位形概念对“理论力学”课程的重要性

谢华

摘    要：刚体位形是“理论力学”课程知识体系的基础概念，运动方程是在此基础上引出的关键问题。传统教材学生求解微分方程，仅限于求解速度、加速度等瞬态量，学生没有位形概念，不利于其后续课程的学习。为改变这一现状，文章提出教学应围绕位形概念和运动方程展开，在运动学、动力学甚至静力学部分均应联系位形概念，并增加求解运动方程的内容，注重知识的系统性和相关性，从而提高教学效果。

关键词：位形;运动方程;理论力学

中图分类号：G642          文献标识码：A          文章编号：1002-4107（2021）07-0078-02

“理论力学”是航天航空、机械和土木等众多工科专业的基础课程。国内“理论力学”课程教学多采用哈尔滨工业大学体系[1]，特点是内容由浅入深，从静力学开始，再进入到运动学和动力学，强调概念的物理意义，以理解为主;运动学、动力学以瞬态分析为主，运动学主要学习刚体两点瞬态速度、加速度关系以及点的速度、加速度瞬态合成等问题。无形中忽略了运动分析的一个关键，即运动方程的问题。而运动方程的概念与研究对象的位形描述密切相关，对学生学习理解后续课程意义得大，因此，笔者在“理论力学”教学中，有意识地强调位形概念和运动方程问题，并将其贯穿于整个教学过程，取得了较好的教学效果。

一、位形是“理论力学”的基础概念

（一）“理论力学”知识体系围绕位形概念展开

“理论力学”研究对象是质点及质点系的机械运动。首要问题就是对研究对象瞬态样子的描述，对课程的一个主要研究对象刚体来说，通过位置和姿态来确定刚体的空间样子，即刚体的位形。刚体位形随时间的变化规律即运动方程，这是“理论力学”研究的一个核心问题。

位形概念是由运动学部分引出的，并随即得到刚体的运动方程。以平面运动刚体为例，如图1所示，在固定坐标系上可以确定平面运动刚体上任意方向一点A的位置，BC为刚体上任意一条线，其与固定方向x方向之间的夹角φ确定，这样刚体的位形确定，确定A点位置需要两个坐标（位置坐标），加上角度φ（姿态坐标），构成平面运动刚体的位形坐标。其随时间变化的关系形成运动方程xA=f1（t），yA=f2（t），φ=f3（t）。

动力学是“理论力学”教学内容的核心，动力学方程与位形概念密切相关。以平面运动刚体运动微分方程为例，mαcx=∑Fx mαcy=∑Fx Jcα=∑mc（F），与运动方程相似，也是3个方程，反映了力与质心运动和力与刚体转动之间的关系，也就是力与刚体位置和姿态变化的关系。前面两个定理即动量定理，表达的是力与刚体位置变化的关系，位置坐标可以用刚体上任意一点，但质心位置与力的数学关系最为简单，故比较多采用质心来确定刚体位置。第三个是动量矩定理，动量矩定理表达了力与刚体姿态变化的关系，不同矩心方程可能不同，同样选择质心其方程比较简单。静力学是动力学的特殊情况，平面问题静力学方程同样是3个，以一矩式为例∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑mc（F）=0，实际上从平面运动刚体的运动微分方程中，直接令加速度和角加速度等于0即得。当然，此时由于矩心均为定点，故矩心实际可任意选择。同样是动量定理和动量矩定理对于位置和姿态的控制的特殊情形。因此，静力学方程本质上也与位形概念相關。由于静力学各点固定，由动力学固定点动量矩定理，其矩心确实可以任选。

（二）位形概念是“理论力学”与中学运动学知识区别的关键

“理论力学”研究质点、质点系的运动规律，中学阶段已经涉及不少，但中学阶段的学习主要以质点为主，即便是研究物体，也是把它看成一个质点，而对于质点系，比较典型的如一个刚体，其运动分析与质点的本质区别就在于刚体上各个质点的轨迹速度、加速度都可以不一样，并没有所谓物体的速度、加速度这样的概念（平动刚体除外）。但只需确定刚体位形即一个点的运动和一个角度及其变化，其余每个点运动就都确定了，其中形即姿态，是刚体运动学表达的关键，也是区别于质点运动学表达的关键，同样也是学生从中学知识过渡到“理论力学”的一个难点，需要教师首先重点明确刚体位形的概念，才能完成从中学知识的过渡。

二、教学过程中注意强调位形概念

（一）教学内容应围绕位形概念，注意完整性和相关性

目前国内高校较多使用哈尔滨工业大学理论力学教研室编写的《理论力学》教材，其体系安排是按照静力学、运动学和动力学顺序，其优点是由简单到复杂，但通常多数学生进入运动学后感觉难以适应，效果并不好。而国内一些比较新的教材如清华大学李俊峰编写的教材是首先讲述运动学，然后讲述静力学和动力学，先通过运动学提出刚体位形的概念，动力学实际是力与位形变化的关系，静力学是动力学的一种特殊情况，相对是比较合理的[2-3]。

使用传统教材应特别注意知识之间的关系，首先在运动学部分，刚体位形的概念和运动方程必须重点讲清楚，从而明确运动方程的概念。在讲述动力学方程时，应与位形概念相联系，即动力学微分方程本质就是力与刚体运动变化，即刚体位形变化的关系。也应注意与动力学方程相比较，静力学是其特殊情况。工程中确实存在大量静力学问题，特别是对于土木大类，静力学问题是其主要的研究内容，故将静力学独立列出是有道理的，但应该注意静力学和动力学之间的联系，以及与位形控制的关系。

（二）例题和习题安排应强调运动方程的建立和求解

对于传统“理论力学”教材，在运动学部分强调瞬态分析，特别缺乏关于位形的练习，笔者认为应增加建立运动方程的练习。如下题：如图2所示纯滚动圆轮，半径为R，沿直线向右做纯滚动运动，轮心A的速度：v0 = 常数。试求圆轮的平面运动方程。实际上，只需选择轮心A作为基点，t时刻其坐标为xA=v0t，yA=R=常数，再选刚体上任意一条线段如A0B0，经过t时间后转过的角度φ=     =     ，三个方程形成刚体的运动方程。通过这种简单的例子，让学生对于刚体的位形概念有深刻的认识。

动力学部分题目如图3（a）所示，复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是m，重心 C 到转轴O的距离 OC = b，复摆对转轴O的转动惯量是JO，设摆动开始时OC与铅直线的偏角是φ0，且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不计。

三、注重位形概念的理解有利于学生学习

（一）位形概念有助于解决学生学习的两个难点

由于与中学知识部分重复，导致学生在课程学习中对一些概念认识不清，其中角速度概念是一个典型。容易把物体角速度、角加速度理解成一个点的角速度和角加速度。如前所述，位形概念中形即姿态，对于平面运动即刚体上任一条线与一个不变方向的夹角，其变化率即角速度（平面运动），角速度的变化率即二维运动的角加速度。显然，从姿态的概念出发角速度、角加速度不是定义在一个点上的，至少是一条线才谈得上角速度。又由于相同时间内同一刚体上不同线转过的角度相等，故角速度、角加速度实际是刚体的概念，即同一瞬时刚体角速度、角加速度是唯一的。这样从姿态角出发引出的角速度、角加速度概念易于接受，也不会产生哪个点的角速度的说法，圆周运动的角速度本质是点和圆心连线的角速度。

课程学习的另一个难点是错把点的速度、加速度落到物体上，形成所谓物体的加速度。在位形的概念中，位置实际上是刚体上某个点的坐标，这个点是可以任意选择的，但不同点位置显然是不一样的，故必须明确哪个点。在动力学中，力与刚体位置变化的关系，同样应该是力与刚体上某个点的位置变化的关系，不存在力与刚体加速度的关系。如果在运动学部分学生透彻理解了位置坐标是某个点的坐标概念，就不会产生刚体加速度这样的错误认识。

（二）有利于学生后续学习的衔接

“理论力学”后续内容中的一个重要部分是三维刚体运动学和动力学，而三维刚体运动方程也是二维运动位形概念向三维的发展，即需要3个坐标描述1个点的位置，3个姿态角描述刚体姿态，当然，关于角速度的概念会复杂很多。另外，多刚体运动学和动力学、机器人运动学和动力学中位形的概念也是基礎概念，从理论力学二维运动分析开始就强调位形的概念，必然有利于学生后续的学习和研究工作的开展[4-5]。

参考文献：

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].北京：高    等教育出版社，2016：9.

[2]李俊峰，张雄.理论力学[M].北京：清华大学出版社，2010：8.

[3]洪嘉振，杨长俊.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2008：1.

[4]刘延柱，潘振宽，戈新生.多体系统动力学[M].高等教育出    版社，2014：7.

[5]蔡自兴.机器人学基础[M].北京：机械工业出版社，2015：10.