由一道课本练习题引发的多角度探究
2021-09-10贺凤梅
贺凤梅
摘 要:课本上的习题在一定程度上具有典型性和示范性.作为一线教师,一定要认真解读教材,认真钻研教材,用好教材中的例题及练习题,对其内涵进行挖掘和提炼.通过多角度探究,让学生弄通悟透,培养学生的分析问题和解决问题的能力.
关键词:课本;练习题;多角度;探究
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)10-0033-03
一、问题展示
人教A版数学选修2-1第72页练习第题:过点M(2,0)作斜率为1的直线l,交抛物线y2=4x于A、B两点,求|AB|.
二、总体分析
已知抛物线y2=4x开口向右,对称轴为x軸,2p=4,p=2,即p2=1,其焦点坐标为F(1,0),所给直线l的方程为y=x-2.
本题所求问题比较明确,就是求直线与已知抛物线相交所得弦的弦长问题.可以联立方程,通过两点间的距离公式求解;也可以通过弦长公式求解等.通过研究发现,本题是一道简单题,很基础,但是解题方法灵活多样,可以一题多解.教学中我尝试过引导学生多角度思考和探究,发现了多种解法,以此激发学生的学习兴趣和研究试题的积极性,达到了拓展学生的思维的目的.
三、试题解答
1.利用两点间的距离公式求解
分析 这种解法的的关键是联立直线与抛物线的方程组成的方程组,求出方程组的公共解,即得两交点的坐标,再代入两点间的距离公式求解,便可以得出弦长.
解法1 由已知条件可知直线方程为y=x-2.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),
联立y=x-2,y2=4x,消去,得(x-2)2=4x,
整理得x2-8x+4=0,
由求根公式可得该方程的两实根为x1=4+23,x2=4-23,
从而解得x1=4+23y1=4+23,x1=4-23y1=4-23,
所以A(4+23,
2+23)、B(4-23,2-23),
由两点间的距离公式得
|AB|=[(4+23)-(4-23)]2+[
(2+23)-(2-23)]
=(43)2+(43)2=46.
所以|AB|=46.
解法2 鉴于本题中直线的方程为y=x-2,系数比较简单,也可以消去x,
由x=y+2y2=4x,消去x,得y2=4(y+2),
整理得y2-4y-8=0,
由求根公式可得该方程的两实根为y1=4+23,y2=4-23,
从而得x1=4+23y1=4+23,x1=4-23y1=4-23,
下同解法1求弦长|AB|=46.
评注 解法1和解法2的解题启示是:运用两点间的距离公式求弦长时,根据直线的特点,可以灵活选择消去或消去,当然是以方便求解为原则.这种方法学生比较容易想到,通过此种求解过程,可以锻炼和提高学生的计算能力.
2.利用弦长公式求解
分析 这种解法的的关键是联立直线与抛物线的方程组成的方程组,消去x或者消去y,由根与系数的关系得出两根之和以及两根之积,代入相应的弦长公式,便可以求出弦长.
解法3 由解法1,有x2-8x+4=0,由根与系数的关系得x1+x2=8,x1x2=4,直线斜率k=1,再代入弦长公式
|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
即得|AB|=2·82-4×4
=2·48=46
解法4 同样联立y=x-2y2=4x,
由直线y=x-2方程变形得x=y+2,
代入抛物线y2=4x方程,消去x,得
y2=4(y+2),
整理得y2-4y-8=0,
可知y1、y2是以上关于y的方程的产根,由根与系数的关系得y1+y2=4,y1y2=-8,
代入对应的弦长公式
|AB|=1+1k2|y1-y2|
=(1+1k2)(y1+y2)2-4y1y2
得|AB|=2·42-4×(-8)=46.
评注 解法3和解法4比较而言,学生比较容易想到的是解法3,如果选择使用弦长公式求解,需要给学生讲清楚的是联立方程得到的方程组消元时,同样需要根据直线方程的特点,以方便求解为前提条件.
3.构造直角三角形,由边角关系求解
分析 这种解法的关键是根据题目条件,数形结合,找到直线与抛物线两交点的纵坐标(或横坐标)、弦长以及直线倾斜角之间的联系,在所构造的直角三角形中求解完成.
解法5 由已知条件,直线斜率k=1,所以直线的倾斜角为α=π4,
结合图象可得弦长|AB|=|y1-y2|sinα,
由解法4得
|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2
=42-4×(-8)=43
故可求得|AB|=43sinπ4=46.
.
解法6 结合图象及解法5,可得弦长也可表示为|AB|=|x1-x2|cosα,
由解法3得
|AB|=(x1+x2)2-4x1x2=82-4×4=43
因此,|AB|=43cosπ4=4322=46.
评注 以上两种方法在平时的解题中并不常见,当直线的倾斜角比较特殊时用此法方便快捷.倾斜角如果不特殊,借助于k=tanα(α≠π2,以及平方关系和商数关系求解可得sinα或cosα).
4.利用直线的参数方程求解
分析 这种求解方法的关键是利用直线参数方程的几何意义,当直线参数方程为标准型时,将直线的参数方程中的x和y代入抛物线方程,得到关于t的一元二次方程,借助根与系数的关系(韦达定理),以及|AB|=|t1-t2|,可顺利求解完成解答.
解法7 由条件直线过点m(2,0),倾斜角为α=π4,则直线的参数方程为
x=2+22t,y=22t,(t为参数),
代入抛物线y2=4x方程得(22t)2=4(2+22t),
整理得t2-42t-16=0,
设A、B两点的参数分别为t1、t2,由参数的几何意义得
t1+t2=42,t1t2=-16.
|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2
=(42)2-4×(-16)=46
评注 用此法求弦长时,一定要明确直线参数方程中是否具有几何意义. 若具有几何意义,可直接求解;若不具有几何意义,一定要进行变形,求出具有几何意义的直线参数方程,方可求解.
评析 以上七种解法适合所有直线与抛物线相交求弦长的问题(斜率存在,即倾斜角α≠π2).当然如果直线经过抛物线的焦点,除以上通法外,还可以有以下两种解答方法.
变式 将直线l所经过的点改为(1,0),即经过抛物线的焦点F,这道题就是人教A版选修2-1课本第69页的例4.
现作为解法8和解法9简述如下:
5.利用抛物线的定义求解
分析 此解法的关键是直线经过抛物线的焦点,根據抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,转化求解即可完成.
解法8 依题意,p=2,p2=1,焦点F(1,0),准线为x=-1,设A(x1,y1)、B(x2,y2),点A、B到准线的距离分别为dA=|AA′|,db=|BB′|由抛物线的定义可知
|AF|=dA=x1+p2=x1+1,|BF|=dB=x2+p2=x2+1,因此,
|AB|=|AF|+|BF|=dA+dB
=(x1+p2)+(x2+p2)
=x1+x2+p=x1+x2+2
直线方程为y=x-1,
联立y=x-1y2=4x,消去y,整理得
x2-6x+1=0,由根与系数的关系x1+x2=6,
于是|AB|=x1+x2+2=6+2=8.
评注 此法只要求出两点A、B的横坐标之和x1+x2,就可以求出弦长|AB|.
6.利用抛物线的焦点弦求解
分析 此解法的关键是直线需经过抛物线的焦点,能求出直线倾斜角α(α≠π2)或其正弦值sinα.
解法9 由于直线经过抛物线y2=4x的焦点F,所以可以由抛物线的焦点弦公式求解.
使用之前,先证明如下:
(1)若直线的倾斜角α=π2,则直线的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,即|AB|=2p,结论正确.
(2)若α≠π2,则直线的斜率存在,且k=tanα,显然k≠0.
直线l方程为y=k(x-p2),变形得x=yk+p2,
代入抛物线方程中y2=4x,
化简并整理得
y2-2pky-p2=0,
所以y1+y2=2pk,y1y2=-p2,
由弦长公式
|AB|=1+1k2|y1-y2|
=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2
=1+1k2·(2pk)2+4P2
=2P(1+1k2)=2p(1+1tan2α)=2psin2α,原命题得证.
因此,利用焦点弦公式求得
|AB|=2psin2α=2×2sin2π4=412=8.
评注 此解法在高三总复习的一些参考资料上出现过,原则上这种方法做解答题时需要证明结论的正确性才可以使用.不过做选择题或填空题还是比较方便和快捷的.
四、解后反思
这道练习题和相关联的例题是一道容易题,但却是一道好题.它蕴含着丰富的数学思想方法,考查了学生的运算求解能力,数形结合思想,以及化归转化等方法.在平常的解题中,要引导学生运用所学知识,多角度多方位进行思考,从而获取不同的解法.在平时的解题教学中,一定要跳出定势思维的束缚,提倡一题多解,可以从代数方面进行思考和突破,也可以从几何方面入手,运用数形结合来解决.当然,一定要引导学生重视教材,培养学生研究教材的兴趣,让学生清楚地认识到教材的重要性,同时培养学生的探索精神,还能达到触类旁通、举一反三的效果.
参考文献:
[1]廖炳江.求抛物线弦长的一个公式[J].数学教学研究,1999(4):40-43.
[2]顾志刚.抛物线焦点弦的若干性质
[J].苏州教育学院学报,1998(1):19-20.
[责任编辑:李 璟]