初中数学思想方法的意蕴及其在教学中的培养

2021-07-11方海宁

中学教学参考·理科版 2021年6期

方海宁

[摘要]学习掌握数学知识及其蕴含的数学思想方法，在义务教育课程标准中有明确的要求.初中数学思想方法主要有整体思想、转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，教师要站在初中数学知识全局的角度把握其中的思想方法体系，备课环节精心做好谋划，有意识地把数学思想方法渗透融入教学中，引导学生在掌握知识点的基础上融会贯通，熟练运用数学思想方法，不断提升数学素养.

[关键词]数学思想方法;培养;初中数学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）17-0022-03

数学是义务教育课程体系中非常重要的一门学科，它对于培养学生的逻辑思维能力、发展与完善认知结构、提高数学素养具有其他学科不可替代的独特作用.在初中数学教学中，经常碰到学生“课堂讲解题听得懂，课后练习解不出”的现象，以至于考查区分度拉开明显.主要症结在于没有真正理解和掌握数学知识背后蕴含的数学思想方法.因此，初中数学教师既要重视基础知识的教学，又要渗透融入知识体系中蕴含的数学思想方法，深刻分析教学中融入各知识点的路径方式，引导学生提炼概括、在学思践悟中融会贯通，熟练掌握运用数学思想方法.

一、初中数学的思想方法

（一）数学思想方法的内涵

数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识.它是对数学理论概念、定理、公式、法则等以及数学事实的本质认识，是对数学知识本质及其规律性的深化，是对数学知识的融会贯通和升华.数学思想方法可分为三个层次：一是数学基本方法.如换元法、消元法、待定系数法、公式法、配方法、归纳法、反证法等，是较为常见的方法;二是数学思维方法.如类比、代换、抽象、概括等，需要加强领悟才能运用自如;三是数学思想.如方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、极限思想等，是更高层次的具有全局性的思想与观点.

（二）初中数学主要的思想方法

綜观近年初中阶段的考查，常见的数学思想方法有整体思想、转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.

1.整体思想.整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，用整体的视角，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想在解决数学问题中的运用广泛，如整体代入、几何中的补形等.有的题型是局部细节难以处理或计算出结果，但作为整体处理却能直截了当地解决问题.用整体思想来处理问题，体现了一种着眼全局、通盘考虑的思维方式.例如，如图1，在 [Rt△ABC]中，[∠C=90]，[AC=4]，[BC=2]，分别以[AC]、[BC]为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为.（结果保留π）分析：3个阴影部分都是不规则的图形，无法直接计算出，利用差值思想结合其他标准图形，也不方便直接计算出，因为其他图形里又包含其他未知的不规则图形.计算直接算各部分面积有困难，那我们先不考虑结论，先从可利用的已知条件入手.假设各部分面积分别用S1、S2、S3、a、b来表示（如图1）.这样，根据方程思想利用已知条件，建立起3个等式： ①[S1+S3+a=π×12/2];②[S1+S2+b=π×22/2];③[S1+a+b=2×4/2].列出这三个等式之后，很容易就想到将[S1+S2+S3]作为整体来处理.①+②-③得到[S1+S2+S3=5π/2-4].由本题可见，求某些关系的和、乘等关系，并不一定要具体算出其中某个部分的具体值，而是当作整体来计算.当然，这里的方程思想也是至关重要的，设置了5个未知数，却只列出了3个等式，就到达了我们的目的.

2.转化思想.转化也称化归，就是在已有简单具体的知识基础上，把未知化为已知、陌生化为熟悉、复杂化为简单、一般化为特殊、抽象化为具体，最终获得问题解决的一种方法，它是数学中最常用的思想.解决任何一个数学问题都有一个由繁化简、由大化小、由难化易、由新化旧的过程，不过所使用的转化手段、转化方法及所经历的转化过程还是有区别的，转化思想是研究解决数学问题的一种普遍思想.例如在有理数中，减法可以通过相反数转化为加法，除法可以通过倒数转化为乘法，乘方也可以转化成乘法，这些都体现了由难到易的转化思想.

在初中数学的内容中，新旧知识间有着相当紧密的联系，可用由新化旧的思想方法，使新知识得到简化，以便更容易地接受和理解，为培养学生的创新能力打下基础.如在多项式的乘法中对于[（m+n）（a+b）]的多项式乘法，可以利用以前所学的乘法分配律[c（a+b）=ac+bc]的方法，在这里我们就需要把[m+n]看作一个整体“c”做进一步的计算.这样，不仅可减小理解上的难度，也使得学习内容变得简单化，这里用到的就是转化思想.

3.方程思想.方程思想是通过设未知数、列方程（或方程组）、解方程（或方程组），研究已知量与未知量之间的等量关系，达到求值目的的解题思路和策略.方程思想主要运用于公式的变形中，就是指将公式（即等式）中的某个字母看作未知数，公式就是关于这个未知数的方程，通过解方程得到所需要的公式变形，它是解决各类计算问题的基本思想.善于根据已知条件、寻找等量关系列方程，是这个思想的关键所在.在已知方程的根求方程中字母系数时，也运用了方程思想，根据方程根的定义，把方程的根代入方程，得到关于字母系数为未知数的方程，通过解方程求得字母系数的值.可见，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系，构造方程并对方程的性质进行研究以解决问题.

4.数形结合思想.在中学数学中，通过几何基本知识的学习并掌握其思想方法，并利用数形结合的基本方法，实现几何问题与代数问题的相互转化，从而达到解决问题的目的.在利用坐标化的方法解决问题时，常用到利用距离公式证明线段相等或不等.形与数的结合和转化是相互的，几何的代数化是其中的一个方面，而代数的几何化是另一个方面.

在初中实数部分的学习中，体现数形结合的内容较多，在学习中要初步了解数形结合思想.在不等式中，一元一次方程以及在一元一次不等式的应用中也应用到这种思想.在实数的学习中，数形结合主要通过数轴来实现，数轴的引入，为学习有理数及其大小比较、相反数、绝对值等知识提供了直观的工具，呈现了典型的数形结合思想.例如，在有理数大小的比较中，有题目“用‘>号把-3，2/3，2.4，0，1，-1/2，3，-0.3，2连接起来”，这个问题由于涉及的数字较多，容易出现遗漏或排错的现象，那么可以利用数轴把这些点一一描出来，然后根据“数轴右边的数大于左边的数”来排列它们的大小位置关系.

5.分类讨论思想.在数学中，有些问题不能按所给定的条件统一进行研究，而必须在这个条件下分成若干种类或若干种情况，再分别加以研究，这就是利用分类讨论思想.例如，一组数据5，7，7，x的中位数与平均数相等，则x的值为 .

解：（1）当[x≤5]时，中位数为6，此时[5+7+7+x4=6]，解得[x=5]

（2）当[5

（3）当[x>7]时，中位数为7，此时[5+7+7+x4=7]，解得[x=9]，

综上，[x=5]或[x=9].

二、培养数学思想方法的必要性

（一）数学学科的本质要求

数学是研究数量关系和空间形式的科学，被称为“科学的皇后”“思维训练的体操”，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具.可以说，没学好数学，就不大可能学好其他学科.“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化.因此在数学教学中，要在传授知识的基础上引导学生理解数学概念，目标始终围绕更高层次的思想方法的掌握运用，通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括等方式，把握数学思想，感悟数学特有的思维方式，培养逻辑思维能力，形成良好的思维品质，进而影响和促进其他学科的学习.

（二）数学课程标准的内在要求

数学知识与数学思想方法一明一暗两条线贯穿在数学课程内容之中，数学概念、公式、法则、性质、定理等知识，呈现在教材中是看得见的、有形的，而数学思想方法是看不见的、无形的，隐藏散见在教材各章节之中，它需要通过教师的引导与点拨，学生才能理解和把握.只有将两者有机地结合起来，才能使學生在掌握数学知识的基础上，将零散的知识点连接起来，形成完整立体、相互联系的知识结构.因此教师要立意高远，透过现象看本质，认真挖掘厘清教材中所反映的数学思想方法，精心设计课堂教学，有针对性地设计课外作业，引导学生概括知识点背后蕴含的数学思想方法，充分运用数学思想方法去分析解决具体的问题.

（三）激发学生对数学学习的兴趣

数学知识作为课程内容，可用文字和符号来记录和描述，随着时间的流逝和记忆力的减退，未来走向社会之后有可能被遗忘.而数学思想方法则是一种数学意识，一旦理解和掌握，便是融会贯通而不轻易忘记.数学思想方法作为数学学科的“一般原理”，是从数学内容中提炼出来的精髓，具有高度抽象性，同时它是将数学知识转化为数学能力的桥梁，掌握数学思想方法能够使学生对数学知识更容易理解和掌握.例如通过类比，学生认识到因式分解是由数到式的发展过程，是特殊与一般的思维体现，从而能真正理解、掌握和应用因式分解.数学学习不仅限于概念、公式、定理和机械地解题，还在于促进学生由此及彼、触类旁通，逐步形成的思维，在于将理论与应用相结合，才能激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的创新意识，提高学生的思维品质.

三、初中数学教学中培养数学思想方法的思考

（一）在知识传授中登高望远

初中数学知识蕴含的思想方法，需要教师在整体把握的基础上逐步渗透培养.因此，教师要更新教学理念，有意识地渗透数学思想方法，对教材进行分析、研究，通过对教材中的思想方法体系的研读形成自身的思想方法体系.对于各知识点的教学，不能仅是“教知识”，更应着眼“教能力”，要做一个渗透的有心人，善于发现和挖掘教材内容中所蕴含的数学思想方法，由此再进一步谋划设计教学过程，使学生逐步领悟、理解、掌握、运用所学的某个数学思想方法.例如在字母表示数和代数式教学中，应站在渗透符号思想的高度来谋划设计，尤其在总结提升阶段，要引导学生发现并着重强调：数字仅表示某个确定的数，而字母则是个变量，是可变的数，还可以是某个式子，那是用数字表示数和用字母表示数的本质区别所在.

（二）在教学实践中学思践悟

初中数学教材知识点众多，其中隐含的数学思想方法交织贯穿，层层递进，需要学生在初中三年的日积月累中学习和掌握.教师要善于在教学一线中不断琢磨，深入挖掘、揭示教材中隐含的数学思想方法.首先，在概念教学中渗透.概念教学不应只是简单地给出定义，而是要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想.例如利用“数轴”这一直观形象的图示工具来揭示绝对值这个概念的内涵，让学生既学习了绝对值的概念，又渗透了数形结合思想.其次，在定理和公式教学中融入.例如圆周角定理中，从特殊度数与圆弧关系的发现到证明，体现了由特殊到一般、分类讨论、化归以及归纳的数学思想方法.最后，在例题讲解过程中揭示.让学生参与教学实践活动，引导尝试解题的思路、不断修正思考问题的切入点，充分暴露解题思维过程，再点拨揭示其中隐含的数学思想方法.比如“三角形内角和定理的证明”中，在一个角的一边上构造一个平角，再利用平行线把另外两个角转化到平角处，掌握化归方法，加强数形结合思想的应用意识，增强运用化归思想处理三角形问题的一般策略.

（三）在学生学习中拨云见日

学生是学习的主体.学习数学就是要培养数学思维能力，形成数学思想，并运用所学知识去解决实际问题.因此，教师要避免满堂灌的教法，留出学生思考和练习的时间，充分发挥学生的主体作用，让学生在教师的启发引导下进行探索研究活动，通过解题训练，历经不断试错、纠错、碰壁纠偏后，使他们在知识学习、问题解决、灵活运用的过程中学会举一反三，系统培养演算、空间想象和逻辑思维能力，领悟与体验数学思想方法的形成，并逐步内化于心.及时小结复习、梳理归纳出最核心、最关键的东西，以强化刺激，让学生在脑海中留下深刻的印象，促使学生实现从感性认识到理性认识的飞跃.一方面，要注重在问题解决过程中激活.数学思想方法是帮助学生构建解题思路、养成良好思维习惯的关键.要通过学生对解题规律的观察，主动发现、真正领悟隐含于其中的数学思想方法，给学生养成数学运算、数据分析、数学抽象、逻辑推理等数学素养.另一方面，要注重在总结归纳中点明.数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，要有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程，从而帮助学生更透彻地理解所学的知识及其相互联系，提高独立分析、解决问题的能力.

中国科学院院士姜伯驹说：“数学已经从幕后走向前台，直接为社会创造价值.”著名数学家华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学.”“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论.”知识的记忆是暂时的，而思想方法的掌握是永久的.中学生是祖国未来的栋梁，掌握好数学知识及其蕴含的数学思想方法，对发展与完善学生的认知结构，提高学生的数学素养有重要意义，同时，既是新课程数学教学的具体目标，也是信息时代下素质教育的内在需要.

[ 参考文献 ]

[1] 何小亚.数学学与教的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2003.

[2] 斯托利亚尔.数学教育学[M].北京：人民教育出版社，1985：89.

[3] 李秉德. 教育科学研究方法[M].北京：人民教育出版社，2001：217.

[4] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011 年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5] 张清平. 初小数学教学衔接研究[D].济南：山东师范大学，2019.

[6] 杨瑜.初中数学思想方法的研究与实践[D].石家庄：河北师范大学，2007.

[7] 郭淑莉.浅谈对中小学数学思想方法的认识[D].开封：河南大学，2011.

[8] 胡来勇.初中数学教学中渗透数学思想方法的路径[J].中學生数理化（教与学），2020（10）：74.

[9] 梁静静.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探析[J].数理化解题研究，2020（29）：20-21.

[10] 付军.初中数学渗透数学思想的策略[J].中学教学参考，2020（26）：11-12.

[11] 李军.把握数学学科的本质[N].中国教师报，2020-10-28（4）.