三角代数上的Jordan零点高阶ξ-Lie可导映射

柳 静, 张建华

(陕西师范大学 数学与信息科学学院, 西安 710119)

则{φn}n∈是一个高阶导子, 其中[U,V]ξ=UV-ξVU为ξ-Lie积, U∘V=UV+VU为Jordan积. 并得到套代数上Jordan零点高阶ξ-Lie可导映射的具体形式.

1 引言与预备知识

设A是数域F上含单位元的代数,U,V∈A. 给定ξ,ζ∈F, 称[U,V]ξ=UV-ξVU和U∘V=UV+VU分别为U和V的ξ-Lie积与Jordan积. 设φ: A→A是线性映射, {φn}n∈: A→A是一列线性映射(φ0=idA为恒等映射). 如果对任意U,V∈A及n∈, 有

则称{φn}n∈是A上的高阶导子. 如果对任意U,V∈A, 有

φ([U,V]ξ)=[φ(U),V]ξ+[U,φ(V)]ξ,

(1)

则称φ是A上的ξ-Lie导子. 如果对任意U,V∈A且[U,V]ζ=0有式(1), 则称φ是A上的ζ-Lie零点ξ-Lie可导映射. 特别地, 当ζ=-1,0,1时,ζ-Lie零点ξ-Lie可导映射分别为Jordan零点ξ-Lie可导映射、 零点ξ-Lie可导映射、 Lie零点ξ-Lie可导映射. 如果对任意U,V∈A及n∈, 有

(2)

则称{φn}n∈是A上的高阶ξ-Lie导子. 如果对任意U,V∈A及n∈且U∘V=0有式(2), 则称{φn}n∈是A上的Jordan零点高阶ξ-Lie可导映射.

目前, 关于算子代数上满足某种条件的可导映射和高阶可导映射的研究已得到广泛关注, 并取得许多成果[1-10]. 例如: 文献[1]证明了三角代数上互逆元处的高阶ξ-Lie可导映射是高阶导子; 文献[2]研究了三角代数上Jordan积为幂等元处的高阶ξ-Lie 可导映射, 并得到了套代数上该类高阶ξ-Lie可导映射的具体形式; 文献[3]刻画了三角代数上交换零点ξ-Lie高阶可导映射; 文献[4]研究了三角代数上的Jordan零点ξ-Lie可导映射, 并给出了其结构. 基于此, 本文讨论三角代数上的Jordan零点高阶ξ-Lie可导映射.

设A和B是实或复数域F上含单位元的代数, M是(A,B)-忠实双边模. 在通常的矩阵运算下, 称

为F上三角代数. 设U是三角代数且Z(U)表示其中心, 则由文献[5]中性质3知

设I是U的单位元,IA和IB分别是A和B的单位元. 记

U11=P1UP1, U12=P1UP2, U22=P2UP2.

显然, 三角代数U被分解为U=U11+U12+U22且U12是(U11,U22)-忠实双边模.

2 主要结果

引理1对任意n∈, 有:

1)φn(I)=P1φn(I)P1+P2φn(I)P2∈Z(U );

2) 对任意幂等元P∈U, 有Pφn(P)P=Pφn(I)=φn(I)P且(I-P)φn(P)(I-P)=0.

证明: 对任意幂等元P∈U, 由P∘(I-P)=0得

对式(3)分别左乘P、 右乘P, 得

(4)

(5)

由文献[4]中引理2.1和断言5可知, 如果ξ≠1， 则对任意幂等元P∈U, 有

φ1(I)=P1φ1(I)P1+P2φ1(I)P2∈Z(U ),

Pφ1(P)P=Pφ1(I)=φ1(I)P,

(I-P)φ1(P)(I-P)=0.

假设当1≤k

φk(I)=P1φk(I)P1+P2φk(I)P2∈Z(U ),

Pφk(P)P=Pφk(I)=φk(I)P,

(I-P)φk(P)(I-P)=0.

则式(4)和式(5)的左边分别为

表明式(4)和(5)左边相等. 从而由式(4)和式(5)右边相等及ξ≠0,1可知, 对任意幂等元P∈U, 均有

Pφn(P)P=Pφn(I)=φn(I)P.

(6)

于是

Pφn(I-P)P=0,

(7)

Pφn(I)(I-P)=0.

(8)

在式(7)中用I-P替换P, 则对任意幂等元P∈U, 有

(I-P)φn(P)(I-P)=0.

在式(8)中取P=P1, 则P1φn(I)P2=0, 从而

φn(I)=P1φn(I)P1+P2φn(I)P2.

(9)

对任意U12∈U12, 显然P1+U12是U中的幂等元, 从而由式(6)得

(P1+U12)φn(I)=φn(I)(P1+U12),

φn(I)P1=P1φn(I).

于是对任意U12∈U12, 有U12φn(I)=φn(I)U12. 又由式(9), 有

φn(I)=P1φn(I)P1+P2φn(I)P2∈Z(U).

证毕.

引理2对任意n≥1, 有

φn(U12) ⊆U12,φn(P1),φn(P2)∈U12,φn(I)=0.

证明: 由文献[4]中断言7知,

φ1(U12)⊆U12,φ1(P1),φ1(P2)∈U12,φ1(I)=0.

假设当1≤k

对式(10)分别左右两边同乘P1和P2, 并由ξ≠0及U的2-无扰性, 可得

P1φn(U12)P1=P2φn(U12)P2=0.

表明φn(U12)⊆U12. 对式(10)左乘P1、 右乘P2, 并由ξ≠-1及引理1可得

φn(I)U12=U12φn(I)=0.

于是P1φn(I)P1=P2φn(I)P2=0, 从而由引理1得

φn(I)=0,P1φn(P1)P1=P2φn(P1)P2=0.

因此φn(P1),φn(P2)∈U12. 证毕.

引理3对任意n≥1, 有

φn(U11)⊆U11+U12,φn(U22)⊆U12+U22.

证明: 由文献[4]中断言8知, 当n=1时,φ1在U上是导子, 从而φ1(U11)⊆U11+U12. 假设当1≤k

对任意U11∈U11, 因为P2∘U11=0, 所以由归纳假设可得

又因为ξ≠1, 于是P2φn(U11)P2=0. 因此φn(U11)⊆U11+U12.

同理, 对任意U22∈U22, 有φn(U22)⊆U12+U22. 证毕.

引理4对任意n∈,U11∈U11,U22∈U22, 有

证明: 由于U11∘U22=0, 由引理3有

引理5对任意n∈,U11∈U11,V12,U12∈U12,V22∈U22, 有:

证明: 1) 由于(U11-U11V12)∘(V12+P2)=0, 由引理2～引理4得

从而

2) 同理, 由(U12+P1)∘(V22-U12V22)=0及引理2～引理4可得

证毕.

引理6对任意U11,V11∈U11,V12∈U12,U22,V22∈U22, 有：

由引理5中1)及归纳假设知, 一方面有

另一方面, 有

比较式(11)和式(12), 得

进而由U12的忠实性, 得

(13)

下面证明

对任意U11∈U11, 由于U11∘P2=0, 由引理2和引理3可得

从而可得

(14)

同理, 对任意U22∈U22, 有

(15)

再由引理3、 式(14)及归纳假设知, 对任意U11,V11∈U11, 有

因此可得

(16)

进而由式(13),(16)及引理3有

2) 同理, 对任意U22,V22∈U22, 有

证毕.

定理1设U=Tri(A,M,B)是一个2-无扰的三角代数, {φn}n∈是U上的Jordan零点高阶ξ-Lie可导映射(ξ≠0,±1), 则{φn}n∈是U上的高阶导子.

证明: 对任意U,V∈U, 有U=U11+U12+U22,V=V11+V12+V22, 其中Uij,Vij∈Uij(1≤i≤j≤2). 于是, 由引理2～引理6得

即{φn}n∈是U上的高阶导子. 证毕.

设H是实或复数域F上的Hilbert空间, B(H )表示H上的全体有界线性算子, H上的套N是一簇包含H和{0}的全序闭子空间, 且在任意交和任意闭线性张运算下封闭, 套N相应的套代数为Alg N ={T∈B(H ):TN⊆N, ∀N∈N }. 由定理1, 有如下结论:

推论1设N是Hilbert空间H上的一个非平凡套, Alg N是相应的套代数, {φn}n∈是Alg N上的Jordan零点高阶ξ-Lie可导映射(ξ≠0,±1), 则{φn}n∈是Alg N上的高阶导子.