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求直线方程设法有技巧

2021-06-07甘肃省康县教育局教研室杜红全746500

河北理科教学研究 2021年1期
关键词:过点交点斜率

甘肃省康县教育局教研室 杜红全 746500

山东省潍坊市育才学校 黄海虹 261031

直线方程是高中数学的重要内容之一,在高考试题中主要是以直线方程为载体,与其他知识交汇进行综合考查,但其中经常会涉及到求直线方程.已知两个独立条件可求出直线方程,根据所给的条件不同,求直线的方法也不同.下面举例说明求直线方程常用的设法技巧,供参考.

1 已知斜率为k,可设其方程为斜截式y=kx+b

点评:本题主要考查的是求直线方程,求解本题的关键是利用方程的数学思想,根据已知条件列出关于b的方程即可;需要注意的是斜截式不含垂直于x轴的直线.

2 已知过点(x0,y0),且斜率存在,可设其方程为点斜式y-y0=k(x-x0)

例2 已知直线l过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.

点评:本题主要考查的是求直线方程,求解本题的关键是设出所求的方程为点斜式,根据已知条件列出关于k的方程即可;当直线的斜率不存在时,直线的方程是x=x0;当然本题也可以用截距式求解;需要注意的是点斜式不含垂直于x轴的直线.

3 与截距相关,可设截距式

例3同例2

综上所述,所求直线l的方程为x+y-5=0,或3x-2y=0.

点评:设直线截距式方程的前提是截距不为0,即不含垂直于坐标轴和过原点的直线.本题容易丢解3x-2y=0,需要特别注意.

4 过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程可设为

例4 已知三角形三个顶点分别为A(2,1),B(-2,3),C(6,-7),求AC边上的中线所在的直线的方程.

点评:本题考查的是中点坐标公式、两点式直线方程的应用;需要注意的是两点式不含垂直于坐标轴的直线,所以在利用两点式求解直线方程时,一定要注意首先判断是否满足两点式方程的适用条件;两点式方程与两点的顺序无关.

5 与直线l:Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)

例5 过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().

A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0

C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0

解:与直线x-2y-2=0平行的直线方程可设为x-2y+C=0,将点(1,0)代入解得C=-1,所以所求的直线方程为x-2y-1=0.故选A.

点评:本题主要考查的是两直线平行的相关知识及求直线方程,是利用平行直线系方程求解,当然也可以利用两直线平行,则斜率相等,求出被求直线的斜率,然后用点斜式求解,显然利用平行直线系方程求解简单.

6 与直线l:Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C1=0

例6 直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,直线l的方程是().

A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0

C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

解:因为直线l与直线2x-3y+4=0垂直,所以可设直线l的方程为3x+2y+m=0.又因为直线l过点(-1,2),代入得3×(-1)+2×2+m=0,解得m=-1.所以直线l的方程为3x+2y-1=0.故选A.

点评:本题主要考查的是两直线垂直的相关知识及求直线方程,是利用垂直直线系方程求解,当然也可以利用两直线垂直,则两直线斜率的积等于-1,求出被求直线的斜率,然后用点斜式求解,显然利用垂直直线系方程求解简单.

7 过直线 l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含l2)

例7 求过两直线2x-3y-1=0,3x+2y-2=0的交点且平行于直线3x+y=0的直线方程.

点评:本题是利用过两条直线交点的直线系方程求解,也可以根据已知条件求出交点和斜率,然后利用点斜式写出直线方程.

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