由一道课本练习题引发的多角度探究

贺凤梅

摘 要：课本上的习题在一定程度上具有典型性和示范性.作为一线教师，一定要认真解读教材，认真钻研教材，用好教材中的例题及练习题，对其内涵进行挖掘和提炼.通过多角度探究，让学生弄通悟透，培养学生的分析问题和解决问题的能力.

关键词：课本;练习题;多角度;探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0033-03

一、问题展示

人教A版数学选修2-1第72页练习第题：过点M（2，0）作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于A、B两点，求|AB|.

二、总体分析

已知抛物线y2=4x开口向右，对称轴为x軸，2p=4，p=2，即p2=1，其焦点坐标为F（1，0），所给直线l的方程为y=x-2.

本题所求问题比较明确，就是求直线与已知抛物线相交所得弦的弦长问题.可以联立方程，通过两点间的距离公式求解;也可以通过弦长公式求解等.通过研究发现，本题是一道简单题，很基础，但是解题方法灵活多样，可以一题多解.教学中我尝试过引导学生多角度思考和探究，发现了多种解法，以此激发学生的学习兴趣和研究试题的积极性，达到了拓展学生的思维的目的.

三、试题解答

1.利用两点间的距离公式求解

分析 这种解法的的关键是联立直线与抛物线的方程组成的方程组，求出方程组的公共解，即得两交点的坐标，再代入两点间的距离公式求解，便可以得出弦长.

解法1 由已知条件可知直线方程为y=x-2.

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

联立y=x-2，y2=4x，消去，得（x-2）2=4x，

整理得x2-8x+4=0，

由求根公式可得该方程的两实根为x1=4+23，x2=4-23，

从而解得x1=4+23y1=4+23，x1=4-23y1=4-23，

所以A（4+23，

2+23）、B（4-23，2-23），

由两点间的距离公式得

|AB|=[（4+23）-（4-23）]2+[

（2+23）-（2-23）]

=（43）2+（43）2=46.

所以|AB|=46.

解法2 鉴于本题中直线的方程为y=x-2，系数比较简单，也可以消去x，

由x=y+2y2=4x，消去x，得y2=4（y+2），

整理得y2-4y-8=0，

由求根公式可得该方程的两实根为y1=4+23，y2=4-23，

从而得x1=4+23y1=4+23，x1=4-23y1=4-23，

下同解法1求弦长|AB|=46.

评注 解法1和解法2的解题启示是：运用两点间的距离公式求弦长时，根据直线的特点，可以灵活选择消去或消去，当然是以方便求解为原则.这种方法学生比较容易想到，通过此种求解过程，可以锻炼和提高学生的计算能力.

2.利用弦长公式求解

分析 这种解法的的关键是联立直线与抛物线的方程组成的方程组，消去x或者消去y，由根与系数的关系得出两根之和以及两根之积，代入相应的弦长公式，便可以求出弦长.

解法3 由解法1，有x2-8x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=8，x1x2=4，直线斜率k=1，再代入弦长公式

|AB|=1+k2|x1-x2|

=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2

即得|AB|=2·82-4×4

=2·48=46

解法4 同样联立y=x-2y2=4x，

由直线y=x-2方程变形得x=y+2，

代入抛物线y2=4x方程，消去x，得

y2=4（y+2），

整理得y2-4y-8=0，

可知y1、y2是以上关于y的方程的产根，由根与系数的关系得y1+y2=4，y1y2=-8，

代入对应的弦长公式

|AB|=1+1k2|y1-y2|

=（1+1k2）（y1+y2）2-4y1y2

得|AB|=2·42-4×（-8）=46.

评注 解法3和解法4比较而言，学生比较容易想到的是解法3，如果选择使用弦长公式求解，需要给学生讲清楚的是联立方程得到的方程组消元时，同样需要根据直线方程的特点，以方便求解为前提条件.

3.构造直角三角形，由边角关系求解

分析 这种解法的关键是根据题目条件，数形结合，找到直线与抛物线两交点的纵坐标（或横坐标）、弦长以及直线倾斜角之间的联系，在所构造的直角三角形中求解完成.

解法5 由已知条件，直线斜率k=1，所以直线的倾斜角为α=π4，

结合图象可得弦长|AB|=|y1-y2|sinα，

由解法4得

|y1-y2|=（y1+y2）2-4y1y2

=42-4×（-8）=43

故可求得|AB|=43sinπ4=46.

.

解法6 结合图象及解法5，可得弦长也可表示为|AB|=|x1-x2|cosα，

由解法3得

|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=82-4×4=43

因此，|AB|=43cosπ4=4322=46.

评注 以上两种方法在平时的解题中并不常见，当直线的倾斜角比较特殊时用此法方便快捷.倾斜角如果不特殊，借助于k=tanα（α≠π2，以及平方关系和商数关系求解可得sinα或cosα）.

4.利用直线的参数方程求解

分析 这种求解方法的关键是利用直线参数方程的几何意义，当直线参数方程为标准型时，将直线的参数方程中的x和y代入抛物线方程，得到关于t的一元二次方程，借助根与系数的关系（韦达定理），以及|AB|=|t1-t2|，可顺利求解完成解答.

解法7 由条件直线过点m（2，0），倾斜角为α=π4，则直线的参数方程为

x=2+22t，y=22t，（t为参数），

代入抛物线y2=4x方程得（22t）2=4（2+22t），

整理得t2-42t-16=0，

设A、B两点的参数分别为t1、t2，由参数的几何意义得

t1+t2=42，t1t2=-16.

|AB|=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2

=（42）2-4×（-16）=46

评注 用此法求弦长时，一定要明确直线参数方程中是否具有几何意义. 若具有几何意义，可直接求解;若不具有几何意义，一定要进行变形，求出具有几何意义的直线参数方程，方可求解.

评析 以上七种解法适合所有直线与抛物线相交求弦长的问题（斜率存在，即倾斜角α≠π2）.当然如果直线经过抛物线的焦点，除以上通法外，还可以有以下两种解答方法.

变式 将直线l所经过的点改为（1，0），即经过抛物线的焦点F，这道题就是人教A版选修2-1课本第69页的例4.

现作为解法8和解法9简述如下：

5.利用抛物线的定义求解

分析 此解法的关键是直线经过抛物线的焦点，根據抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，转化求解即可完成.

解法8 依题意，p=2，p2=1，焦点F（1，0），准线为x=-1，设A（x1，y1）、B（x2，y2），点A、B到准线的距离分别为dA=|AA′|，db=|BB′|由抛物线的定义可知

|AF|=dA=x1+p2=x1+1，|BF|=dB=x2+p2=x2+1，因此，

|AB|=|AF|+|BF|=dA+dB

=（x1+p2）+（x2+p2）

=x1+x2+p=x1+x2+2

直线方程为y=x-1，

联立y=x-1y2=4x，消去y，整理得

x2-6x+1=0，由根与系数的关系x1+x2=6，

于是|AB|=x1+x2+2=6+2=8.

评注 此法只要求出两点A、B的横坐标之和x1+x2，就可以求出弦长|AB|.

6.利用抛物线的焦点弦求解

分析 此解法的关键是直线需经过抛物线的焦点，能求出直线倾斜角α（α≠π2）或其正弦值sinα.

解法9 由于直线经过抛物线y2=4x的焦点F，所以可以由抛物线的焦点弦公式求解.

使用之前，先证明如下：

（1）若直线的倾斜角α=π2，则直线的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径，即|AB|=2p，结论正确.

（2）若α≠π2，则直线的斜率存在，且k=tanα，显然k≠0.

直线l方程为y=k（x-p2），变形得x=yk+p2，

代入抛物线方程中y2=4x，

化简并整理得

y2-2pky-p2=0，

所以y1+y2=2pk，y1y2=-p2，

由弦长公式

|AB|=1+1k2|y1-y2|

=1+1k2·（y1+y2）2-4y1y2

=1+1k2·（2pk）2+4P2

=2P（1+1k2）=2p（1+1tan2α）=2psin2α，原命题得证.

因此，利用焦点弦公式求得

|AB|=2psin2α=2×2sin2π4=412=8.

评注 此解法在高三总复习的一些参考资料上出现过，原则上这种方法做解答题时需要证明结论的正确性才可以使用.不过做选择题或填空题还是比较方便和快捷的.

四、解后反思

这道练习题和相关联的例题是一道容易题，但却是一道好题.它蕴含着丰富的数学思想方法，考查了学生的运算求解能力，数形结合思想，以及化归转化等方法.在平常的解题中，要引导学生运用所学知识，多角度多方位进行思考，从而获取不同的解法.在平时的解题教学中，一定要跳出定势思维的束缚，提倡一题多解，可以从代数方面进行思考和突破，也可以从几何方面入手，运用数形结合来解决.当然，一定要引导学生重视教材，培养学生研究教材的兴趣，让学生清楚地认识到教材的重要性，同时培养学生的探索精神，还能达到触类旁通、举一反三的效果.

参考文献：

[1]廖炳江.求抛物线弦长的一个公式[J].数学教学研究，1999（4）：40-43.

[2]顾志刚.抛物线焦点弦的若干性质

[J].苏州教育学院学报，1998（1）：19-20.

[责任编辑：李 璟]