议：
1.重视基础知识学习，强化基本技能训练
基础知识是“四基”能力培养和核心素养养成的最重要载体，概念的形成过程就是数学抽象和数学建模的过程.因此，要深刻理解相关知识的基本概念，理解公式定理的形成过程，掌握基本方法的适用“题境”，加强审读问题、分析问题、解决问题的训练.
2. 关注数学思想方法的应用，培养数学核心素养
在平时教学和学习中，引导学生正确使用数学思想放方法分析问题，训练他们抽象概括、转化问题的能力，提高数学运算能力，从多个方面培养数学核心素养.3. 研究高考命题思路，总结命题规律
高考试题是命题专家根据《课程标准》和考试大纲精心打造的，复习通过研读近些年的高考试题，分析理解命题思路、意图和理念，总结命题规律. 通过研读高考题，避免大搞题海战术，实现高效备考.
参考文献：
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[4]汤敬鹏，汤先键.n元均值不等式证法的探索性学习[J].数学教学，2007（07）：16-17+7.
[责任编辑：李 璟]
