关于有限群的循环子群的注记

史江涛,任惠瑄

(烟台大学数学与信息科学学院, 山东 烟台 264005)

1 概 述

循环子群是有限群中一类非常重要的子群, 它是可以由一个元素生成的特殊的交换子群。 文献[1]定理6.8指出: 设G是n阶群, 如果(n,φ(n))=1, 则G循环, 这里φ(n)是正整数n的欧拉函数。 文献[2]习题1.4.3有下述结论: 设G是有限群, 假设|{x∈G|xn=1}|≤n,∀n∈, 那么G是循环群。作为此结论的推广, 在本文中我们证明了下述定理1成立, 证明见第2部分。

定理1设G为有限群,若G的每个循环子群H都满足: 对任意x∈GH都有o(x)不整除|H|, 则G是循环群。

显然,文献[2]的习题1.4.3是上述定理1的一个直接推论。

设G为有限群,A为G的子群,CG(A)表示A在G中的中心化子,NG(A)表示A在G中的正规化子。文献[3]研究了每个极小子群皆正规的有限群的结构, 这样的群称为PN-群。 在文献[4]中我们用初等方法证明了: 设G为有限群,若对每个极小子群X均有NG(X)循环, 则G循环。 作为这些结论的进一步推广, 在本文中把极小子群的正规性和具有循环的正规化子结合起来考虑, 得到了定理2, 证明见第3部分。

定理2设G是有限群,G′为G的导子群。 若对G′的每个极小子群X都有或者X正规于G或者NG(X)循环, 则或者G′为2-群,或者对于|G′|的任意奇素因子p都有G′为p-幂零。 特别地,G可解。

需要说明的是, 定理2中的群G不一定超可解。 例如, 24阶特殊线性群SL2(3)只有2阶和3阶的极小子群, 其中2阶极小子群是正规的, 每个3阶极小子群的正规化子是6阶循环群, 但SL2(3)是非超可解的。

如果假设G是幂零群,类似定理2的证明中的讨论,易得下述定理3成立,本文省略证明。

定理3设G是幂零群,p为|G|的素因子。 若对G的每个p阶极小子群X都有或者X正规于G或者NG(X)循环, 则必有X≤Z(G)。

下述结论是定理2的一个直接推论。

推论1设G是有限群, 若对G′的每个极小子群X都有或者X正规于G或者NG(X)循环, 则G′=[P]M,其中P∈Syl2(G′)且P正规于G′,M为G′的奇数阶幂零Hall-子群。

在文献[5]定理2.6中我们利用极小子群的中心化子和正规化子给出了循环群的一个等价刻画:设G为Sylow子群皆循环的有限群, 则G循环当且仅当对每个极小子群X均有CG(X)=NG(X)。在文献[6] 定理1.3中我们证明了:设G是有限群,p为|G|的最小素因子, 若对G的每个非循环p-子群A均有A=NG(A)或A正规于G,则G可解。 下面给出文献[5]定理2.6的一个改进, 证明见第4部分。

定理4设G是有限群, 若对G的每个极小子群X均有CG(X)循环且CG(X)=NG(X), 则G循环。

本文符号都是标准的, 见文献[1]。

2 定理1的证明

证明设G是极小阶反例。 令K是G的任意真子群, 对于K的每个循环子群H, 对任意x∈KH, 当然有x∈GH。 由题设有o(x)不整除|H|, 说明题设条件对G的每个真子群都成立, 则由G的极小性有G的每个真子群都循环。

如果存在G的循环真子群H使得H不正规于G, 说明存在g∈G使得Hg≠H, 则Hg∩H

若G恰有一个极大子群, 则显然有G是循环群, 与假设矛盾。

下设G至少有2个极大子群, 令H1和H2是G的任2个极大子群且H1≠H2。 如果|H1|=|H2|, 因为H1≠H2, 有H1∩H2

下设|H1|≠|H2|。 注意由极小阶反例的假设有H1和H2循环, 从而由上述讨论, 知H1正规于G和H2正规于G。 因为H1和H2都是G的极大子群, 则有|G:H1|=p,|G:H2|=q,p和q是两个不同的素数。 令|H1|=h1,|H2|=h2,h1≠h2, 则|G|=h1p=h2q。 设h1=l1pα, 其中(l1,p)=1,α≥0。 由h1p=h2q且(p,q)=1, 知pα+1|h2但pα+2不整除h2。 设h2=l2pα+1, 其中(l2,p)=1。 因为H1和H2都循环, 令H1=,H2=。 令K1=, 则|K1|=l1。 令K2=, 则|K2|=pα+1。 令c=apabl2,由K1正规于G和K2正规于G, 有(apα)-1(bl2)-1apαbl2∈K1∩K2。因为(|K1|,|K2|)=1,得K1∩K2=1。 于是(apα)-1(bl2)-1apαbl2=1, 得apαbl2=bl2apα。 进而因为(|K1|,|K2|)=1, 有o(apαbl2)=l1pα+1=h1p=|G|。 得G=是循环群, 与假设矛盾。

综上, 极小阶反例不存在, 故G是循环群。 证毕。

3 定理2的证明

证明如果G′不是2-群, 令p为|G′|的任一奇素因子。 分两种情形:

(1) 假设存在G′的某个p阶极小子群X使得X不正规于G。 由题设条件知NG(X)循环。 设P∈Sylp(G)使得X≤P, 有Np(X)=P∩NG(X)循环。 若Np(X)

(2) 假设对于G′的每个p阶极小子群X都有X正规于G。 由N/C定理[1],G/CG(X)=NG(X)/CG(X)≤Aut(X)为循环群,得G′≤GG(X)。 于是X≤CG(G′)。 从而X≤G′∩CG(G′)=Z(G′), 即G′的每个p阶极小子群都包含于Z(G′)。 由It引理[7]关于内p-幂零群的结构性质, 可得G′为p-幂零。

综上, 得或者G′为2-群或者对于|G′|的任一奇素因子p都有G′为p-幂零。

下证G是可解的。 设G是极小阶反例, 题设条件对G的每个真子群都成立, 则G是极小非可解群。 令Φ(G)为G的Frattini子群, 则G/Φ(G)为极小非交换单群。于是(G/Φ(G))′=G/Φ(G), 即G′Φ(G)/Φ(G)=G/Φ(G)。 得G′Φ(G)=G, 故G=G′。 因为G为非可解群,则|G|至少含2个不同的素因子。 由G=G′知|G′|必含奇素因子。 根据上述讨论, 对于任意奇素数p||G′|, 此时G=G′为p-幂零。 从而G/Φ(G)为p-幂零, 即G/Φ(G)有非平凡的正规p-补, 这与G/Φ(G)是极小非交换单群矛盾。 故极小阶反例不存在, 说明G可解。 证毕。

4 定理4的证明

证明设P为G的任一Sylow子群, 先证: 如果对于P的任一极小子群X均有Gp(X)循环, 则P循环。

设P为极小阶反例,上述条件假设对P的每个真子群都成立,则P是内循环群, 即P非循环但P的每个真子群都循环。 于是P至少含两个不同的极大子群。 不妨设P1和P2是P的两个不同的极大子群, 则P1和P2都正规于P。 因为P非循环, 则P1>1,P2>1。令X是P1的一个极小子群, 由假设知Cp(X)循环。 于是有P1≤Cp(X)

由上讨论知G为Sylow子群皆循环的群, 于是由文献[5]定理2.6知G循环。 证毕。