基于对数型滑模面分数阶Rucklidge系统的自适应滑模同步

2021-05-26范贺花周永卫雷腾飞毛北行

吉林大学学报（理学版） 2021年3期

范贺花, 周永卫, 雷腾飞, 毛北行

(1. 郑州航空工业管理学院数学学院, 郑州 450015； 2. 齐鲁理工学院机电工程学院, 济南 250200)

混沌系统及其同步已引起人们广泛关注, 滑模方法对未知系统及不确定参数具有极强的鲁棒性. 目前，针对非线性系统的滑模同步已取得较多的研究成果[1-19]：文献[11]研究了Newton-Leipnik不确定分数阶混沌系统滑模同步的两个设计方案, 给出了滑模和积分滑模两种滑模控制技巧；文献[12]研究了不确定分数阶混沌系统的终端滑模同步；文献[13]研究了不确定Sprott混沌系统的自适应滑模同步, 设计了控制律和适应规则；文献[14]研究了一类时滞不确定分数阶金融混沌系统的滑模同步, 给出了滑模函数的构造；文献[15]构造了一类纠缠混沌系统并研究了比例积分滑模同步问题；文献[16]研究了Rucklidge混沌现象的演示器设计；文献[17]研究了分数阶Rucklidge混沌系统的同步控制；文献[18]研究了Rucklidge系统的同步及其在保密通信中的应用；文献[19]研究了Rucklidge混沌系统的分岔与电路实现. 由于引入分数阶微积分, 因此使分数阶系统建模时更符合工程实际要求, 应用滑模方法可使系统具有良好的鲁棒性能, 由于实际系统均需考虑模型的不确定及外部扰动的影响, 且针对分数阶不确定Rucklidge混沌系统设计滑模控制的研究较少, 因此本文通过设计对数型滑模面研究不确定分数阶Rucklidge混沌系统的自适应滑模同步, 得到了不确定分数阶和整数阶Rucklidge系统滑模同步的两个充分条件.

1 主要结果

定义1[19]分数阶α阶导数Caputo定义为

分数阶不确定Rucklidge系统[17]可描述为

(1)

当a=-2,b=6.7,q=0.978时, 系统(1)的吸引子如图1所示.

图1 系统(1)的混沌吸引子

以系统(1)为主系统, 设计从系统为

(2)

(3)

假设1设不确定项Δfi(y)和外部扰动di(t)有界, 即存在未知参数ki>0, 使得

|Δfi(y)+di(t)|

引理1[20]若x(t)为连续可微函数, 则对∀t≥t0, 有

定理1在假设1条件下, 设计滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律为

(4)

自适应律为

(5)

不在滑模面上时, 设计

(6)

其中|1+ei(t)|=(1+ei(t))sgn(1+ei(t))=esi(t), e为无理数.

考虑整数阶不确定Rucklidge系统

(7)

以系统(7)为主系统, 设计从系统为

(8)

其中Δfi(y)为系统的不确定项,di(t)为有界的外部扰动,ui为控制律, 定义ei(t)=yi(t)-xi(t), 从而

(9)

定理2在假设1条件下, 设计滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律为

(10)

自适应律为

(11)

对式(12)两边积分可得

利用引理3可得si(t)→0, 从而ei(t)→0.

2 数值仿真

用MATLAB进行数值仿真. 参数为a=-2,b=6.7,q=0.978, 初始值设为(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.5,0.2,0.8), (y1(0),y2(0),y3(0))=(0.4,0.6,0.2), Δf1(y)=0.5cos(2πy1), Δf2(y)=0.6cos(2πy2), Δf3(y)=0.5cos(2πy3). 有界外部扰动d1(t)=0.5cos(t),d2(t)=0.4sin(t),d3(t)=0.5cos(2t). 定理1和定理2中系统参数分别为

在假设1条件下, 设计滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律为式(4), 自适应律为式(5). 在假设1条件下, 设计滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律为式(10), 自适应律为式(11).

图2 定理1中的系统误差曲线

定理1和定理2中的系统误差曲线分别如图2和图3所示. 由图2和图3可见, 系统误差在初始时相差较大, 且距原点较远, 一段时间后逐渐趋近于坐标原点. 定理1和定理2中滑模函数的变化曲线分别如图4和图5所示. 由图4和图5可见, 对数型滑模面比其他滑模面趋近原点的速率更快, 系统可在更短时间内趋于坐标原点, 与传统的自适应滑模方法相比, 本文采用的滑模函数及控制器对整数阶系统均适用, 且形式简便易于操作.