发散思维 一题多解 提升能力

摘 要：三角函数的最值问题入口多，能考查不同水平学生的能力，采用何种策略解答，关键在于对问题的认识.2020年全国高考数学Ⅱ卷理科21题第二问是一个典型例子.可以从不同角度，拓展思路，分析解答，变式探究，再现命题的能力立意，以期提高认识.

关键词：高考题;解法;研究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0026-03

2020年全国高考理科数学Ⅱ卷的第21题是一个三角函数题，考查了函数单调性、最值以及不等式证明.该题打破了若干年来超越函数ex、lnx与带参一、二次函数的综合题霸占压轴题位置的惯例，给我们一线教师带来很多思考，尤其是第二问，值得研究.

一、试题呈现

（2020年全国高考理科数学Ⅱ卷第21题）已知函数f（x）=sin2xsin2x.

（1）略;

（2）求证：f（x）≤383;

（3）略.

二、解法探究

视角1 從极值的角度切入，用极值导出最值

证法1 对原函数求导得f ′（x）=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x，

化简整理得

f ′（x）=2sin2x（4cos2x-1）.

令f ′（x）=0得sinx=0或cosx=±12.

进而得sinx=0cosx=±1或cosx=±12sinx=±32.

由于f（x）=sin2xsin2x=2sin3xcosx，

于是f（x）=2sinx3cosx.

所以f（x）极值=0，

或f（x）极值=|2×（±32）3×（±12）|=338.

三角函数的图像具有连续性、有界性，结合极值与最值得关系可得f（x）≤383.

评析 导数是解决函数问题的有力武器，本函数易于求导，也易于找到极值点，借助三角函数图像的连续特征，可以用极值代表最值，不仅可以解得最大值，也可以求得最小值.充分展示了导数的工具性.

视角2 从周期性入手，以局部研究整体

证法2 由于f（x+π）=sin2（x+π）sin2（x+π）=f（x），

所以π是函数f（x）的一个周期.

于是，要证f（x）≤383，只需证x∈0，π时，f（x）≤383即可.

f ′（x）=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sinx（sin2xcosx+cos2xsinx）

=2sinxsin3x

当x∈0，π时，

令f ′（x）=0得x=0，或x=π3，或x=2π3，或x=π.

于是

f（x）≤maxf（0），

f（π3），f（2π3），

f（π）

=383

所以f（x）≤383.

评析 周期性是三角函数最典型的性质之一，借助周期性可以将复杂的问题简单化，将抽象的问题具体化.本证法将无限不易具体量化的问题，变成了直观的简单三角求值，回归到课本，回归到基础，透视了问题的本质.

视角3 从均值不等式入手，依托sin2θ+cos2θ=1解答.

证法3 因为f（x）=sin2xsin2x=2sin3xcosx

所以f2（x）=4sin6xcos2x

=43·sin2x·sin2x·sin2x·（3cos2x）≤43sin2x+sin2x+sin2x+3cos2x44

=43（34）4.

当且仅当sin2x=3cos2x，tanx=±3时等号成立.

即f（x）2≤43（34）4.

所以f（x）≤383.

评析 本题题设中有绝对值，这为应用均值不等式提供了必要条件，由于函数解析式能等价转化为仅含有正弦函数和与余弦函数的乘积式，这使得同角三角函数基本关系sin2θ+cos2θ=1能够派上用场，仅需要在构造定值方面下功夫，事实上这不是一个难点.由此可见，这个解法非常值得推广.

视角4 从统一三角函数名称入手，构造高次函数解答

证法4 因为f（x）=sin2xsin2x=2sin3xcosx

所以f（x）=2sinx3cosx

=2sinx31-sinx2

=2sinx6-sinx8.

令t=sinx2，则f（x）=2t3-t4（t∈[0，1]）.

再令z=t3-t4

易求得zmax=14（34）3.

所以f（x）≤214（34）3=338.

评析 基于正余弦的关系式，统一三角函数名易于实现，通过换元能构造定义域已知的高次函数，将问题等价转化为求高次函数的最值，借助导数很容易完成解答.需注意换元时次数的选择.有兴趣的同仁，试一试将正弦函数转化为余弦函数，也是可行的.

视角5 从万能公式入手，构造新函数解答

证法5 令t=tanx2，t∈R，

则f（x）=sin2xsin2x

=2sin3xcosx

=21-t21+t2（2t1+t2）3

=16t3（1-t2）（1+t2）4

=16（t3-t5）（1+t2）4.

这是一个奇函数，仅需研究t∈[0，+SymboleB@）的情形.

记f（t）=16（t3-t5）（1+t2）4，

求导得

f ′（t）=16（3t2-5t4）（1+t2）4-128t（t3-t5）（1+t2）3（1+t2）8

整理得f ′（t）=16t2（3t4-10t2+3）（1+t2）8.

令f ′（t）=16t2（3t4-10t2+3）（1+t2）8=0得极值点t=33，或t=3.

对应的极值为f（33）=338，f（3）=-338.

根据三角函数的连续性，有界性，结合奇函数图像的对称性得f（t）≤338.

即f（x）≤338.

评析 万能公式能够统一三角函数名称，换元后可以统一变量，就本题而言也没改变自变量的取值范围，为应用导数求最值奠定了基础.这个证法思路简洁，条理清晰，在平时教学中稍作训练，学生一定能掌握这个技巧.

三、题目溯源

有经验的老师会发现，与这道题类似的题目曾经在2018年高考中出现过：（全国Ⅰ卷理科第16题）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.此题考查的知识点、解题方法与今年这道题十分雷同，难度不比今年这道题小，处于当年小题压轴题位置，起到了很好的把关作用.这告诫我们，研究高考真题是我们高三的一个必修课，并且要善于总结和拓展，以应对“新”题目.事实上，今年其他高考试卷中也存在不同程度的“老”题翻“新”的现象.笔者对2018年的这道题也曾经尝试着用五种解法解答过，限于篇幅，此处给出其中一种，供参考.

f ′（x）=2cosx+2cos2x，由f ′（x）=0得，2cos2x+cosx-1=0，

解得cosx=12，或cosx=-1，

所以sinx=32，或sinx=-32，或sinx=0.

当sinx=32，cosx=12时，f（x）=332;

当sinx=-32，cosx=12时，f（x）=-332;

当sinx=0，cosx=-1时，f（x）=0.

由三角函数的连续性和有界性，结合极值的概念得f（x）min=-332.

四、变式拓展

1.已知函数f（x）=sin2xsin2x，求f（x）的值域.

说明 本函数是奇函数，所以与今年高考原题异曲同工.

2.已知函数f（x）=sin2x+sin2x，求f（x）的最大值.

说明：将原函数的乘积关系换成求和，问题难度下降，属于传统三角函数性质问题.

3.已知函数f（x）=sinx+sin2x，求f（x）的最小值.

说明：将两项的次数错开，问题难度随之提升，属于创新题目.

4.已知函数f（x）=sinxsin2x，求f（x）的极值.

说明：本函数是偶函数，问题变为极值，需要能明白函数的单调性，以确定极大值（极小值），本质并未改变，仅需理清概念.

以上变式题都很有意思，有兴趣的同仁可以继续展开比较研究.

三角函数的值域（最值）问题既有传统的题型，使用纯三角知识可以解答;也可和其它模块内容融合在一起进行创新，這类题目往往具有开放性，不局限于使用三角知识解答，借助一些其他知识，如均值不等式、利用导数研究函数性质、圆锥曲线等，可能更加方便，能综合考查学生素养.在教学中，我们既要加强基础知识的教学，更要在创新上下功夫，方可达到高考的选拔性要求.参考文献：

[1]教育部考试中心.2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲说明（理科·课程标实验版）[M].北京：高等教育出版社，2012：39-40.

[2]李昌成.探究一道基于能力考查的高考题[J].理科考试研究，2018（23）：11-13.

[责任编辑：李 璟]