条条大路通圆心——小议与圆相关的距离问题

韩 敏

在判断直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系时，可以通过距离来衡量.我们看两个简单的结论：

结论1：已知点P(x0,y0)在圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0) 的外面，则圆M上任一点到点P距离的最大值为最小值为

圆是最完美的曲线，正因为其完美，很多的距离问题都与之相关.

结论2：已知直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)相离，则圆M上任一点到直线l距离的最大值为最小值为

敲黑板

有些习题“套路深”，在表述的过程中，会故意避免“距离”一词的出现，从而让距离问题披上了一层神秘.

你发现了吗？结论1 的本质是点与点之间的距离，而结论2 的本质是点到直线之间的距离.

一、将“距离”隐藏

1.利用不等式道“距离”

例 1圆C:(x-h)2+(y-1)2=1在不等式x+y+1≥0 所表示的区域内，则h的最小值为________.

解析二元一次不等式可以表示一条直线的某一侧平面区域，圆在该区域内即要求圆心到直线的距离大于或等于半径.

同时要求圆心(h,1) 在直线x+y+1=0 的上方，所以h≥-2，

即h的最小值为-2.

2.利用几何图形道“距离”

例 2过直线l:y=2x上一点P作圆C:(x-8)2+(y-1)2=2的切线l1,l2，若l1,l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________.

解析因为l1,l2关于直线l对称，所以有CP⊥l，即求圆心到直线的距离.

二、将“圆”隐藏

1.利用轨迹方程得到“隐形圆”

例 3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1及点A(0,2)，若圆上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是________.

解析由MA2+MO2=10 可知点M的轨迹为圆，所以本题实际上是圆与圆的位置关系，要求的是两个圆心之间的距离的范围.

设点M(x,y)，由MA2+MO2=10 可知：x2+(y-2)2+x2+y2=10，

化简得圆C′：x2+(y-1)2=4.

所以该圆C′与圆C相交，则有

2.利用圆的定义得到“隐形圆”

例 4在平面直角坐标系xOy中，△ABC的外接圆方程为x2+y2=4，∠ACB=

M为AB边的中点，设P(-2,2)，则线段PM长度的取值范围是__________.

解析由∠ACB=可知∠AOB=，MO=1，所以点M的轨迹为圆，实际上是圆上一点与圆外一点的距离问题.

由∠ACB=，知∠AOB=，所以OM=OAcos60°=1，

图1

所以点M的轨迹方程为x2y2+=1，点M在以O为圆心，半径为1 的圆上.

又P(-2,2)，则OP=，所以

所以线段PM长度的取值范围是

三、将存在性问题转化为距离

1.利用图形的对称性进行转化

例 5已知圆C的方程为x2+y2-4x=0，若直线y=k(x+1)上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是__________.

解析因为所作的两条切线是垂直的，所以点P和两个切点，圆心四个点构成一个正方形.

圆C的方程为(x-2)2+y2=4，圆心为C(2,0)，所以圆心到直线的距离

2.利用直角三角形进行转化

例 6设点M(x0,1)，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是________.

解析直线MN与圆O有公共点，即圆心O到直线MN的距离小于等于1.

如图2，过OA⊥MN，垂足为A，

在Rt△OMA中，因为∠OMN=45°，所以|OA|=|OM|sin 45°=解得|OM|≤

因为点M(x0,1)，所以解得-1≤x0≤1，

故x0的取值范围是[-1,1].

图2

牛刀小试

1.已知直线ax+y-2=0 与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=________.

2.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上，若圆C上的点M，满足MA=2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围为________.

3.圆C的方程(x-1)2+(y-1)2=9，直线l:y=kx+3与圆C相交于A,B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2 为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围是________.