开拓通融视界，营造通融课堂

周瑶菁

【摘要】如何开拓学生的通融视界，引导学生实现理法融通，使算理和算法相得益彰，助力知识的内化，从而营造通融课堂呢？本文从三个方面阐述理法融合的策略：一、建构联系，把握本质;二、辨析交流，活化思维;三、凸显思想，理法相融。

【关键词】算法  算理  理法融通  通融课堂

【课题项目】本文系泉州市教育科学“十四五”规划（第一批）立项课题《小学数学“通融课堂”的教学策略研究》研究成果，立项号：QG1451-234。

【中图分类号】G623.5   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）33-0107-02

许贻亮名师的小学数学“通融课堂”的教学主张里指出：教与学必须求“通”、求“融”，以师之“通”达成生之“通”，以师之“融”达成生之“融”。怎样将“通融课堂”的追求扎根于课堂，开出“具体的花”？本课以运算教学为例，谈谈自己的思考与实践。《数学课程标准（2011版）》中指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题[1]。”从中可以解读出两个关键词：正确运算和理解算理。如何开拓学生的通融视界，引导學生实现理法融通，使算理和算法相得益彰，助力知识的内化，从而营造通融课堂呢？

一、建构联系，把握本质

许贻亮名师说过：发现联系，看清联系，揭示联系，有机地把它们融合起来，就能给学生的发展提供更多助力[2]。计算教学中，算理是内化，算法是外显，将二者作为交流的过程恰恰是最有意义和价值的。在教学中，沟通算法间的横纵联系，可帮助学生在对比联系中感悟算理，抵达计算的本质。因此，沟通交流不同算法之间的联系是学生深刻理解算理的推力。

如，北师大版三年级下册“两位数乘两位数笔算乘法”这一课，本课学习的目标之一是经历探索两位数乘两位数笔算方法的过程，会笔算两位数乘两位数的方法。教材以算式14×12为例，安排了三个层层递进的学习活动。第一个活动是尝试独立计算14×12，第二个活动是解释算式的道理，并结合点子图说明竖式每一步的意思，第三个活动是总结归纳两位数乘两位数的算法和需要提醒的事项。其中第二个活动是学习重点。当学生结合点子图对算理已经基本理解，这个时候可以把学生展示的几种算法进行联系，让学生观察其中的异同，就会有新的发现：“每一种方法都需要把这两个两位数中的每一位上的数进行相乘，然后把乘得的结果加起来，其中的道理是一样的。”通过横向对比让学生明白三种方法殊途同归，沟通了图示表征、算式表达与计算过程之间的联系，帮助学生清晰地梳理“关键点”与“关键点”之间的关系，从更高的层面领悟算理的本质。

二、辨析交流，活化思维

在教学中，不难发现，学生“说清楚”比“做正确”难得多，“说清楚”意味着思维结构清晰、逻辑关系明确、表达清晰有序[3]。因此要经常鼓励学生对数学问题进行深入思考、灵活辨析、积极辩论，并把自己的思维过程用合适的方式表达出来，由辩促思。

如，在高年级分数的应用题教学中，这样的教学方法司空见惯：从带有分率的那个条件中判断谁是单位“1”，如果单位“1”已知，用乘法计算;如果求单位“1”，就用除法计算。但是解决实际的问题，学生往往不知从何下手。尤其在解决有关“增加几分之几”和“减少几分之几”的问题时，学生更是容易混淆。

比如，可以围绕这个以下问题进行辨析交流：

（1）一盏台灯涨价10元，又降价10元，结果不变。

（2）一盏台灯涨价1/10，又降价1/10，结果不变。

这样的问题设置，引发对比、突显矛盾，引发学生想辨清楚的欲望。对于第一个问题学生很容易理解。第二个问题由绝对量改成相对量，结果是变还是不变呢？学生必然会去思考分析其中数学含义的变化。针对第二个问题展开说理：

生：我认为结果会变。我的理由：我把百格图视为单位1，并平均分成10份。先涨价1/10就是把单位1增加了1份也就是增加了1列。而降价了1/10就是把现在的图看作单位1，平均分成10份，而现在有11列，10行，所以减少了其中的1行就是1份，最后剩下11列9行，一共99格，与原来的100格比少了1格，所以结果变小了。

生：首先我把一个完整的圆也就是原价当作单位1，把单位1平均分成10份，涨价了1/10，所以有11份。现在降价了1/10，降价的是11份的1/10。降价后发现并不是一个完整的圆，所以结果变小了。通过带有冲突性的问题来鼓励学生开展思辩的的过程，表面上解决了学生说的问题，实质是解决了学生归纳、总结、明道理的问题，使得思考过程更加清晰，计算更加自信。

三、凸显思想，理法相融

1.数形结合，深入理解

计算教学中，直观模型的应用必不可少。直观模型是架起算理与算法之间的一座桥梁，使学生能够直观体悟计算的道理。通过数形结合，将“枯燥的算法”和“神奇的算理”尽量揭示透彻，让学生明确地意识到“法中见理，理中得法，原本不可剥离”。

例如，北师大版五年级下册“分数除法（二）”这节课，当教师提出问题：“有4张同样大的饼，每张分1份，可分成几份？”学生不难得出结果是“8份”，很明显可以看出学生对整数除以分数的算法有一定的了解。但仅仅“会算”是不够的，而要追问得到这个结果的理由，引发学生寻找算法背后隐含的本质道理。此时教师鼓励学生通过画图的方式来辅助说明自己的想法。学生边展示自己画的图示，边用算式记录分饼的操作过程。图示、算式和表达合为一体，直观地展现4÷就是表示4里面有几个。学生经历用图示表征求解计算的步骤，主动将数学知识产生的过程、方法、结果与图示相结合，使抽象的算理变得直观形象。老师的角色很清晰，帮助学生从直观的角度感悟计算道理，在交流和实践中促使学生的思维走向知识的内涵，从而深层次理解算理。

2.渗透转化，促进联结

转化不仅是一种解决问题的策略，更是一种意义重大的数学思想。数学思想方法是蕴涵于数学知识背后的隐性知识，不能像显性的数学知识那样直接告知。那么，如何在平衡算理与算法的关系中，引导学生感悟转化思想呢？

罗鸣亮老师在《小数乘整数》这节课中，转化思想渗透得淋漓尽致。这节课教学内容非常简单，几乎所有同学都能正确地进行小数乘整数的计算。那么这节课教什么就成了老师要认真思考的问题。因此罗老师在课一开始让学生提出自己想了解想研究的问题。不出所料，学生都想知道小数乘整数和整数乘整数有什么区别和联系等等。

以此为契机，罗老师问，有个同学画了这样一幅图，四组圆，每组3个，你觉得是表示30×4=120还是表示0.3×4=1.2的道理呢？十分輕松、看似无意的一问却催生了转化的需要。一开始学生的注意力都聚焦在图示上，都习惯性地认为应该表示3×4，可是算式选项中却没有出现这个算式。在丰富的交流和思维碰撞中，学生恍然大悟，发现这个图不仅可以表示30×4=120的道理，也可以表示0.3×4=1.2的道理。罗老师没有让学生停下思考的步伐，继续追问：这个图还能表示哪些算式的道理？他巧妙地抓住了学生思考的支撑点，学生理解道理的生长点如芝麻开花节节高。罗老师把这幅图用活了，引导学生发现，无论是0.3×4，0.003×4，还是300×4等等，都是先转化成3×4来计算。巧妙地将计数单位引入到小数乘整数的计算中，“计算、计算，就是计一计、算一算有多少个计数单位”，将抽象的计算原理变得形象化，学生脑海中的转化思想从朦胧走向明晰，发现小数乘整数是基于之前掌握的整数乘法来解决，充分感受了转化思想的价值。

3.变与不变，达成融合

张奠宙先生在《返璞归真  正本清源》一文中谈到：“比这一概念的本源是比较。”比的数学本质是表示和度量两个数量之间的倍数关系，若结合比的由来与发展，便不难发现这一数学概念的“生长点”与“扩展点”：比从除法、倍、分数中生成，最后再回归到比例与函数中去，在感受知识内在关联性的同时体验变与不变的思想。

《生活中的比》一课，从探究分数的比，到圆的比，再到生活问题的解决，在同类量比较中经历比的形成过程，体会认识比的必要性，理解比的意义，是实现概念教学从表层记忆走向数学理解。在探索蜜水的甜度的实验活动中，教师通过设计层层问题，不断追问，如“你发现什么在变？什么一直不变”、“两杯蜜水确定一样甜吗？怎么就知道一样甜呢？”“这杯蜜水倒进另一个杯子里，甜度一样吗？”加强学生对现实生活中数量关系的理解和认识，潜移默化地渗透变与不变及函数等数学思想，实现对数学概念本质的理解和追溯。

许贻亮名师指出：在追寻“通融课堂”的教学与学习实践中，学生所建构的数学认知结构稳固、灵活、有张力，学习后劲大，学习能力强，学习成效优;教师既关注学生学习的现在，更着眼于学生学习的未来，以能力带动知识，以思维提升学力，充分享受为师者的教学之乐。“通”与“融”的开始是不知不觉的，在计算教学中，我们应该充分关注学生计算背后的思想活动，努力尝试多种方式促进学生对算理的理解和对算法的掌握，力求算理和算法合二为一：建构联系、辨析交流、凸显思想，从而实现理法融通，营造通融课堂，让学生的学习真实、自然地发生。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.

[2]许贻亮.小学数学“通融课堂”的教学实践[M].福建人民出版社，2019.

[3]陈淑娟.核心问题引领下的说理课堂[M].辽宁大学出版社，2021.