运用“确定性思想”分析中考失误试题

沈惠娟 黄锦书

[摘   要]无科学性错误是命制试题的最基本要求.分析中考试题中典型失误题，以减少命题失误，对提高教师的命题能力有一定的促进作用.

[关键词]确定性思想;中考题;失误

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）17-0031-03

数学中考命题以数学課程标准为标准，遵循科学性、应用性、公平性、创新性等原则.科学性是对试题本身的结构和叙述的合理性、严谨性和清晰性的要求，其要求试题准确无误，图文呈现简明易懂、无错漏、无歧义.离开“科学性”这个最基本的原则，试题的价值与功能无从谈起.因此，在试题的命制过程中，我们要极力避免出现科学性错误.然而，纵观近年来各地市中考卷，试题命制中的失误还时有发生.本文运用“确定性思想”，对命题中出现的失误进行分析，以提升试题质量及教师的命题能力.

一、对“确定性思想”的认识

所谓确定性思想，即当一个数学研究对象确定之后，与它有关的数量关系和空间形式也随之确定，简单地说即“确定便可求”.例如，一个三角形三边长分别为4，5，6，由“SSS定理”和三角形的稳定性可知，这个三角形的形状和大小是确定的，那么这个三角形的各个内角也是确定可求的，中线、角平分线、高线也是确定可画出、可求的，三角形的面积也是确定可求的.在数学教学中应当体现“确定性思想”，解题及命制试题更应体现“确定性思想”.

二、运用“确定性思想”对中考失误试题进行分析

数学试题的条件必须是独立的、最少的，简单性被公认为数学美的一个特征.数学家阿蒂亚说过：“研究数学的目的之一，就是尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界.”数学试题中不应有重复的、多余的条件.

1.中考失误试题呈现

[例1]某市2015年中考题：如图1，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作[CD⊥OA]交弦于点E，交⊙O于点F，且[CE=CB].（1）求证：BC是⊙O的切线;（2）连接AF，BF，求[∠ABF]的度数;（3）如果[CD=15]，[BE=10]，[sinA=513]，求⊙O的半径.

问题出现在第（3）小题，运用两种不同的算法，答案竟然不一样.

方法一：构造直角三角形，运用勾股定理解答，得到⊙O的半径为[150457].

方法二：通过构造相似三角形，得到⊙O的半径却为[130407].

两种解法的推理过程都无懈可击，为什么答案会不一样？

笔者又继续演算，若已知条件[BE=10]，[sinA=513]不变，易求得[CE=CB=13]，由[AD=OD=r2]，则[ED=524r]，由[OC2=CB2+OB2=CD2+OD2]，得[132+r2=13+524r2+r22]，解得[r=3120407].

若不用[BE=10]这个条件，条件[CD=15]，[sinA=513]不变，易知[CB=CE=15-524r].同理可得[15-524r2+r2=152+r22]，解得[r=3600457].

同样，如果不用[sinA=513]这个条件，只用条件[CD=15]和[BE=10]一样可求出不同的结果.⊙O的半径是唯一确定的，但不同的算法得到不同的答案，究竟为什么？为此，笔者对这道题进行研究.

2.对失误试题的初步分析

为了方便说明，设已知条件[BE=10]，[sinA=513]不变.如图2所示，由已知条件易求得[CE=13]，[DE=2]，[AE=5.2]，则[AB=AE+BE=15.2].而又[AD=4.8]，[AO=9.6]，则[AB=2AG=2×9.6×1213]，两次算得的[AB]的值不同，从而得出题目所给的条件有问题.再进一步分析，设[DE=5x]，由[AB=AE+BE=2AG]可得到方程[13x+10=2×24x×1213]， 解得[x=130407]，[DE=5x=][650407]≠2，即得出[CD=AE+BE=13+650407≠15]，这和已知条件[CD=15]相矛盾.由此可知，第（3）小题所给的条件中不仅多余而且互相矛盾.

无独有偶， 2016某市中考题：如图3，[AB]是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作[CD⊥OA]交弦AB于点E，连接BD，且[DE=DB].

（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由;

（2）若[CD=15]，[BE=10]，[tanA=512]，求⊙O的直径.

这道中考题只是在问题呈现形式上、设问层次上对上题稍作一些改编，其他不变，显然，也是存在错误的.

3.运用“确定性思想”进行剖析

怎样才能避免类似错误再次发生？我们可以用“确定性思想”进行分析说明.这道题是求半径，反过来逆向推理，若半径确定，即圆确定.如图4，作出OA，又[sinA=513]，即[∠OAB]大小确定，假设AB在OA右侧，则点B也确定.作DE垂直平分OA，垂足为D.因为OA，AB确定，所以点D，E也就确定.按照题意，点C为BE的垂直平分线和射线DE的交点，所以点C也是确定的，即CD的长度是确定的.当[BE=10]时，CD恰好等于15吗？如果等，则题目没有问题，只是条件多余而已;如果不等，则条件互相矛盾，题目出错.

三、运用“确定性思想”深度剖析几种典型失误题

下面笔者再举几个运用“确定性思想”深度剖析的典型中考失误题，供大家参考.

1.出现条件与条件、条件与结论互相矛盾，配图错误的典型题

[例2]某市2014中考题.如图5，AD是[△ABC]中[∠BAC]的角平分线，[DE⊥AB]于点E，[S△ABC=7]，[DE=2]，[AB=4]，则AC长是（）.

A. 3 B. 4 C. 6 D. 5

此题的标准答案是选项A.

[AB=4]，如果[AC=3]，则[S△ABC]的范围是确定的，根据“垂线段最短”可知，AB边上的高[h≤AC]，∴[S△ABC=12AB·h≤12AB·AC]，∴[S△ABC≤6]，即[S△ABC]不可能等于7，所以此题预设的结论与已知条件相矛盾.暂且不考虑[S△ABC=7]，从确定性的角度去分析，[AB=4]，[DE=2=12AB]，如图6所示，[AB=4]，直线CD切⊙E于点D，则直线CD上任意一點到AB的距离等于2.如果D1是直线CD上任意一点，易知[∠AD1B≤90°]，仅当D1与D重合时[∠AD1B=90°].而在试题所给的配图中[∠ADB]是钝角.当[∠ADB=90°]时，由AD平分[∠BAC]可知[AC=AB]，如图7所示，当[∠ADB<90°]时，易知[∠ADB<∠ADC]，∴[∠DAC+∠ACD=∠ADB<∠ADC=∠DAB+∠ABD]，又∵[∠DAC=∠DAB]，∴[∠ACD<∠ABD]，∴[AC>AB].因此，如果[AB=4]，[DE=2]，则有[AC≥AB]，根据角平分线的性质定理可知，[S△ABC=S△ABD+S△ADC=12AB+AC×DE≥AB×DE]，即S△ABC≥8，而题目所给的条件中S△ABC=7，这说明了已知条件之间互相矛盾.

这题如果要选项A正确，则须[S△ABC≤6]，

且[DE≤127]，理由如下.

如图8，[AB=4]，[AC=3]，作AB边上的高CF，

则[CF≤AC]，

[BDCD=BACA=43]，[EDCF=BDCB=47]，

∴[ED=47CF≤47AC=127].

此题在条件与条件、条件与结论互相矛盾的情况下，又给出一个错误的配图，导致考生出错.

2.出现条件多余且互相矛盾的典型题

[例3]某市2018中考题：如图9，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作[ED∥OB]交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A.

（1）求证：AB是⊙O的切线;

（2）若⊙O的半径为1，[tan∠DEO=2]，[tan∠A=14]，求AE的长.

第（2）小题的标准答案是[42-2].从确定性的角度去分析，⊙O的半径为1，∴⊙O确定后点O确定，作直径CE，则CE确定，切线BC也确定.[tan∠BOC=tan∠DEO=2]，∴[∠BOC]确定，∴射线OB确定，射线OB和切线BC的交点B就确定，BC的长也就确定.点B确定之后，分别延长BD，CE交于点A，则点A确定，AE的长也确定，由此可知，求AE的长并不需要到条件[tan∠A=14]，即此题有多余条件;AC的长也确定，此时[tan A=BCAC]恰好等于[14]吗？如果等，则题目没有问题，只是条件多余，难度降低而已;如果不等，则条件互相矛盾，题目出错.下面进行求解验证.

如图10所示，由[tan∠BOC=tan∠DEO=2]，可得[BC=2OC=2]，[BD=BC=2]，由[ED∥OB]可得[ADAE=BDOE=2]，设[AE=x]，则[AD=2x]，根据[OD2+AD2=AO2]，有[12+2x2=1+x2]，求得[AE=2]并不等于标准答案[42-2].易知[AC=4]，∴[tan A=BCAC=24≠14].这说明第（2）小题所给的已知条件不仅有多余，而且互相矛盾.

[例4]某市 2017中考题：如图11，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F.点E在⊙O外，作直线AE，且[∠EAC=∠D].

（1）求证：直线AE是⊙O的切线.

（2）若[∠BAC=30°]，[BC=4]，[cos∠BAD=34]，[CF=103]，求BF的长.

第（2）小题的标准答案是[5219].

解答过程如下：

∵AB是⊙O的直径，∴[∠ACB=90°]，在[Rt△ACB]中，[∠BAC=30°]，∴[AB=2BC=2×4=8]，由勾股定理得AC=[82-42=43]，[Rt△ADB]中，[cos∠BAD=34=ADAB]，∴[34=AD8]，∴[AD=6]，∴[BD=82-62=27].∵[∠BDC=∠BAC]，[∠DFB=∠AFC]，∴[△DFB∽△AFC]，∴[BFFC=BDAC]，∴[BF103=2743]，∴[BF=5219].

如果换另一种思路，由[△CFB∽△AFD]可得[CFAF=BCAD=46=23]，∴[AF=32CF=5]，∴[BF=AB-AF=8-5=3].这个推理过程没有错，但结果并不等于标准答案，为什么？其实还是题目所给的已知条件多余且互相矛盾.

现从确定性的角度去分析.

由[∠BAC=30°]，[BC=4]易知⊙O的直径等于8，∴⊙O确定后，作直径AB，则AB确定，由[∠BAC=30°]或[BC=4]可确定点C（点C在AB右侧）.由[cos∠BAD=34]可知[∠BAD]确定，∴点D确定（点D在AB左侧），连接CD交AB于点F，∴点F也确定，BF，CF的长就确定.由此可知，求BF的长并不需要到条件[CF=103]，况且此时CF恰好等于[103]吗？如果等，则题目没有问题，只是条件多余，难度降低而已;如果不等，则条件互相矛盾，题目出错.下面进行求解验证.

如图12所示，易知△DFB [∽]△AFC，[∴BFCF=BDAC=2743=216]，∴[BF=216CF]，由上可知[AF=32CF]，∴[AFBF=3217]，∴[AF=3217BF]，

解方程组[AF=3217BFAF+BF=8]得[BF=621-145]，[CF=36-4215≠103].

由此可知，求BF的长并不需要用到CF的长.这说明第（2）小题所给的已知条件不仅有多余，而且互相矛盾.

四、对命题的几点启示

1.在命题时，我们应该进行解题回顾和反思，用批判的眼光去质疑，运用“确定性思想”去分析试题的结构，用多种思路和方法进行求解和验证结果，这样就可以发现条件是否多余或是否不相容，从而修正错误.

2.我们应该掌握作图的原理，在命题时尽量准确作图，必要时可利用“几何画板”等工具软件进行辅助作图，这样有助于我们探寻解题思路或发现存在的问题.

3.命题是一项基本功，我们应该加强学习和实践，提高自身数学素养和专业水平，总结经验教训，这样才能提高我们的命题能力.

[   参   考   文   献   ]

[1]  沈文选，杨清桃 .数学思想领悟[M].2版.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2018.

[2]  戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社，2016.

（责任编辑 黄桂坚）