借助“几何画板”，提升课堂效率

朱玉霞

摘  要：专题复习课是初三数学课的主要課型，在授课过程中适当借助信息技术手段，不仅可以提高课堂效率，提升学生的学习能力，培养教师的专业素养，还可以促进教师教学水平不断提高。

关键词：几何画板;圆周角定理;第一轮复习

初三数学第一轮复习的主要目标是巩固基础、归纳方法和提高能力。而勤于练习是提高数学成绩的最重要手段，但多练并非盲目的“题海战术”，由于初三的时间有限，所以每一个专题的选材、归纳和讲解过程都显得尤为重要。笔者根据多年的教学经验，结合第一轮复习专题，以“圆周角定理”为例，就如何借助多媒体，提高课堂效率谈谈自己的看法。

一、教学简录

（一） 温固基础，围绕课本定理与推论复习相关知识点

回顾基础知识是第一轮复习的必备环节，直接陈述知识点不够形象生动，收效甚微，有些知识点的梳理借助一些“工具”往往能得到意想不到的效果。

课前复习：（九年级上册86页）

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。半圆（或直径）所的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。

活动1：教师用几何画板画出以下图形并标记角的度数，拖曳点A并引导学生把圆周角定理改写成数学语言：∵AB=AB，∠ACB=     ∠AOB。

设计意图：通过几何画板的标记角度和拖曳功能，拖曳点C，让学生直观感受同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系。

活动2：在ACB上再取一个点D，连接AD、DB，拖曳点C、D，让学生观察当∠AOB不变，∠C、∠D的度数是否发生改变;改变∠AOB的大小（包括180°的情况），让学生观察∠C、∠D的的变化，并引导学生把推论改写成数学语言：

∵AB=AB ∴∠C=∠D=     ∠AOB;

∵AB为直径，∴∠C=90°（∵∠C=90°，∴AB为直径）。

设计意图：“几何画板”动态演示当∠AOB不变时，改变点C、点D在优弧的位置，∠C、∠D度数不发生改变，让学生再次直观感受同弧所对的圆周角相等。

活动3：继续拖曳点D，使点D落在劣弧AB上，让学生观察∠D的变化，找到∠C、∠D之间的关系;拖曳点B，改变∠AOB的大小，让学生体会∠C、∠D的关系及变化;单击OA、OB、角标记、文本，选择“显示”“隐藏对象”功能，让学生观察休会∠C、∠D的位置及数量关系，并得出圆内接四边形性质。

设计意图：通过把点D从优弧拖曳到劣弧，从一般到特殊的变化的过程中，一、可以强化同弧所对的圆周角、圆心角的定义;二、可以加深圆内接四边形的定义;三、还可以形象得出圆内接四边形性质。

（二）问题探究，体验用相关定理解决与圆周角有关计算问题探求

数学教学不仅要使学生记住相关定理和推论，更重要的是通过习题让学生掌握定理的应用。由于初三的课时十分有限，在教学之前，教师应该根据学生的具体情况整合教学内容，对知识点进行压缩和精选，通过变式引导学生探索知识的来源和思想方法。

例题讲解：例1：如图，⊙O中，弦BC与半径OA交于点D，连接AB、OC，若∠B=30°（1）求∠AOC的度数（2）若∠A=26°，求∠ADC的度数。

变式1：如图，⊙O中，弦BC与半径OA交于点D，连接AB、OC，若∠A=32°，∠ADC=86°，求∠C的度数。

变式2：如图，⊙O中，弦BC与半径OA交于点D，连接AB、OC，若∠B=30°，⊙O半径为2cm，求弦AC的长度。

变式3：如图，⊙O中，弦BC与半径OA交于点D，连接AB、OC，若，⊙O半径为2cm，AC=2cm，求∠B的度数。

变式4：如图，⊙O中，弦BC与半径OA交于点D，连接AB、OC，若，⊙O半径为2cm，∠B=30°，点A为BC中点，求弦BC的长度。

课堂展示：

师：例1第（2）问中，∠ADC是圆心角或圆周角吗？这个角该如何求？

生1：这个角既不是圆心角，也不是圆周角，结合图象，∠ADC是△ABD的外角，可以用三角形外角定理求。

师：很好，变式1中∠C的度数也可以用三角形外角定理求吗？

生2：可以，∠ADC也是△OCD的外角，根据题目条件可以先求∠B，然后根据圆周角定理求出∠AOC，最后用三角形外角定理求出∠C。

师：变式（2）和变式（3）中，∠B是圆周角，所对的弧是哪一段？可以怎样作辅助线？

生3：∠B所对的弧是AC，连半径OA、OC。

师：对！解决圆中线段长度问题时，“连半径”是最常使用的辅助线作法。变式（4）中多了什么条件？这个条件怎么用？

生4：多了点A为为BC中点，连OA后根据垂径定理得到OA⊥BC。

师：非常棒！求弦长通常可以用垂径定理解决。

设计意图：例1是圆周角定理和三角形外角定理和垂径定理的复习和简单的应用，通过几何画板的“隐藏和显示”功能，隐藏OA、OC、交点D，连接AC，可以轻松地转换两个图形，既可以节省上课时间，又可以让学生轻松掌握“连半径”辅助线的作法，变式2和变式3通过∠AOC的度数和△OAC是等腰三角形这一特性，解决∠B、∠AOC半径和弦AC之间的关系;变式4在变式2和3的基础上增加了点A为弧中点这个条件，结合垂径定理，解决了圆心角、圆周角、弦AC、弦BC和半径之间的关系。

习题1：（课本89页第5题）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=50°。求∠ADC的度数。

变式：如图，⊙O中，OA⊥BC，∠D=30°，半径为2。（1）求∠B的度数;（2）求弦BC的长。

习题2：如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠BCD=120°，求∠BOD的度数。

变式：如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠ABC=60°，AB∥CD，求∠BOD的度数。

习题3：如图，A、B是⊙O上两点，点C是AB的中点，∠AOB=120°。

（1）求证：四边形OACB是菱形;（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，PC=  3 ，求⊙O的半径。

课堂展示：

师：习题1，根据OA⊥BC可以得到什么结论？

生5：可以得到OA平分弦BC、平分弧BC。

师：对，求角的度数，选哪个结论更合适？

生6：根据圆周角定理，弧相等可以得到圆心角和圆周角之间的关系，所以我想选择AB=AC这个结论试试。

师：习题2∠BOD和∠BCD所对的弧是同一条吗？∠BCD怎样求？

生7：不是，∠BOD所对的的是劣弧BD，∠BCD所对的的是优弧BAD。先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求∠A，再用圆内接四边形对角互补求出∠BCD。

师：很好，习题3用同样方法求出∠ACB可以解决问题（1）吗？可以怎样解决？

生8：不能。根据条件点C是弧AB的中点，连OC，得到∠AOC=∠COB=60°，可以得到△OAC和△OBC是等边三角形，易证（1）。

师：好！充分并合理利用条件是做几何题的关键，下面就请大家用规范文字语言和符号语言解答习题3.

设计意图：前两道习题除了继续巩固例1复习的知识点外，还加深了对“同弧或等弧”的理解、复习了圆内接四边形对角互补和平行线性质。习题2可以利用几何画板的“隐藏”功能，隐藏AB、AD边，激发学生的空间想象力。

例2：如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABC=60°，求∠BDC的度数。

变式1：如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠DCB=120°，求∠CAB的度数。

变式2：如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠BAC=30°，BD平分∠ABC，（1）求∠DCA的度数;（2）若AC=6，求BD的长度。

变式3：⊙A过点O（0，0），C（ 3 ，0），D（0，1），点B是X轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，求∠OBD的度数。

课堂展示：

师：AB是直径可以得出什么结论？

生9：根据直径所对的圆周角是直角，可以得出∠ACB=90°。

師：很好，变式3中有直径吗？

生10：有，连接DC，圆周角∠DOC是90°，所以DC是直径。

师：不错，当图中出现直径时，要会找到90°角;反过来见到90°的圆周角，要知道它所对的弦是直径。下面就就同学们根据我们复习的内容完成下面的练习。

设计意图：例2主要复习了推论半圆（或直径）所的圆周角是直角，变式2复习了用特殊角的三角函数解直角三角形，变式3通过引入平面直角坐标系复习了90°的圆周角所对的弦是直径。用几何画板“迷你坐标系”画图，既标准又方便。

（三）深化拓展，领悟数学思想方法和提升思维品质

初三数学复习课的模式基本是以考点为主线，用习题贯穿整个课堂，再加上相关的巩固练习用以促进学生对知识的掌握，最终达到提升学生的解题能力的目的。

课堂习题1：如图，等边△ABC中内接于⊙O，P是AB上任一点（点P不与A、B重合）连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M。（1）求∠APC与∠BPC的度数;（2）求证：△ACM≌△BCP;（3）若PA=2，PB=4，求四边形PBCM的面积。

课堂习题2：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD。（1）求证：∠DAC=∠DBA;（2）求证：P是线段AF中点;（3）若⊙O半径为4，AF=6，求tan∠ABF的值。

设计意图：该环节是一堂复习课的巩固和升华，设计的问题难度应稍高于例题，同时涉及的知识点也应更全面，这样才能达到深化拓展的效果，让学生领悟当中的思想方法和提升自身的思维品质。

二、教学反思

专题复习课是初三课堂比较有效的课堂形式。纵观本节课，笔者基于基础与经验，在课堂中借助了多媒体工具“几何画板”，使图形的生成过程可视化，让学生从直观上感受以圆周角定理为生长源，在变换生成不同图形的过程中培养自己的空间想象能力，让抽象的数学思想变得清晰直观，激发了学生的数学思维，提升了学生的空间想象能力，促进学生数学思想方法及数学素养的形成，取得了较好的效果。

（一）实行教学过程可视化，使知识梳理更有效

“几何画板”最大的特点之一是它的可视化，例如，在活动1、2、3的过程中，通过简单的拖曳功能，使抽象的数学概念变更清晰直观，在反复操作的过程中，让学生直观并深刻地掌握枯燥的理论知识，达到融会贯通的效果，让概念教学自然地生长和流淌。

（二）实施知识探究延伸化，使思维发展更优化

学生理解和掌握数学概念后，还要能利用积累的数学活动经验类比迁移、探究新知，把学过的知识用于解决实际问题，达到提升自身数学素养的效果。本节课在教学过程中引导学生建立数学模型，注重生成、理解和应用模型，例如在选取例题与练习的过程中精心筛选，层层深入，借助几何画板的隐藏与显示功能，把相关的题型有效地整合，引导学生进行知识的类比、化归，把方法转化为思维，渗透到以后的数学学习中。

（三）实现教学技术信息化，使教师实现再成长

在初中数学课堂中，学生是学习的主体，是探究的主人，教师则是探究的“引路人”，这就需要教师在教学的过程中大胆尝试新方法，不断提高自身的业务水平，这样才能在教学的过程中起到四两拨千斤的引导功能，学会使用多媒体，例如几何画板等，有助于提高数学教师的教学水平、业务水平，从而达到优化课堂的作用。

三、结语

“成绩”对毕业班的学生来说，有着不可取代的地位，要提高中考成绩，就要提高解题能力，而第一轮复习就是提高学生解题能力的一个重要环节，因此专题复习要精心选题，内化解题方法，深化拓展知识点，提炼数学解题思维，力求突出中考疑难问题，促进学生数学素养的形成，将信息技术（如几何画板等）与内容进行深度整合，还原知识的本源与生长，从而提升学生的数学核心素养，最终达到提高解题能力的目。

参考文献：

[1] 朱丽华.好题积学，以题促知[J].数学教学通讯（中旬），2020（7）

[2] 乔琦花.运用“几何画板”，凸显数学思想方法教学[J].中学数学教学参考（中旬），2020（3）

[3] 王文泉.“三个理解”指导下的“圆周角”教学探讨[J]. 数学教学通讯（中旬），2020（7）