“先分再数”由表象到内涵建构分数的意义

王海峰

[摘  要] 学生对于分数已有的感性经验大都是分数跟“分东西”有关，这是学生学习分数意义的基础和起点。本节课从学生分数的朴素认知“分东西”这个起点出发，揭示“分数就是先分再数的数”，让学生体会到“分数”命名的合理性，通过谈话交流提炼出分数意义的三个核心问题：分什么、怎么分、数什么，为研究分数的意义打开了一扇新的大门。

[关键词] 先分再数;表象;内涵建构;分数的意义

“认识分数”这一内容在苏教版教材共分三个时段安排。第一次是三年级上册认识一个物体的几分之几，第二次是三年级下册认识一个整体的几分之几，这两次主要是通过直观图帮助学生形成对分数的初步认识。本学期是在初步认识分数的基础上由直观到抽象，逐步概括和理解分数的意义， 在此基础上不断丰富和完善对分数的理解。

片段一：先分再数，唤醒朴素认知

课件出示：

师：同学们，这是一个什么数？会读吗？知道为什么叫作分数吗？（一脸疑惑）

生：这是个分数，读作四分之一。

生：因为它可以表示把一个蛋糕平均分成4份，分得其中的1份，所以叫作分数。

师：有道理！一定是分蛋糕吗？

生：不一定，还可以分其他的东西，比如图形。

师：之所以叫分数，同学们是不是认为可能跟“分东西”有关？（纷纷点头）同学们你们这种感觉是对的，但还不够准确！

师：有位数学家说，分数之所以叫作分数，是因为它是先分再数的数。（微笑，有点烧脑）有什么想说的吗？

生：我想知道分数到底是分什么的？（刚才那个说分蛋糕的孩子）

师：这个问题提得好！还有谁想说？

生：我知道分数一定要平均分！

师：鼓掌！这是分数的一个重点，强调要平均分。看来，同学们对于分数的“先分”至少有了2个基本认知：一是分数到底分什么？二是分数要怎么分？（同步课件出示）

生：那么“再数”，是数什么呢？

师：是啊，分完了还要数，数什么呢？看来啊，要了解分数的“先分再数”得搞清楚这三个问题：分数分什么？怎么分？数什么？

……

思考：上面的教学，从这类数为什么被叫作“分数”这个看似简单实则直指分数内涵的问题出发，通过谈话在与学生的已有知识经验的不断碰撞中，唤醒学生对分数的各种感性认知，进而让学生感觉到分数跟“分东西”有关，接着适时出示“分数就是先分再数的数”这一论断，既契合了学生对分数的朴素认知，又为后面提炼出分数的三个关键性问题做了铺垫。这样的过程，让学生既体会到“分数”命名的合理性，又为研究分数的意义打开了一扇新的大门。

片段二：分层推进，揭示“单位1”

师：这个数认识吗？（板书：1）

生：1啊！谁不认识！

师：想想数字1可以表示什么？

生：一支铅笔、一把椅子、一块橡皮……只要物体个数是1的都可以用1来表示。

师：同学们，1除了能表示物体的个数是1外，还能表示什么？谁能脑洞大开！（大家一脸茫然）

生：（略有迟疑）一个班级也能用1来表示吧。

生：当我们把所有的学生看成一个班集体时，不就可以用1来表示！

师：说得真好！看作一个整体，就可以用1来表示。还有谁想说？

…

师：既然这样，（出示2个桃子）这儿有2个桃子，能看作“1”吗？

师：但是我怎么看，怎么觉得是2，能让人一眼就看出来表示1吗？

生：直接画个圈把2个桃子圈起来。

师：这样一圈，2个桃子就可以看成一个整体。

师：2个桃子可以看作“1”，4个桃子可以看作“1”吗？

师：但是，如果已经把2个桃子看作“1”了，同学们思考一下，4个桃子也看作“1”，合理吗？（不合理）那这4个桃子又该用什么数表示合理呢？

生：用2表示才合理。

师：为什么？

生：2个桃子看作“1”，4个桃子就可以看作2个这样的“1”，所以用2表示合理。

师：如果有3个这样的“1”呢？5个呢？10个呢？有n个 “1”——

生：就可以用n来表示。

师：同学们，我们回顾一下刚才的过程：我们把2个桃子看成一个整体“1”，有几个这样的“1”，就可以用几来表示，因此在这里2个桃子所看作的“1”，就变成了计量的单位！数学上，我们就把这样的“1”又叫单位“1”。

思考：分数分什么？也就是单位“1”的教学一直是分数意义教学中的重难点，学生对于这一问题最多的感性经验就是“分东西”，这个“东西”学生接触最多的是蛋糕、图形等单个物体，而对于分许多物体组成的一个整体，学生是一点经验没有，也是非常难理解的一个点，十分考验教者的功力。在本环节的教学中，教者安排了三个层次的内容，从学生熟知的1出发，拓展提升到内涵丰富的“1”，再到有幾个这样的“1”就可有用几来表示的“单位1”，逐层推进，引领学生经历“单位1”的形成过程。帮助学生明晰“单位1”的认识，沟通知识之间的内在联系，为建构分数的意义扫清障碍。

片段三：对比提炼，建构分数意义

师：（课件出示4幅图）请同学们根据图意完成填空，想想用什么数表示？

师：观察四幅图，有什么发现？

生：我发现，这4幅图的物体是不一样，也就是看作单位“1”的物体是不一样的，满几个这样的单位“1”，就表示几，不足1个单位“1”的，就要用分数表示。

生：还有每幅图的最后都是 。

师：确实是这样！看来啊，是否用 表示，与把什么看作单位“1”好像关系不大？

师：你能举一个表示 ，但是单位“1”跟这4个不一样的例子吗？

生：把12个小圆片看作单位“1”，平均分成4份，其中3份涂色，涂色部分就可以表示成 。

师：这样的例子举得完吗？你有什么想说的？

生：我觉得，其实单位“1”是什么并不重要，只要是把单位“1”平均分成4份，表示其中的3份，就可以用 表示。

师：是这样吗？请同学们接着看这3幅图。

（课件呈现，生作答。）

师：什么相同？（都表示 ）什么不同（涂色个数不同）？为什么？

生：虽然这3幅图都表示 ，但是每幅图中单位“1”的图形个数不一样（4个、6个、8个），所以平均分成2份，表示这样1份的个数是不同的。

师：说得真棒，看来单位“1”是什么，是多少也是要考虑的。

（课件继续呈现，引导学生作答。）

师：继续看这3幅图，什么相同？（单位“1”相同，涂色的个数也相同）什么不同？（表示的分数却不同）为什么会这样呢？

生：我觉得，原因在于这3幅图平均分的份数不同。第一个图平均分成2份，第二个图平均分成了4份，最后一个图平均分成了8份。

生：我想补充一下，这3幅图除了平均分的份数不一样，每幅图涂色的份数也不一样。

师：同学们，回顾一下刚才的学习，你们觉得要准确地表示一个分数，我们除了要关注单位“1”是什么，还要看什么？

生：还要看单位“1”被平均分成了几份，以及表示了这样的几份。

师：对！这就是分数的意义！

……

思考：建构分数的意义，最终还是需要让学生搞清楚分数的三个核心问题即分数分什么？怎么分？数什么？本节教学中，教者设计了三组看图写分数的对比题，每组题所聚焦的问题是不同的。第一组图聚焦于让学生体会到满几个“单位1”就用几来表示，不满1个“单位1”时就可以用分数来表示，同时通过对比让学生发现不管把什么看作单位“1”，只要是把单位“1”平均分成4份，表示这样的3份，就可以用 表示。第二组图聚焦于为什么同样都是 ，为什么涂色的五角星个数不一样，也就是每个图表示 的个数为什么不一样？通过对比学生发现是因为3个图单位“1”的圖形的个数是不一样的，所以表示 的个数也就不一样了，让学生明白单位“1”也是重要的。第三组图聚焦于3幅图单位“1”和涂色的个数都一样，为什么表示的分数却不一样？让学生产生认知冲突，进而发现原来每幅图平均分的份数不一样，表示的份数也不一样。通过这3个层次的练习，让学生在不断地对比提炼中，逐步建构出分数的本质意义。