实Clifford代数及其单位群的实矩阵表示

宋元凤, 杨 柳, 李武明

(1. 通化师范学院 数学学院, 吉林 通化 134002; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

1 引言与预备知识

矩阵表示在量子理论、 机器人科学等领域应用广泛. Cartan[1]给出了Clifford代数矩阵表示的八周期理论; Farebrother等[2]给出了四元数代数所有的48个矩阵表示； Song等[3]构造了2×2的反对称分块矩阵, 并证明这种矩阵集与Cl0,n同构, 从而给出了实Clifford代数Cl0,n的忠实矩阵表示; Lee等[4]构造了8×8的实矩阵集, 并证明这种矩阵集与Cl0,3同构; Budinich[5]证明了Clifford代数的复表示可简化为实代数或四元数代数.

设{e1,e2,…,ep+q}为p+q的一个基, 实Clifford代数Clp,q上的Clifford乘积定义为

(1)

则Clp,q为2p+q维代数[6-7]. 当p+q=3时,Clp,q可视为由基

{1,e1,e2,e12,e3,e13,e23,e123}

(2)

生成的线性空间,Clp,q有Cl0,3,Cl1,2,Cl2,1,Cl3,0四种形式, 由于Cl1,2≃Cl3,0, 因此只需讨论实Clifford代数Cl0,3,Cl2,1,Cl3,0的实矩阵表示及其单位群的实矩阵表示.

本文所涉及的Clp,q统一约定p+q=3, 规定In表示n级单位矩阵,GLn(F)表示数域F上的n级一般线性群, Im(φ)表示映射φ的像集, Cen(Clp,q)表示Clp,q的中心子代数, Mat(n,F)表示数域F上的n级矩阵群或n级矩阵代数, H表示四元数代数.

2 Clp,q单位群的实矩阵表示

首先考虑Clp,q的可逆元生成群(单位群)的实矩阵表示.

定义1[8]设G是任意群,φ:G→GLn(F)是群同态, 则称φ的像集Im(φ)是G的一个矩阵表示. 若φ为单的群同态, 则称该矩阵表示为忠实的.

定义2[8]一个代数同态φ:A→Mat(n,F)即为A的一个F表示, Im(φ)称为A的一个F-矩阵表示. 若φ为单的代数同态, 则称该矩阵表示为忠实的.

引理1[9]实Clifford代数Clp,q的单位群为

若将Clp,q视为实数域上的2p+q维线性空间, 设{α1,α2,…,αn}为Clp,q的一个基, 则对任意的a∈Clp,q, 通过Clp,q左乘a(a∈Clp,q)可得线性变换

(6)

令

(7)

设A是n×n矩阵, 其中(i,j)的元素为aij. 令

τ：Clp,q→Mat(n,),aA,a∈Clp,q,

(8)

其中A是Clp,q的左乘线性变换la在一个确定基下所对应的矩阵. 于是可得如下交换图：

M1(a1,a2,…,a8),ai∈,i=1,2,…,8,

(9)

且

(a1,a2,a3,a4)≠(a8,-a7,a6,-a5)或(a1,a2,a3,a4)≠(-a8,a7,-a6,a5).

(10)

证明: 对Cl0,3中的任意元素

a=a1+a2e1+a3e2+a4e12+a5e3+a6e13+a7e23+a8e123,

(11)

可变形为

a=a1+a2e1+a3e2+a4e12+(-a5e12+a6e2-a7e1+a8)e123=α1+β1e123,

其中

α1=a1+a2e1+a3e2+a4e12,β1=-a5e12+a6e2-a7e1+a8.

令

φ:Cl0,3→Mat(8,),aM1(a1,a2,…,a8),

(12)

式(12)中矩阵是Cl0,3的元素左乘式(11)在Cl0,3的基(2)下所对应的矩阵. 通过上述映射φ可得映射

(13)

记

M2(a1,a2,…,a8),ai∈,i=1,2,…,8,

(14)

且

(15)

证明: 对Cl2,1的任意元素式(11)可变形为

a=a1+a2e1+a3e2+a4e12+(-a5e12-a6e2+a7e1+a8)e123=α2+β2e123,

其中

α2=a1+a2e1+a3e2+a4e12,β2=-a5e12-a6e2+a7e1+a8.

令

φ:Cl2,1→Mat(8,),aM2(a1,a2,…,a8),

(16)

式(16)中矩阵是Cl2,1基中元素左乘式(11)在Cl2,1的基(2)下所对应的矩阵. 通过上述映射φ可得映射

(17)

记

M3(a1,a2,…,a8),ai∈,i=1,2,…,8,

(18)

且

(19)

证明: 对Cl3,0中任意元素式(11)可变形为

a=a1+a2e1+a3e2+a4e12+(-a5e12-a6e2+a7e1+a8)e123=α3+β3e123,

其中

α3=a1+a2e1+a3e2+a4e12,β3=-a5e12-a6e2+a7e1+a8.

令

ψ:Cl3,0→Mat(8,),aM3(a1,a2,…,a8),

(20)

式(20)中矩阵是Cl3,0基中元素左乘式(11)在Cl3,0的基(2)下所对应的矩阵. 通过映射ψ可得映射

(21)

所以

由引理1可得结论式(19).

3 Clp,q的矩阵表示

由于文献[8-9]刻画了Cl0,3的矩阵表示, 所以本文只考虑Cl2,1,Cl3,0的实矩阵表示.

先考虑Cl2,1的忠实实矩阵表示. 根据文献[8,10], 计算可得

Cl2,1≃Cl1,1⊗Cl1,0≃Mat(2,)⊗H≃〈e1,e2〉⊗〈e123〉.

(22)

令

从而可得如表1所示的Cl2,1基中元素的像乘法表, 其中D12=D1D2.

表1 Cl2,1基的像乘法表

令

由于

Cl2,1=〈e1,e2〉〈e123〉=〈e1,e2,e3〉,

从而可得下列代数同态：

ρ1：Cl2,1→Mat(4,),ek

(23)

所以Im(ρ1)是Cl2,1的忠实实矩阵表示. 于是可得下列结果:

定理4实Clifford代数

(24)

其中

表2 Cl2,1矩阵表示基元素乘法表

按上述方法构造的Cl2,1的非平凡实矩阵表示为2×2分块矩阵代数, 其中分块矩阵左上角为2×2实矩阵, 其余元素都是2×2零矩阵, 因此Cl2,1的矩阵表示为

Im(φ1)≃〈D1,D2〉≃Mat(2,).

(25)

根据Cl2,1的另一个非平凡同态

(26)

下面根据Cl3,0基的元素考虑Cl3,0忠实实矩阵表示. 根据文献[5-6]中公式, 可推导出

Cl3,0≃Cl1,1⊗Cen(Cl3,0)≃Mat(2,)⊗≃〈e1,e2〉⊗〈e123〉.

(27)

令

根据Cl3,0基元素的像可得如表3所示的乘法表.

表3 Cl3,0基的像乘法表

令

由于

Cl3,0=〈e1,e2〉〈e123〉=〈e1,e2,e3〉,

从而可得代数同态:

ρ2：Cl3,0→Mat(4,),ek

(28)

所以Im(ρ2)是Cl3,0的忠实实矩阵表示. 于是可得如下结果:

定理5实Clifford代数

由于

Cl3,0≃⊗H,Cl3,0≃〈e123〉⊗〈e1,e2〉, 〈e1,e2〉≃Mat(2,),

Cl3,0≃⊗H≃⊗Mat(2,).

本文通过Cl3,0≃⊗Mat(2,)构造了Cl3,0的实矩阵表示, 事实上, 通过Cl3,0≃⊗H可构造Cl3,0的其他实矩阵表示.