von Neumann 代数上保持混合三重η-*-积的非线性映射

2022-10-20张芳娟朱新宏

华中师范大学学报（自然科学版） 2022年5期

关键词：断言共轭同构

张芳娟，朱新宏

(1.西安邮电大学理学院，西安 710121； 2.西安现代控制技术研究所，西安 710065)

1) 如果对所有B∈M有ABP=0，那么A=0.

2) 如果η是非零常数且对任意T∈M有(PT(I-P))·ηA=0，那么A(I-P)=0.

引理3[6]设M是von Neumann代数，A∈M，若对所有的B∈M，有AB+BA*=0，则A=-A*∈Z(M).

1 可加性

断言1φ(0)=0.

断言2任取A12∈M12，A21∈M21，则φ(A12+A21)=φ(A12)+φ(A21).

断言3设i，j∈{1，2}，若i≠j，Aii∈Mii，Aij∈Mij，Ajj∈Mjj，则φ(Aii+Aij)=φ(Aii)+φ(Aij)，φ(Ajj+Aij)=φ(Ajj)+φ(Aij).

断言4设i，j∈{1，2}，若i≠j，Aii∈Mii，Aij∈Mij，Aji∈Mji，则φ(Aii+Aij+Aji)=φ(Aii)+φ(Aij)+φ(Aji).

由此可得Xij=Aij，Xji=Aji，Xjj=0，则X=Xii+Aij+Aji.

由此可得Xii=Aii.

断言5任取A11∈M11，A12∈M12，A21∈M21，A22∈M22，则φ(A11+A12+A21+A22)=φ(A11)+φ(A12)+φ(A21)+φ(A22).

由此可得X11=A11，X12=A12，X21=A21.类似可得X22=A22.

断言6设i，j∈{1，2}，若i≠j，Aij，Bij∈Mij，则φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij).

则φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij).

断言7设i，j∈{1，2}，若i≠j，Aii，Bii∈Mii，则φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).

由此可得Xjj=Xji=Xij=0.

任取Cij∈Mij，i≠j，由断言6得

由此可得(Xii-Aii-Bii)Cij=0.即对所有的C∈M，有(Xii-Aii-Bii)CPj=0.由引理2得Xii=Aii+Bii.所以φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).

断言8φ是可加的．

由断言5～7得φ是可加的．

2 线性

若η=-1，则有下面定理．

定理2设M和N是两个von Neumann代数，其中至少有一个无中心交换投影.若φ是从M到N的双射并且满足对所有A，B，C∈M有φ([A·B，C]*)=[φ(A)·φ(B)，φ(C)]*，则下列结论成立：φ(I)φ是线性*-同构和共轭线性*-同构的和，其中φ(I)是N中自伴中心元且φ(I)2=I.

证明分下面几步完成．

第一步1) 任取A∈M，则φ(A)*=φ(A)当且仅当A*=A；

2)φ(Z(M))=Z(N).

由于φ是满射，所以存在B∈M，使得φ(B)=I.则对任意A∈M有

0=φ([iI·A，B]*)=[φ(iI)·φ(A)，I]*=φ(iI)(φ(A)-φ(A)*)+(φ(A)-φ(A)*)φ(iI)*.

φ(iI)=-φ(iI)*∈Z(N).

(1)

类似可得φ-1(iI)∈Z(M).

令A=A*∈M且φ(B)=I.则

0=φ([B·A，φ-1(iI)]*)=[I·φ(A)，iI]*= 2iφ(A)-2iφ(A)*.

由此可得φ(A)=φ(A)*.同理若φ(A)=φ(A)*，则

0=φ-1([φ(I)·φ(A)，φ(iI)]*)= [I·A，iI]*=2iA-2iA*.

所以A=A*，因此φ双边保持自伴元．

任取Z∈Z(M)且φ(B)=I.对所有A=A*∈M，有

0=φ([B·A，Z]*)=[I·φ(A)，φ(Z)]*= 2(φ(A)φ(Z)-φ(Z)φ(A)*).

第二步1)φ(iI)*=-φ(iI)，φ(I)2=I；

2)任取A∈M，则φ(A*)=φ(A)*.

由第一步和式(1)得

4φ(iI)=φ([I·iI，I]*)=[φ(I)·φ(iI)，φ(I)]*=

2φ(I)2(φ(iI)-φ(iI)*)=4φ(I)2φ(iI).

即

φ(iI)=φ(I)2φ(iI).

(2)

对所有A=A*∈M，由第一步和式(1)得

-4φ(A)=φ([A·iI，iI]*)= [φ(A)·φ(iI)，φ(iI)]*=4φ(iI)2φ(A).

φ(iI)2=-I.

(3)

由式(2)和式(3)得

φ(I)2=I.

(4)

任取A∈M，因为φ(I)是自伴中心元，所以2φ(A-A*)=φ([I·A，I]*)=[φ(I)·φ(A)，φ(I)]*=2φ(I)2(φ(A)-φ(A)*).联合式(4)得φ(A)*=φ(A)*.

定义映射ψ：M→N，对所有A∈M，有ψ(A)=φ(I)φ(A).ψ有下面性质．

第三步1)ψ是可加的双射，对所有A，B，C∈M，满足ψ([A·B，C]*)=[ψ(A)·ψ(B)，ψ(C)]*；

2)ψ(I)=I，ψ(iI)2=-I，ψ(iI)*=-ψ(iI)，ψ(Z(M))=Z(N)；

3) 对所有A∈M，有ψ(A*)=ψ(A)*；

4)P是M中投影当且仅当ψ(P)是N中投影．

1)、2)、3)易得，下面证明4).若P是M中投影，一方面

4ψ(iP)=ψ([I·iI，P]*)= [I·ψ(iI)，ψ(P)]*=4ψ(iI)ψ(P).

另一方面，

4ψ(iP)=ψ([I·iP，P]*)= [I·ψ(iP)，ψ(P)]*=4ψ(iI)ψ(P)2.

所以，ψ(iI)ψ(P)=ψ(iI)ψ(P)2.由ψ(iI)2=-I得ψ(P)=ψ(P)2.所以，ψ(P)是N中的投影．

下面的证明不需要N无中心交换投影的条件，所以上面的结果对ψ-1成立.若ψ(P)是N中的投影，则P=ψ-1(ψ(P))是M中的投影．

第四步ψ(Mij)=Nij，ψ(Mii)⊆Nii，1≤i≠j≤2.

任取Aij∈Mij，有

由此可得Qiψ(Aij)Qi=Qjψ(Aij)Qj=Qjψ(Aij)Qi=0，则ψ(Mij)⊆Nij.再用同样方法考虑映射ψ-1，所以ψ(Mij)=Nij.

任取Aii∈Mii，由

0=ψ([Pj·iI，Aii]*)=[Qj·ψ(iI)，ψ(Aii)]*= 2ψ(iI)(Qjψ(Aii)+ψ(Aii)Qj)，

得Qiψ(Aii)Qj=Qjψ(Aii)Qi=Qjψ(Aii)Qj=0，则ψ(Mii)⊆Nii.

第五步ψ是可乘的．

由ψ(Aij)ψ(Bii)*=0，i≠j得

任取Dij∈Nij，由第四步得Cij=ψ-1(Dij)∈Mij，所以

ψ(AiiBii)Dij=ψ(AiiBiiCij)=ψ(Aii)ψ(BiiCij)=ψ(Aii)ψ(Bii)Dij.

计算得

ψ(AijBji)-ψ(BjiAij)=ψ([Aij·I，Bji]*)= [ψ(Aij)·I，ψ(Bji)]*=ψ(Aij)ψ(Bji)-ψ(Bji)ψ(Aij).

所以，

ψ(AijBji)=ψ(Aij)ψ(Bji)，ψ(BjiAij)=ψ(Bji)ψ(Aij).

任取Dji∈Nji，由第四步得Cji=ψ-1(Dji)∈Mji，所以，

ψ(AijBjj)Dji=ψ(AijBjjCji)=ψ(Aij)ψ(BjjCji)=ψ(Aij)ψ(Bjj)Dji.

第六步存在中心投影E∈M，使得ψ限制在ME上是线性映射，ψ限制在M(I-E)上是共轭线性映射．

任取有理数q，有ψ(qI)=qI.取M中正元A，则存在自伴元B∈M使得A=B2.由第五步得ψ(A)=ψ(B)2，由ψ(B)是自伴元得ψ(A)是正元，所以ψ保持正元．

设λ∈，取两个有理数列{an}，{bn}使得an≤λ≤bn和对所有的n都成立.由anI≤λI≤bnI得anI≤ψ(λI)≤bnI.取极限得ψ(λI)=λI.因此对所有A∈M，有ψ(λA)=ψ(λI)ψ(A)=λψ(A)，则ψ是实线性的．

ψ(iAE)=ψ(A)ψ(E)ψ(iI)=ψ(A)ψ(E)i(2F-I)=iψ(A)F=iψ(AE)

和

ψ(iA(I-E))=ψ(A)ψ(I-E)ψ(iI)= -iψ(A)(I-F)=-iψ(A(I-E)).

因此，ψ限制在ME上是线性映射，ψ限制在M(I-E)上是共轭线性映射．

定理3设M和N是两个von Neumann 代数，其中至少有一个无中心交换投影，η∈{0，±1}，φ：M→N是非线性双射且满足φ(I)=I，φ(iI)*=-φ(iI)，则φ保持混合三重η-*-积当且仅当下列结论成立： i)若|η|=1，则φ是线性*-同构；ii)若|η|≠1，则φ是线性*-同构和共轭线性*-同构之和．

证明分两种情况进行讨论．

情形1|η|=1.

断言1φ双边保持自伴元．

取A=A*∈M，则