Aw-Rascle交通模型的初值问题

张得霞,潘丽君

(南京航空航天大学理学院,江苏 南京 211106)

本文研究Aw-Rascle(AR)交通模型[1]

(1)

其中,ρ≥0,v≥0,p(ρ)分别表示t时刻x位置处的汽车密度、速度和压力。2000年,AW和RASCLE建立了上述模型,它修正了由DAGANZO[2]提出的二阶模型在交通流中存在的问题。 AR模型是描述单向道路的交通流模型,常用来解释交通拥堵等现象[3],有关AR模型的研究,可参考文献[1,4-5]。

对于AR模型,AW和RASCLE提出压力项p=ργ,γ>0。 最初,CHAPLYGIN[6]、TSIEN[7]和VON KARMAN[8]用压力

p=-ρ-1

(2)

来近似飞机机翼的上升力。 2013年,PAN和HAN[9]采用状态方程

(3)

研究AR模型的初边值问题。 SHAO和HUANG[10]采用分离delta函数法研究模型(1)和(2)的相互作用问题。 需注意到,文献[9-10]中都出现了delta解。 Delta激波具有超压缩性,能够描述车辆的汇聚过程,解释交通的某些极端情形[11]。 关于delta激波的研究可参考文献[4,12]等。 本文将文献[9]的方程(3)推广到更一般形式

(4)

其中A为任意常数,B>0。我们将构造出模型(1)和(4)的黎曼解,并分析当A→0时,黎曼解的渐近性态。 此外,讨论AR模型的相互作用问题。

本文安排如下:在第1节中,介绍模型(1)和(4)的基础知识,求解模型的黎曼问题

(v,ρ)(x,0)=(v±,ρ±),±x>0,

(5)

其中常数v±,ρ±>0。在第2节,采用特征分析的方法,研究AR模型初值为三片常数的相互作用问题,得到了4种不同结构的解。

1 带有Chaplygin项的AR模型的黎曼解

这一节,主要讨论模型(1),(4)和(5)的黎曼问题。将式(4)代入方程组(1)得

方程组(6)的特征值及特征向量为

(7)

接下来求有界间断解ξ=σ。方程组(6)的Rankine-Hugoniot条件为

(8)

其中[ρ]=ρ+-ρ-,求解得到接触间断J,接触间断压缩波S(简称压缩波S),

J(v-,ρ-):v=v-=σ,

(9)

(10)

由式(7)和(10)知,稀疏波曲线与压缩波曲线重合。

将曲线(7),(9)和(10)在(v,ρ)平面表示出来。平面被分为3个区域:

III={(v,ρ)|v>v-}。

根据右状态(v+,ρ+)的位置,下面构造黎曼问题(5)和(6)唯一显式整体解。

但是,如果(v+,ρ+)∈I,此时方程组(6)的黎曼问题具有如下形式的delta解

(11)

其中,x(t),vδ(t)∈[0,∞),δ(·)表示delta测度。x(t),vδ(t),ω(t)分别表示Sδ波的位置、速度和权。测度解(11)满足下面的广义Rankine-Hugoniot条件,

(12)

(13)

只证明式(13)的第二个等式,第一个等式可以类似证明。

(ρv2+Aρv-Bv)φx)dxdt=

((ρv2+Aρv-Bv)φ)x)dxdt-

(ρv2+Aρv-Bv)x)dxdt+

((ρv2-Bv)φ)x)dxdt+

求解带有如下初值的常微分方程组(12),

x(0)=0,ω(0)=0,

(14)

得到

(x(t),vδ(t),ω(t))=

(15)

(x(t),vδ(t),ω(t))=

(16)

可以发现

通过计算有

因此,(v+,ρ+)∈I时,黎曼解为(v-,ρ-)+Sδ+(v+,ρ+)。综上我们得到:

定理1 黎曼问题(5)和(6)存在唯一的显式黎曼解,且当式(11)中A→0时,黎曼解的结构保持不变。

注1我们将状态方程(3)推广为(4),但AR交通模型黎曼解结构不发生变化。

2 波的相互作用

这一部分主要研究模型(6)和(4)的三片常数的初值问题,

(17)

其中ε为任意给定常数。

根据从(-ε,0)和(ε,0)处发出的接触间断与delta激波的类型,将情况分为以下几种,其中我们只对ρ+≠ρ-的情况进行详细分析,ρ+=ρ-情况类似讨论。

通过前一部分的分析可以知道,若t足够小,初值问题(6)和(17)的解结构为

(v-,ρ-)+Sδ1+(vm,ρm)+Sδ2+(v+,ρ+)。

Delta激波Sδ1和Sδ2的速度分别为vδ1,vδ2,且

其中

ωδ1(t)=

ωδ2(t)=

由于vδ1>vδ2,那么在一定时间内,Sδ1会追上Sδ2,交点(x1,t1)满足

(18)

x(t1)=x1,ω(t1)=β(t1),vδ(t1)=vδ0。

(19)

其中,

β(t1)=ωδ1(t1)+ωδ2(t1),

显然vδ2

(20)

综上讨论,当t>t1时,问题(6)和(17)解的结构为(v-,ρ-)+Sδ3+(v+,ρ+),如图1所示。

图1 两个delta激波发生相互作用

注2Delta激波Sδ1,Sδ2的传播速度为常速,但delta激波Sδ3的传播速度为变速。

当t很小时,问题(6)和(17)解的结构为

(v-,ρ-)+S1+(v1,ρ1)+

J1+(vm,ρm)+Sδ1+(v+,ρ+)。

(21)

综上所述,当t1t2时,初值问题(6)和(17)的解为(v-,ρ-)+Sδ3+(v+,ρ+),如图2(a)所示。

图2 接触间断与delta激波发生相互作用

(v-,ρ-)+S1+(v1,ρ1)+

S2+(v2,ρ2)+J2+(v+,ρ+)。

当t很小时,问题(6)和(17)的解为

(v-,ρ-)+S1+(v1,ρ1)+J1+(vm,ρm)+

S2+(v2,ρ2)+J2+(v+,ρ+)。

wave

图3 两个接触间断发生相互作用

当t很小时,相互作用问题(6)和(17)的解结构为

(v-,ρ-)+Sδ1+(vm,ρm)+S1+

(v1,ρ1)+J1+(v+,ρ+)。

通过上述讨论,得到了delta激波与接触间断以及接触间断之间相互作用的结果,结论如下:

定理2 相互作用问题(6)和(17)存在唯一的整体显式解,delta激波与接触间断相互作用后会导致delta激波的速度由常速变为变速。