同角函数多姿多彩 平方关系魂牵梦萦

杜龙安 陈国林

摘 要：三角恒等变换公式繁多，内容繁杂，要想熟练掌握各个公式的变换，首先必须掌握同角三角函数的商数关系和平方关系.

关键词：同角函数;平方关系;商除关系

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0007-03

同角三角函数的基本关系主要包含商数关系：tanα=sinαcosα（α≠kπ+π2，k∈Z）和平方关系：sin2α+cos2α=1（α∈R），商数关系能够将正切函数、正弦函数和余弦函数建立等式关系，实现弦切互化，平方关系对任意的角度都成立，这两个基本关系是解决恒等变换的必要公式.

一、真题再现

例题 （2015福建卷）若sinα=-513，α为第四象限角，则tanα的值等于（）.

A.125 B.-125 C.512 D.-512

解析 解法一 因为sinα=-513，α为第四象限角，所以cosα=1-sin2α=1213，故tanα=sinαcosα=-512.

解法二 通过画直角三角形

先不考虑象限对三角函数的影响，由sinα=-513，可知直角三角形的另一直角边为12，故tanα=512，下面考虑tanα值的正负，因为α为第四象限角，所以tanα=-512

二、真题变式

变式1 若tanα=512，α为第三象限角，则cosα的值等于（）.

A.-1213 B.-513 C.513 D.1213

解析 因为tanα=sinαcosα=512，sin2α+cos2α=1，解得cosα=±1213，又α为第三象限角，所以cosα=-1213.

变式2 若tanα=-12，且cosα<0，则sin（π+α）=（）.

A.-55 B.-255 C.55 D.255

解析 ∵tanα=-12，∴α为第二或第四象限角，又cosα<0，∴α为第二象限角，

由sinαcosα=-12sin2α+cos2α=1，解得sinα=55cosα=-255.

∴sin（π+α）=-sinα=-55.

变式3 若tanα=512，则2sinα-3cosα4sinα-9cosα=.

解析

2sinα-3cosα4sinα-9cosα=2tanα-34tanα-9=2×512-34×512-9=-1344

变式4 若sinα+cosα=15，α∈（-π，0），则sinα-cosα=.

解析 由sinα+cosα=15，

平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=125，

整理得2sinαcosα=-2425.

∴（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=4925.

由α∈（-π，0），知sinα<0，

又sinα+cosα>0，

∴cosα>0，则sinα-cosα<0，

故sinα-cosα=-75.

三、解法归纳

1.同角三角函数关系式应用的注意事项

（1）同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2+cos2α2=1，sin3xcos3x=tan3x（3x≠kπ+π2，k∈Z）都成立，但是sin2α+cos2β=1就不一定成立;

（2）對于含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.

2.同角三角函数关系式的方程思想

对于sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα，体现了方程思想的应用.

四、针对演练

1.若tanα=3，则sin2αcos2α的值等于（）.

A.2B.3C.4D.6

解析 sin2αcos2α=

2sinαcosαcos2α=2tanα=2×3=6.

故选D.

2.（多选题）若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是（）.

A.tanα=-sinαcosαB.1-2sinαcosα=sinα-cosα

C.cosα=-1-sin2αD.1+2sinαcosα=sinα+cosα

解析 由同角三角函数的基本关系式，知tanα=sinαcosα，故A错误;

因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以sinα-cosα>0，sinα+cosα的符号不确定，所以1-2sinαcosα=（sinα-cosα）2=sinα-cosα，故B、C正确，D错误.

故选：BC.

3.（2013华侨、港澳台高考）已知tanx=2aa2-1，其中常数a∈（0，1），且x∈（0，π），则cosx=（）.

A.-2aa2+1 B.2aa2+1 C.a2-1a2+1 D.-a2+1a2+1

解析 ∵tanx=2aa2-1<0，其中0<a<1，x∈（0，π），

∴x 为钝角，

又cos2x=1sec2x=11+tan2x=（a2-1）2（a2+1）2，

∴cosx=a2-1a2+1，故选C.

4.（2021届宁夏银川一中月考）1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin、tan、sec（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos、cot、csc（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中secθ=1cosθ，cscθ=1sinθ.若α∈（0，π），且3cscα+2secα=2，则tanα=（）.

A.513B.1213C.0D.-125

解析 由3cscα+2secα=2，得3sinα+2cosα=2，

又sin2α+cos2α=1，

联立解得sinα=0cosα=1（舍）或sinα=1213cosα=-513，

∴tanα=sinαcosα=-125.故选D.

5.（20201届黑龙江实验中学月考）已知tanα=2，则sin2α-cos2α+12sin2α+cos2α等于（）.

A.89 B.119 C.67 D.47

解析 ∵tanα=2，sin2α+cos2α=1，

∴sin2α-cos2α+12sin2α+cos2α=2sin2α2sin2α+cos2α=2tan2α2tan2α+1=2×222×22+1=89.

故选A.

6.（2018华侨、港澳台高考）已知α为第二象限的角，且tanα=-34，则sinα+cosα=（）.

A.-75 B.-34 C.-15 D.15

解析 tanα=sinαcosα=-34，①

sin2α+cos2α=1，②

又α为第二象限的角，

∴sinα>0，cosα<0，

联立①②，解得sinα=35，cosα=-45，

则sinα+cosα=-15.

故选C.

7.（2020云南昆明一中月考）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=3x上，则cosα+sinαcosα-sinα=（）.

A.-2B.-1C.1D.2

解析 由已知可得，tanα=3，则cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=1+31-3=-2.

故选A.

8.（2021届重庆八中段考）已知α∈（π，2π），tanα=-34，则cosα=.

解析 ∵α∈（π，2π），且tanα=-34，∴α∈（32π，2π），则cosα>0，

由sinαcosα=-34sin2α+cos2α=1，解得sinα=-35，cosα=45.

参考文献：

[1]彭树德.“新教材解读”之（11）——三角恒等变换[J]. 数学通讯：教师阅读， 2009（06）：1-4.

[2]陳国林.解决三角恒等变形问题六种法则[J].教学考试，2017（38）：51-53.

[责任编辑：李 璟]