高中数学解题中隐含条件的挖掘

俞梅清

摘 要：在高中数学解题中，学生能否挖掘和利用数学题中的隐含条件，影响到了数学解题的正确性和合理性.然而，并非所有的学生都能准确、快速地挖掘数学题干中的隐含条件，致使解题的准确率有所下降.因此，本文将结合高中数学有关内容，就如何引导学生挖掘数学题中的隐含条件展开如下研究.

关键词：高中数学;隐含条件;解题;研究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0020-02

通常学生容易忽略数学题中的隐含信息，导致无法迅速寻找到题目中的关键线索以及问题解决思路，进而促使解题效果不乐观.为了引起学生对数学题中隐含条件的重视，本文将重点分析高中数学解题中隐含条件的挖掘方法，使得学生意识到隐含条件的重要性.

一、在高中数学几何问题中挖掘隐含条件学生若懂得将隐含在几何问题中的条件挖掘出来，这样往往可以迅速为解题提供关键的线索与条件，从而可以顺利地寻找出几何问题的解决思路，进而收到事半功倍的解题效果.对于一些非常规思路的解题方式，往往需要更多的条件，包括题干中的显性条件以及隐含条件，而隐含条件则需要学生对题目进行再进一步的分析，同时也需要教师给予适当的提点，以让学生养成挖掘题目隐含条件的习惯与意识.

那么从下面这道高中数学几何问题为例：

已知椭圆

x245+y220=1的焦点为F1和F2.经过原点O，作直线和椭圆相交于AB两点，若△ABF2的面积为20，请求出直线AB的方程.

解题分析 当学生拿到这道关于椭圆的几何问题时，应该对题目进行详细地阅读，以了解和掌握题目中的基本信息，如题目中的已知条件：椭圆x245+y220=1、△ABF2面積为20、经原点作直线等.在基本认知题目中的已知条件后，通常很多学生会想到运用设直线AB方程为y=kx（k≠0），再将题目中的椭圆方程代入进去，从而计算出直线AB的绝对值，最后使用F2点到直线AB距离进行有关的求解.虽然学生可以通过一系列的计算来解答出直线AB的方程，但是这会花费学生较多的计算时间，也容易让学生在计算中出现偏差，从而导致解题的失误.比方说，题目中的直线过原点O交于椭圆A、B两点，那么可以利用这个条件将AF1与BF2相连接，就可以获知四边形AF1BF2是一个平行四边形的隐含条件，另外也得到△AF1F2也为20的又一隐含条件，这样学生就可以更加简单地解答出几何问题，而不容进行过多的复杂计算.

解题过程：设A点坐标为（x1，y1），由椭圆方程得知c2=a2-b2=25，所以c为5.

又∵|F1F2|=2c=10，

∴S△ABF2=S△AF1F2=|F1F2|-|y1|，

∴12×10×|y1|=20，以此得知y1=4（y1>0）.

又∵A点位于椭圆之上，

∴x245+1620=1，从这个式子中，得到x1=±3.

所以，直线AB的斜率就是k=±43，这样学生就可以得到直线方程AB为y=±43x.

解题反思 通过对几何问题中的隐含信息分析与挖掘，能够为几何问题的解答挖掘到关键的隐含条件，从而迅速寻找到解题的思路与路径，进而提升解题的效率以及准确性.因此，当学生遇到几何问题时，不仅要关注到题目中的已知条件，还应该懂得结合多元化的解题思维，挖掘更多能够使用的隐含条件，以支撑起新的解题方法，从而将挖掘到的隐含几何条件转化为解题的重要线索.

二、在高中数学代数函数求极值问题中挖掘隐含条件

极值问题也是高中数学考试中比较常见的数学问题，但是一些求极值问题所给的已知条件比较少，甚至一些题目只给一个函数等式，就要求学生进行最大最小值的求解，而学生阅读题目之后会感觉到无从下手、毫无思绪，不知道该从什么角度进行问题的解答，从而陷入了解题的僵局.其中，教师仍可以从挖掘题目隐含条件的方式，引导学生从现有题目中挖掘隐含的条件信息，从而为解题提供更多可用条件，并将条件作为线索，进行代数求极值问题的解答.

如下例题：请求函数y=x-1+5-x的最大最小值.

解题分析 对于上述这道代数函数求极值问题中，很多学生会感觉到难以入手，甚至有些学生放弃作答问题，而如果学生能够挖掘其中隐含的信息条件，就可以打开解题思维，寻找到解题的路径.首先，从题目中，学生可以将注意力集中到自变量x，并且结合题目中的函数，得出自变量x的取值范围为1≤x≤5.然后，根据1≤x≤5这个隐含在题目中的条件，学生就将这道看似毫无头绪的代数函数求极值问题转化为三角函数有关问题，从而结合三角函数知识进行问题的解答.

解题过程 由x-1≥0和5-x≥0，得到函数定义域为1≤x≤5，那么0≤x-1≤4，∴令x=4sin2θ+1（0≤θ≤π2），以此得知y=2sinθ+2cosθ=22sin（θ+

π4），

进而得到函数y的最大最小值为22和2.

解题反思 通过对上述求极值问题中的隐含条件挖掘，能够让学生找到有效地解题路径，促使学生可以快速地解答出问题.可是，如果学生没有找到题目中的关键突破口，就很难寻找到隐含条件，如本题中的关键突破口就是自变量x，它看似不起眼，可就是它成为该道问题的解题关键线索.

三、在高中数学数列问题中挖掘隐含条件

教师可以结合学生日常错解进行分析，从而让学生意识到自己是哪里开始出现解题的偏差，并在此基础之上，帮助学生了解错因并重新审题，以将题目中遗漏的信息重新挖掘出来，进而引导学生寻找到更为关键的题目隐含条件.

如下面这道数列问题：已知数列{an}的前n项之和为①Sn=2n2-n;② Sn=n2+n +1，请求出数列{an}的通项公式.

解题分析 在解答过程中，学生往往在数列概念理解上出现错误，从而进行错误的解答，如将①an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3;

②an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

学生出现上述解答的错误，主要是仅关注到了题干中的①Sn=2n2-n;②Sn=n2+n+1 ，并顺理成章的利用an=Sn-Sn-1的关系进行问题的解答，却没有注意到a1=S1的隐含条件信息，从而解答出错误的答案.因此，学生应该懂得挖掘题目中的数列关系，将存在的a1=S1的隐含条件挖掘出来，才能真正的求出{an}的通项公式.

解题过程 ①当n=1时，a1=S1=1

当n≥2时，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3 ，经检验得

n=1时，a1=1，也适合，

∴an=4n-3

②当n=1时，a1=S1=3当n≥2时，

an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n

∴an=32n （n=1）（n≥2）

解题反思 可见，在这道数列问题中，如果学生忽略了a1= S1的隐含条件信息，就无法正确解答出数列{an}的通项公式，这与学生是否认真读题、是否真正掌握数列概念有关.所以，在实际解答问题的过程中，学生即要树立全面的解题思维，还要认真掌握有关的数学概念，从而利用数学概念来帮助自己寻找到题目的关键隐含信息，进而挖掘出可用的解题隐含条件，最终正确、全面的解答出问题的答案.

综上所述，隐含条件是高中数学解题中的一个不容忽视的条件，而学生即要懂得挖掘又要懂得利用，才能发挥出隐含条件的作用，进而将隐含条件转化为解题的关键线索.因此，教师仍要注意培养学生挖掘数学题目中隐含条件的能力.

参考文献：

[1]汤佳仪.高中数学解题中隐含条件的挖掘途径[J].高考，2019，2（3）：35.

[2]郑昭霞.高中数学解题中隐含条件的分析与应用探讨[J].中学课程辅导，2016，10（33）：92.

[3]钱玮.挖掘数学隐含条件，找到解题突破关键[J].数学学习与研究，2019，12（31）：129.

[责任编辑：李 璟]