二维函数光子晶体不同函数形式对带隙结构的调控

张斯淇, 李 宏, 李美萱, 刘小涵

(吉林工程技术师范学院 量子信息技术交叉学科研究院, 吉林省量子信息技术工程实验室, 长春 130052)

光子晶体[1-2]是多种介电常数在空间呈周期性变化的人工微结构. 利用光子晶体的光子带隙和光子局域等特性可控制光子运动[3-8]. 光子晶体产生的物理效应可用于设计光子晶体器件, 如滤光器、 光开关、 激光器、 光纤及微腔等[9-12]. 文献[13-14]研究表明, 光子带隙带宽与光子晶体器件性能成正比, 带宽越宽应用价值越大. 可通过降低光子晶体结构的对称性得到较宽的光子禁带[15-16], 如改变散射子形状及晶格结构[17]、 采用复合式结构[18]或用各向异性介质材料代替各向同性材料[19]等方法. 但在实际中实现这些方法均存在困难, 如采用复合式结构方法会使光子晶体的结构变得复杂, 且不适合工艺制造. 文献[20]设计了一种二维函数光子晶体, 可通过对介质柱施加电场、 光场和磁场[21]改变其折射率. 在此基础上, 本文利用平面波展开法研究二维函数光子晶体介质柱介电常数不同的线性函数形式对横电(TE)波和横磁(TM)波带结构的影响. 数值计算结果表明： 二维函数光子晶体比二维常规光子晶体的带隙更宽； 通过变换介质柱介电常数不同的线性函数形式可使二维函数光子晶体带隙的个数、 位置及宽度均发生变化, 从而实现对二维函数光子晶体带隙的调节. 二维函数光子晶体易于调节且可重复使用, 仅需改变光强分布即可得到所需的带隙结构.

1 二维函数光子晶体

对于二维函数光子晶体, 介质柱的介电常数为εa(r), 介质柱位于介电常数εb的背景中. 二维函数光子晶体介电常数Fourier变换[20]表达式为

(1)

二维常规光子晶体介电常数Fourier变换表达式为

(2)

当方程(1)中的εa(r)=εa(εa为常数)时, 方程(1)即变换为方程(2)的形式. 二维光子晶体TM波和TE波特征方程分别为

(3)

(4)

二维函数光子晶体可通过Kerr效应或电光效应制备[19]. 考虑Kerr效应, 其介质柱的介电常数为

(5)

(6)

不同光强分布可得到不同介质柱介电常数的线性函数形式. 当光强分布为I=I0r(I0为光强振幅)时, 方程(6)变为

(7)

(8)

(9)

(10)

利用平面波展开法, 由方程(1),(3)，(4)计算二维函数光子晶体TE波和TM波的带隙结构, 由方程(2)～(4)计算二维常规光子晶体TE波和TM波的带隙结构.

2 数值分析

图1 二维三角晶格光子晶体

下面分别研究介质柱型二维三角晶格常规和函数光子晶体的带结构, 其三角晶格结构如图1所示. 二维三角晶格常规光子晶体TE波和TM波的带结构如图2所示, 其中归一化频率为纵坐标, 波矢为横坐标. 其结构参数为： 空气的介电常数εb=1, 介质柱材料的介电常数εa=12.96, 介质柱半径ra=0.3a(晶格常数a=10-6m). 由图2(A)可见, 当频率为0～0.8时, 在TE波带隙中出现3条光子禁带： 第一条禁带的频率为0.217～0.319, 带宽Δω=0.102; 第二条禁带的频率为0.413～0.532, 带宽Δω=0.119; 第三条禁带的频率为0.635～0.749, 带宽Δω=0.114. 由图2(B)可见, 在TM波的带隙中出现2条光子禁带： 第一条禁带的频率为0.349～0.384, 带宽Δω=0.035; 第二条禁带的频率为0.431～0.496, 带宽Δω=0.065. 当光波频率处于禁带位置时, 光波无法通过光子晶体, 但在其他波段可以通过光波, 从而实现了选频作用. 当频率为0.431～0.496时, TE波和TM波的带隙发生重叠, 即绝对禁带. 频率处于重叠波段的光在各方向均不能通过, 从而加强了光子晶体控光的能力.

图2 二维三角晶格常规光子晶体的带结构

介质柱介电常数函数形式为εa=k·r+b时的二维三角晶格函数光子晶体带结构如图3所示, 其中函数系数k=1.6×107,b=12.96,εb=1, 介质柱半径ra=0.3a. 由图3(A)可见, 当频率为0～0.8时, 在TE波带隙中出现4条光子禁带： 第一条禁带的频率为0.198～0.293, 带宽Δω=0.095; 第二条禁带的频率为0.373～0.495, 带宽Δω=0.122; 第三条禁带的频率为0.59～0.69, 带宽Δω=0.1; 第四条禁带的频率为0.714～0.724, 带宽Δω=0.01. 由图3(B)可见, 在TM波带隙中出现3条光子禁带: 第一条禁带的频率为0.321～0.369, 带宽Δω=0.048; 第二条禁带的频率为0.421～0.476, 带宽Δω=0.055; 第三条禁带的频率为0.711～0.72, 带宽Δω=0.009. 当频率为0.421～0.476和0.714～0.72时, 带隙中出现2条绝对禁带.

介质柱介电常数函数形式为εa=k·r2+b时的二维三角晶格函数光子晶体带结构如图4所示, 其中函数系数k=1.6×1013,b=12.96,εb=1, 介质柱半径ra=0.3a. 由图4(A)可见, 当频率为0～0.8时, 在TE波带隙中出现3条光子禁带: 第一条禁带的频率为0.212～0.311, 带宽Δω=0.099; 第二条禁带的频率为0.403～0.525, 带宽Δω=0.122; 第三条禁带的频率为0.624～0.74, 带宽Δω=0.116. 由图4(B)可见, 在TE波带隙中出现3条光子禁带: 第一条禁带的频率为0.341～0.382, 带宽Δω=0.041; 第二条禁带的频率为0.427～0.493, 带宽Δω=0.066; 第三条禁带的频率为0.729～0.733, 带宽Δω=0.004. 当频率为0.427～0.493和0.729～0.733时, 带隙中出现2条绝对禁带.

图3 介质柱介电常数函数形式为εa=k·r+b时的二维三角晶格函数光子晶体带结构

图4 介质柱介电常数函数形式为εa=k·r2+b时的二维三角晶格函数光子晶体带结构

介质柱介电常数函数形式为εa=k·(r+d)-1+b时的二维三角晶格函数光子晶体带结构如图5所示, 其中函数系数k=1.6×10-5,b=12.96,d=10-6,εb=1, 介质柱半径ra=0.3a. 由图5(A)可见, 当频率为0～0.8时, 在TE波带隙中出现4条光子禁带: 第一条禁带的频率为0.154～0.238, 带宽Δω=0.084; 第二条禁带的频率为0.298～0.396, 带宽Δω=0.098; 第三条禁带的频率为0.452～0.559, 带宽Δω=0.107; 第四条禁带的频率为0.622～0.698, 带宽Δω=0.076. 由图5(B)可见, 在TM波带隙中出现4条光子禁带: 第一条禁带的频率为0.259～0.293, 带宽Δω=0.034; 第二条禁带的频率为0.376～0.395, 带宽Δω=0.019; 第三条禁带的频率为0.495～0.524, 带宽Δω=0.029; 第四条禁带的频率为0.563～0.574, 带宽Δω=0.011. 当频率为0.376～0.395和0.495～0.524时, 带隙中出现2条绝对禁带.

介质柱介电常数函数形式为εa=k1·r2+k2·r+b时的二维三角晶格函数光子晶体带结构如图6所示, 其中函数系数k1=1.6×1013,k2=1.6×107,b=12.96,εb=1, 介质柱半径ra=0.3a. 由图6(A)可见, 当频率为0～0.8时, 在TE波带隙中出现4条光子禁带： 第一条禁带的频率为0.196～0.286, 带宽Δω=0.09； 第二条禁带的频率为0.368～0.486, 带宽Δω=0.118； 第三条禁带的频率为0.584～0.673, 带宽Δω=0.089； 第四条禁带的频率为0.698～0.714, 带宽Δω=0.016. 由图6(B)可见, 在TM波带隙中出现3条光子禁带: 第一条禁带的频率为0.314～0.363, 带宽Δω=0.049; 第二条禁带的频率为0.417～0.471, 带宽Δω=0.054; 第三条禁带的频率为0.7～0.71, 带宽Δω=0.01. 当频率为0.417～0.471和0.7～0.71时, 带隙中出现2条绝对禁带.

图5 介质柱介电常数函数形式为εa=k·(r+d)-1+b时的二维三角晶格函数光子晶体带结构

图6 介质柱介电常数函数形式为εa=k1·r2+k2·r+b时的二维三角晶格函数光子晶体带结构

二维函数光子晶体不同线性函数形式对应TE波和TM波带隙数目列于表1, 二维常规和函数光子晶体对应TE波和TM波的带隙位置和带宽列于表2. 由表1和表2可见, 在归一化频率为0～0.8内, 二维常规光子晶体与二维函数光子晶体的带隙个数、 位置及宽度均不相同, 介质柱介电常数不同线性函数形式对应的二维函数光子晶体比二维常规光子晶体的带隙数目多, 位置发生改变, 且可得到较宽的带隙. 二维常规光子晶体介质柱的介电常数是常数, 为均匀介质, 对称性较高, 二维常规光子晶体的带隙结构无法更改. 二维函数光子晶体介质柱的介电常数是空间位置坐标函数, 为非均匀介质, 具有点群对称性, 但平移对称性降低, 从而整体对称性降低. 由于二维函数光子晶体可通过光折变非线性光学效应或电光效应制备, 将所有介质柱两端并联, 同时加上外电压, 其电压随时间变化为不同的函数形式, 介质柱介电常数变化曲线发生改变, 导致相应的带隙结构发生改变. 因此通过调节电压, 可得到较宽的光子禁带.

表1 二维函数光子晶体不同线性函数形式对应TE波和TM波的带隙数目

表2 二维常规和函数光子晶体对应TE波和TM波的带隙位置和带宽

综上, 本文用平面波展开法研究了二维函数光子晶体介质柱介电常数不同的线性函数形式对TE波和TM波带结构的影响. 数值计算结果表明: 与二维常规光子晶体相比, 二维函数光子晶体的带隙数目较多, 带隙位置发生移动且可得到更宽的带隙； 通过变换介质柱介电常数不同的线性函数形式可使二维函数光子晶体的带隙个数、 位置和宽度均发生变化, 从而实现对二维函数光子晶体带隙的调节. 因此二维函数光子晶体不需重新制备, 可重复使用.