《特征值与特征向量》教学实录及反思

郭建峰

[摘   要]通过《特征值与特征向量》教学的研究及反思，得到几点启示：创设合理的问题情境是课堂教学的基础，重视数学概念的建构是课堂教学的核心，恰当地使用教学媒体是课堂教学的保障.

[关键词]特征值;特征向量;教学实录;反思

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）17-0027-02

[教材分析]《特征值与特征向量》是苏教版高中数学选修4-2《矩阵与变换》的内容.利用二阶矩阵[M]的特征值、特征向量给出[Mnα]简单的表示，了解它的几何意义，知道它的简单应用，并为下一节中种群问题的研究做好铺垫.

[学情分析]学生已掌握伸压、反射、旋转、切变等初等变换及其对应的初等变换矩阵;知道矩阵乘法的几何意义即是平面变换的复合.当连续对向量实施[n（n>1， n∈N?）]次变换时，能通过矩阵对向量的多次乘法得到变换后的向量或通过几何直观得到初等变换矩阵对向量多次变换所得向量.

[教学目标]

（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义;

（2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量;

（3）利用二阶矩阵[M]的特征值、特征向量给出[Mnα]简单的表示.

[教学重点]特征值、特征向量的概念及其应用.

[教学难点]特征值、特征向量的概念.

[教学过程]

一、概念教学

情境： 已知[M=10012]，[β=17]，試计算[Mβ]，[M2β]，[M3β].

学生很快得到以下答案：

[Mβ=122117=159]，[M2β=1221159=3339]，[M3β=12213339=111105].

师：你能计算出[M50β]吗？

设计意图：连续对向量实施[n（n>1， n∈N?）]次变换，当次数较少时上述方法可以求出变换后的变量，当次数较多时上述方法就不易操作.从而说明本节内容学习的必要性.

已知[M=10012]，[α=24]，[β=10]，[γ=03]，试计算[Mα]，[Mβ]，[Mγ]，并观察这三个向量与向量[α]，[β]，[γ]的关系.

生： 其中[Mβ=β]，[Mγ=12γ]，存在部分向量[α]，使得[Mα=λα].即变换后的向量与原向量共线.

设计意图：通过初等变换矩阵对一些特殊向量作用后得到的向量与原向量共线，从而引出特征值与特征向量，让特征值与特征向量概念的建构显得自然而不生硬.

师：你能再举几个具有这种特征的向量并加以验证吗？

生：[M20=20]，[M30=30]，[M-120=-120]…

[M03=1203]，[M04=1204]，[M0-2=120-2]…

师：存在[α]，使得[Mα=1?α];存在[β]，使得[Mβ=12?β].我们将[12，1]称为矩阵M的特征值，对应的向量称为特征向量.

1.特征值与特征向量的定义

设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数[λ]，存在一个非零向量[α]，使得[Aα=λ?α]，那么[λ]称为A的一个特征值，而[α]称为A的属于特征值[λ]的一个特征向量.

师：你们觉得特征值与特征向量的概念有哪些注意点呢？

在学生充分讨论的基础上，师生共同总结出特征值与特征向量这一概念的几个注意点：

（1）特征向量为非零向量;

（2）属于特征值[λ]的特征向量不唯一，若向量[α]是A的属于特征值[λ]的特征向量，则[tα（t≠0）]也是属于特征值[λ]的特征向量.

练习1：矩阵[A=100-1]的特征向量是什么？怎样从几何直观的角度加以解释？

[TA：xy→x'y'=x-y]，[A10=10]，∴[λ1=1]，[α1=10]，[A01=0-1]，∴[λ2=-1]，[α2=0-1] .

师：初等变换矩阵可以从几何直观角度求出特征值与特征向量.非初等变换矩阵，如情境中的矩阵M如何求出其特征值与特征向量呢？

设[λ]是二阶矩阵[A=abcd]的一个特征值，它的一个特征向量为[α=xy]，则[Axy=λxy]，

即[ax+by=λx ，cx+dy=λy ，] 所以[（λ-a）x-by=0 ，-cx+（λ-d）y=0.]

[D=λ-a-b-cλ-d]，[Dx=0-b0λ-d=0]，[Dy=λ-a0-c0=0].

上述方程即[D?x=Dx=0D?y=Dy=0]，由于特征向量[α]为非零向量，所以[x，y]不全为零，若要上述方程组有不全为零的解，则必须[D=λ-a-b-cλ-d=0].

2.特征多项式的定义

设[A=abcd]是一个二阶矩阵，[λ∈R]，

我们把行列式[f（λ）=λ-a-b-cλ-d=λ2-（a+d）λ+ad-bc]称为矩阵A的特征多项式.

其中方程[f（λ）=0]的根为矩阵A的特征值（最多两个），将[λ]的值代入二元一次方程组可得特征向量.

二、应用概念

[例1]求出矩阵[A=100-1]的特征值与特征向量.

设计意图：呼应练习，通过初等变换矩阵总结出一般矩阵特征值与特征向量的求法：[f（λ）=λ-a-b-cλ-d];解方程组[f（λ）=0]得特征值;将[λ]的值代入方程组的特征向量.

练习2：求矩阵[M=10012]的特征值与特征向量，并思考如何计算[M2013]的值.

解答：特征值[λ1=1]，[λ2=12]，对应的特征向量分别为[α1=10]，[α2=01].

[Mα1=λ1α1]，[M2α1=M（λ1α1）=λ1（λ1α1）=λ12α1]，[M3α1=M（λ21α1）=λ1（λ21α1）=λ31α1]…[M20α1=λ120α1=12010];同理，[M20α2=λ220α2=122001].

师：向量[13]并不是特征向量，该如何处理？能否用特征向量线性表示？

[13=1?10+3?01=α1+3α2]，

所以[M2013=M20（α1+3α2）=M20α1+3（M20α2）=λ120α1+3λ220α2=…]

师：从几何直观看，对向量[13]连续实施20次TM后，横坐标依然不变，纵坐标变为[3220]，几乎“压扁”为零了.

设计意图：再次从初等变换矩阵入手研究对任意向量连续实施多次变换的几何意义以及具体的求法，这样可以自然过渡到问题情境中所提出来的问题.

[例2]已知矩阵[M=10012]，[β=17]，試计算[M50β]的值.

设计意图：帮助学生进一步理解求[M50β]可以转化为对[M]的特征向量实施多次变换，回应了问题情境.

三、回顾总结

（1） 概念：特征值与特征向量.

（2） 求法：特征值与特征向量的求法;[M50β]的求法.

（3） 思想：由特殊到一般.

四、教后反思

1.创设合理的问题情境是课堂教学的基础

本节课通过一个小练习导入新课，让学生轻松解决的同时，提出一个原有方法不易操作的问题，创设了恰当合理的问题情境，让学生学习新知的同时，感受到无比轻松.

2.重视数学概念的建构是课堂教学的核心

本节课上，特征值与特征向量的概念不是教师讲解的，而是在教师引导下，学生从已学知识出发，通过观察、操作、比较、类比等思维活动，逐步建构而得到. 这样不仅使学生对概念有深刻的理解，还让学生充分体验到解决问题的过程及思想方法，学生的主体地位得到充分体现.

3.恰当地使用教学媒体是课堂教学的保障

新课程理念强调，现代教育技术在课堂教学中的合理应用.本节课通过交互式电子白板与课堂教学的有机整合，为课堂教学内容的呈现及教学活动的开展带来了全新的变化，充分调动了学生的学习积极性.

（责任编辑 黄桂坚）