关于模型思想在中学数学几何中的运用及反思

谢秀兵

摘 要：高中数学几何涉及很多模型.教学中注重模型思想的讲解与应用，能很好的提高学生的解题能力，促进学生数学学习成绩的显著提升.本文重点讲解了墙角模型、对棱相等模型以及等体积模型，探讨模型的相关运用与反思，以供参考.

关键词：模型思想;高中数学;几何;运用;反思

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0009-02

高中数学几何教学中，既要注重几何相关理论知识的讲解，锻炼学生空间想象能力，又要注重模型思想的讲解，尤其应结合具体例题，为学生展示几何模型在解题中的具体应用，并根据学生学习情况，做好模型思想教学的反思，做好细节上的优化与调整，不断提高学生运用模型思想解答几何问题的水平与能力.

一、立体几何中的模型概述

高中数学几何模型中墙角模型、对棱相等模型以及等体积模型是各类测试考查的热点，因此，课堂上应与学生一起进行分析，推导相关的结论.

1.墙角模型

对于柱体而言，找到三条两两垂直的棱，便可求出其外接圆的半径，外接圆的表面积、体积等问题也就迎刃而解.设三条棱长分别为a、b、c，将柱体补成长方体，设其外接圆半径为R，则满足（2R）2=a2+b2+c2，即，R=a2+b2+c22.

2.对棱相等模型

对棱模型是墙角模型的延伸.三棱锥中三组对棱分別相等，设为x、y、z，则其外接圆半径R=x2+y2+z28.研究该模型时可将其放到长方体中，因长方体的对棱相等，因此，连接对棱使其构成一个三棱锥.设长方体的长、宽、高为a、b、c，由勾股定理列方程组，不难推出R=a2+b2+c22=x2+y2+z28.

3.等体积模型

等体积模型在解答三棱锥点到面的距离中较为常用，即，通过题干中的已知参数求解出三棱锥的体积后，通过换底便可求解顶点到面的距离.如知道三棱锥O-ABC的体积VO-ABC，而且根据已知条件容易求得△OAC、△OAB、△OBC的面积，则可求出点B、点C、点A到面OAC、OAB、OBC的距离.

二、模型思想在几何教学中的应用

1.墙角模型的应用

如图1在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，若PA=AB=BC=2，E、F分别为PB、PC的中点，则三棱锥P-AEF的外接球的表面积为（）.

图1

A.2π B.3π C.4π D.5π

应用墙角模型解题时应注重结合已知条件以及所学的立体几何知识判断其是否符合模型条件.∵PA⊥底面ABC，则BC⊥PA，又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，则BC⊥PE、BC⊥AE，又∵E、F分别为PB、PC的中点，则EF∥BC，又∵PA=AB，则AE⊥PE，则PE、AE、EF满足两两垂直，显然其符合墙角模型.又∵EF=1，PE=AE=2，则直接代入墙角模型R=a2+b2+c22=52，则S=4πR2=4π×54=5π，正确选项为D.

2.对棱相等模型的应用

在三棱锥P-ABC中，若PA=PB=BC=AC=5，PC=AB=42，则其外接球的表面积为（）.

A.41πB.41π2 C.41π3D .41π4

绘制草图不难发现，PA与BC为对棱、PB与AC为对棱、PC与AB为对棱，与对棱相等模型情境相符，因此，可直接套用对棱相等模型，R=x2+y2+z28=25+25+328=412，则其外接球表面积S=4πR2=4π×414=41π，正确选项为A.

3.等体积模型的应用

如图2三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点，求点C到平面ABE的距离.

图2

解答该题可以三棱锥A-BCE为研究对象，求出该三棱锥的体积以及△ABE的面积便可求出点C到平面ABE的距离.由已知条件可知AB=OB2+AO2、BE=OB2+OE2、AE=AO2+OE2，容易求得AB=5、BE=5、AE=2，在△ABE中，AE边上的高h=BE2-（12AE）2=322.容易求得S△ABE=12AE·h，S△BEC=12BO·EC，设点C到平面ABE的距离为d，由VA-BEC=VC-ABE，整理得到，BO·EC·AO=AE·h·d，易得d=23，即点C到平面ABE的距离为23.

三、模型思想在几何教学中的运用反思

高中数学几何教学中融入模型思想，结合学生在课堂上的表现以及掌握、运用几何模型情况，做如下反思：

首先，应将模型思想纳入教学重点.学生在解题的过程中，只要符合模型的条件，便可直接套用模型结论，可简化解题过程，使学生在解题中少走弯路，大大提高解题正确率，尤其对于一些空间想象能力较弱的学生而言，采用几何模型解题是一种很好的解题思路，因此，教学中应认识到模型思想的重要性，将其纳入教学的重要内容，认真汇总几何中的常见模型，在课堂上给予学生针对性的讲解.

其次，教学中应注重调动学生学习积极性.为使学生充分把握几何模型本质，领悟各种几何模型思想的精髓，提高其应用模型思想解题的意识与能力，既要注重在课堂上与学生积极互动，营造宽松活泼的课堂氛围，又要做好课堂教学规划，灵活运用多媒体技术、小组比赛教学法、合作学习法等开展教学工作，激发学生的学习热情，在学生的头脑中留下深刻的印象，为其正确、高效的应用几何模型解题做好铺垫.

最后，鼓励学生多进行几何模型的探究.教学中应鼓励学生利用课下时间进行几何模型的探究，推导一些几何模型结论，并根据学生的探究情况给予针对性的表扬，使其感受到几何模型探究的成就感，更加积极主动的进行几何模型的探究.同时，为提高学生的模型思想应用能力，应要求其做好常几何模型总结，深刻把握几何模型的特点，在解题中能够融会贯通，举一反三，实现数学解题水平的显著提升.

参考文献：

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[责任编辑：李 璟]