在三角求值问题时要注意角的取值范围

田素伟

摘 要：三角函数求值问题是三角函数问题中常见的题型之一，本文以例说法，并对三角求值问题时角的范围进行了警示.

关键词：三角函数;求值问题;取值范围

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0052-02

在三角求值问题时很多同学由于忽略角的取值范围或是求错了角的取值范围而导致解题错误，如何能在解决这类三角求值问题时正确把握角的角的取值范围哪？下面就这个问题，举例说明：

例1 在锐角△ABC中，a、b、c分别是三角形内角A、B、C的对边，若B=2A，求ba取值范围.

解 由正弦定理

a=2RsinA、b=2RsinB可知，

ba=sinBsinA=sin2AsinA=2cosA

∵△ABC是锐角三角形且B=2A.

∴0<A<π20<B<π20<C<π2 ∴0<A<π20<2A<π20<π-3A<π2

∴π6<A<π4

由三角函数性质可知cosπ4<cosA<cosπ6

∴2<2cosA<3

2<ba<3

评析 边化为角时常用正弦定理，本题要充分挖掘寻找题中角的限制条件，求出角A的取值范围，很多学生常忽略角C的取值范围，要注意锐角三角形中三个内角都是锐角这一条件.

例2 设函数f（x）=sin（2x+φ）（0<φ<π），已知对任意x∈R，

都有，f（x）≤f（π8）

（1）求函数y=f（x）的解析式并写出其单调递增区间;

（2）若x为△ABC的最小内角，求函数y=f（x）的值域.

解 （1）由题设条件知f（π8）就是函数f（x）的最大值所以2×π8+φ=π2+2kπ，解得φ=π4+2kπ（k∈Z）

又由0<φ<π，所以φ=π4，所以f（x）=sin（2x+π4）

由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2，

解得kπ-38π≤x≤kπ+π8，

即函数y=f（x）的单调递增区间是[kπ-38π，kπ+π8]（k∈Z）

（2）因为x为△ABC的最小内角，因为x是△ABC的最小内角，

∴0<x≤A0<x≤B0<x≤C，

∴0<3x≤A+B+C

又A+B+C=π，所以0

∴fx=sin2x+π40<x≤π3

因为0

所以6-24=sin1112π≤sin（2x+π4）≤sinπ2=1

所以函数y=f（x）的值域是[6-24，1]

评析：本题中要明确△ABC的最小内角的取值范围，很多学生由于不理解最小内角的取值范围的推导，经常记错△ABC的最小内角的取值范围，本题考察在明确△ABC的最小内角的取值范圍的前提下求给定区间的三角函数的最值和三角函数的性质.

例3 在锐角三角形ABC中，若tanA=t+1，tanB=t-1，求t的取值范围.

解 由已知条件可知tanA>0tanB>0tanC>0，

而tanC=-tan（A+B）=-tanA+tanB1-tanAtanB=-t+1+t-11-t+1t-1=-2t2-t2

∴t-1>0t+1>0-2t2-t2>0∴t>;2

评析 很多学生容易忽略角C的取值范围即tanC>0这一隐含条件导致解题错误.

要注意锐角三角形中三个内角都是锐角这一条件.

下面给出3道练习题，请同学练习

1.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB.

（1）求角B的大小;

（2）求sinA+sinC的取值范围.

2.锐角△ABC中已知两边a=1，b=2，则第三边c的取值范围是

.

3.钝角三角形三边长为a，a+1，a+2，最大内角不超过120°，则a范围是.

简答：

1.解 （1）由条件及正弦定理得：

sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB.

则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，

∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinASymbolyB@0，

∴cos=12，又0<B<SymbolpA@，

∴B=π3.

（2）由A+B+C=SymbolpA@及B=π3，得C=2π3-A.又SymbolDA@ABC为锐角三角形，

∴0<A<π20<2π3-A<π2，

∴π6<A<π2.

而sinA+sinC=sinA+sin（2π3-A）=32sinA+32cosA=3sin（A+π6）.

又A+π6SymbolNC@（π3，2π3），∴sin（A+π6）SymbolNC@（32，1]，

∴sinA+sinCSymbolNC@（32，3].

2.c2=5-4cosC∈（1，5），又B<90°，∴cosC>0，

∴c2>3，∴c∈（3，5）

3.长度a+2所对角最大，设为θ，则90°<θ≤120°，则-12≤cosθ<0，cosθ=a2+（a+1）2-（a+2）22a（a+1）

参考文献：

[1]周怡明，陈国林.常见的三种三角函数值域的求法[J].数理化解题研究，2019（31）：43.

[责任编辑：李 璟]