缩小参数范围 优化解题过程

黄治元

摘 要：处理含参数的最值问题、恒成立问题，在无法分离参数时通常需要分类讨论，但往往讨论及其繁琐.本文通过实例阐述如何做到快捷高效的分类讨论，以便学生以后遇到此类问题时可以省时省力.

关键词：参数;恒成立;特值检验;极限

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0067-03

含参数的最值问题、恒成立问题是高考数学中的热点问题，解题方法一般是通过对参数进行分类讨论，但分类情况比较多时就会显得繁琐复杂.若先缩小参数范围再加以讨论，则往往会优化解题过程.一、利用特值检验，缩小参数范围

对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象.

例1 已知函数fx=x2-x+3，x≤1x+2x，x>1，设a∈R，若关于x的不等式fx≥x2+a在R上恒成立，则a的取值范围是（）.

A. -4716，2 B. -4716，3916

C.-23，2D. -23，3916

解析 这是2017年天津市高考理科试题选择题第8题，标准解答如下：

不等式fx≥x2+a为 -fx≤x2+a≤fx*，

当x≤1时，*式即为-x2+x-3≤x2+a≤x2-x+3，-x2+x2-3≤a≤x2-32x+3，

又-x2+x2-3=-x-142-4716≤-4716当x=14时取等号，

x2-32x+3=x-342+3916≥3916当x=34时取等号，

所以，-4716≤a≤3916.当x>1时，*式为

-x-2x≤x2+a≤x+2x，-32x-2x≤a≤x2+2x.

又 -32x-2x=-32x+2x≤-23当x=233时取等号，

x2+2x≥2x2·2x=2当x=2时取等号，

所以-23≤a≤2.

综上，-4716≤a≤2.

故选A.

评注 此法思路过程虽严谨清晰，但有点“小题大做”，不符合选择题的解题特点.快速找出正确答案才是上策，解法如下：

不等式fx≥x2+a在R上恒成立，特别地，当x=0，2时

f0=3≥af2=3≥1+a-3≤a≤3-4≤a≤2-3≤a≤2 ，由排除法，选A.

例2 已知a>0，函数fx=x2+x-a-3在区间-1，1上的最大值是2，则a=.

解析 函数fx带有双重绝对值，绝对值函数问题一般是先去掉绝对值符号转化为分段函数，但本题去掉内层绝对值转化为分段函数后不易确定相应的自变量x的范围，这给后续分类讨论带来不便.若先缩小参数a的范围，问题得到解决.

解法如下：f0=a-3=a-3≤2a>01≤a≤5，

∴当x∈-1，1时，fx=x2-x+a-3.

∴f-1=a-1≤2-1≤a≤3，从而1≤a≤3.

∴fx=x2-x+a-3，x∈-1，1，1≤a≤3

设t=x2-x-3，x∈-1，1，则t∈-134，-1，

且gt=t+a在-134，-1上的最大值為2.

∴g-134=a-134=2g-1=a-1≤2①

或g-1=a-1=2g-134=a-134≤2②

即134-a=2a-1≤2或a-1=2134-a≤2a=54或3.

评注 在得知1≤a≤3的情况下，求解①，②也更快捷.

例3 设函数fx=3ax-x+a2，其中a∈R.

若对任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1，求实数a的取值范围.

解析 先缩小参数a的取值范围找其使命题成立的必要条件，有时该必要条件也恰好是使命题成立的充分条件，接下来证明其充分性即可.

因为对任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1，所以fa≥-1fa+1≥-1，即3a2-4a2≥-13aa+1-2a+12≥-1 ，解得 -1≤a≤0.

下面证明，当a∈-1，0时，对任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1.

（1）当a≤x≤0时，fx=-x2+ax-a2，fa=f0=-a2≥-1，故fx≥minfa，f0≥-1成立;

（2）当0≤x≤a+1时，fx=-x2-5ax-a2，fa+1≥-1，f0≥-1，

故fx≥minfa+1，f0≥-1成立;

由此，对任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1.

所以实数a的取值范围是-1，0.

例4 已知函数fx=x2-ax，ffx≤2在1，2上恒成立，则实数a的最大值为.

解析 利用从一般到特殊的解题思想，特值检验缩小参数a的范围，猜测实数a的最大值，先猜后证.

由ffx=fx2-ax=x2-axx2-ax-a知ffx≤2，即x2-axx2-ax-a≤2对x∈1，2上恒成立，特别地，

当x=1，2时， 有

1-a1-2a≤24-2a4-3a≤2

-2≤a-12a-1≤2①-1≤a-23a-4≤1②

由①得，2a2-3a+3≥02a2-3a-1≤0

3-174≤a≤3+174③;

由②得，3a2-10a+9≥03a2-10a+7≤0

1≤a≤73④

由③④得，1≤a≤3+174

另一方面，当a=3+174时

由于fx=x2-ax图象对称轴x=a2<1，所以fx=x2-ax在1，2上递增，

∴当x∈1，2时，f1≤fx≤f2，

又f2=4-2a=4-3+172=5-172<12≤a2

所以fx=x2-ax在f1，f2上递减，

由f1≤fx≤f2

得ff2≤ffx≤ff1

又-2≤ff1≤2-2≤ff2≤2，

所以-2≤ffx≤2，

即ffx≤2.

综上，amax=3+174.

二、利用极限思想，缩小参数范围

极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想解题，往往可以避免复杂的讨论，优化解题过程.

例5 设a∈R，若x>0时，均有[a-1x-1]x2-ax-1≥0，则a=.

解析 此题是2012年浙江理科卷最后一个填空题.经初步分析知，需要对不等式中的两个因式的正负进行讨论，也需对因式a-1x-1中一次项系数a-1的正负进行讨论.讨论情况有些复杂，先考虑缩小参数a的取值范围.

注意到，当x→+∞时，x2-ax-1→+∞，

∴a-1>0a>1

a-1x-1x2-ax-1≥0對x>0恒成立，

x-1a-1x2-ax-1≥0对x>0恒成立，

x=1a-1是方程x2-ax-1=0的根，

a=32.

例6 若不等式ax+3x2-b≤0对任意的x∈0，+∞恒成立，则（）.

A. ab2=9B. a2b=9，a<0

C. b=9a2，a<0D. b2=9a

解析 含有两个参数的不等式恒成立问题，分类讨论情形复杂，优先考虑缩小参数范围.

注意到，当x→0+时，ax+3>0，从而x2-b≤0b>0.

当x→+∞时，x2-b>0，从而ax+3≤0，a<0.

∴ax+3x2-b≤0对任意的x∈0，+∞恒成立，

ax+3ax+bx-b≤0对任意的x∈0，+∞恒成立，

x+3ax-b≥0对任意的x∈0，+∞恒成立-3a=ba2b=9，a<0.

故选B.

含参数的最值问题、恒成立问题，优先考虑缩小参数的范围以达到简化分类讨论或是避免分类讨论的目的.至于选择怎样的特殊值来检验缩小参数范围，这需要一个尝试的过程，一般会选择区间的端点值（或取其极限），或是选择给定区间内的某个便于计算的值，这因题而异.

参考文献：

[1]陈国林.应用函数性质，破解数学问题[J].数理天地（高中版），2018（07）：11-12.

[责任编辑：李 璟]