结构不良 数列称王——老师，我怎样学会深度学习数列

王思俭

新高考试卷中出现的结构不良问题偏爱数列与解三角形，有何破解妙招？苏州中学的“学霸”们正讨论得热火朝天！

“结构不良型”试题主要指试题的目标、条件和解决三者中至少有一个没有明确界定的问题.将结构不良试题进行问题表征，即将题目设置的探索创新情境抽象成常规数学问题模型，是解决问题的关键.

新题速递（2021·苏州中学周练）在①an+1-an=；②an-an-1=8n-4(n≥2)两个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并求解.

问题：已知数列{an}中，a1=3，__________.

（1）求an；

敲黑板

先观察题目结构特征，找出内在联系，然后再确定解题策略.

疑惑的小A：考试时我先是选择条件①，两边平方后，太烦琐.利用条件②做，运算又出问题了.这两个备选条件选哪一个较快呢？

“长手哥”点拨：对条件①一定要平方吗？由条件②，可以想到什么数学模型？第（2）小题的模型应该采用什么策略呢？

机智的小B：若选①，可以发现两个根式的被开方式之差恰好是“an+1-an”，于是利用添项去项和平方差公式可以转化为等差数列问题.

由an+1-an=得(an+1+1)-(an+1)==，即

又a1=3，所以是首项为2，公差为2 的等差数列.

“长手哥”提醒：遇到“两个根式”的组合，不要轻易平方；数列题中，已知式子的结构特征要分析到位；平方差公式频繁出现，值得我们重视.

不服气的小A：第（2）小题，直觉告诉我，应该是裂项求和法，先求和再放缩.

（小于1？真是奇哉怪也！题目有错吗？）

机智的小B：你太想当然啦！裂项时要注意等价性.括号外应该有因此

“长手哥”点拨：小A 思路正确，但由于裂项错误，导致求和错误，“知错就改”，应检查运算过程，及时发现失误.

努力的小A：我选②求解时，用累加求和法，由an-an-1=8n-4(n≥2)可得：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(8n-4)+(8n-12)+…+12+3=+3=4n2-1，所以当n∈N*时，an=4n2-1.

机智的小B：虽然你注意到了项数，但整个过程仍不严谨，你求的结论是当n≥2 的情况，还应检验n=1 的情况.应该补充：

当n=1 时，a1=3，符合an=4n2-1，所以当n∈N*时，an=4n2-1.

敲黑板

计算“陷阱”你踩了吗？此时求和的项数不是n，而是n-1.

“长手哥”提醒：求解过程要规范严谨，简洁明了，既不要拖泥带水，也不要跳步缺项.本题的第（2）小题左边不等式最容易证明，因为an＞0，因此Tn是单调递增的数列，所以.你只有学会观察，才会有更加简洁的方法，且容易拿到应该拿到的分数.

经典再现（2020·山东模考卷）在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.

设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，________，b1=a5，b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk＞Sk+1且Sk+1＜Sk+2？

自信的小A：这题比上一题复杂，我选择了条件①，并且顺利求解，但不知道是否其他条件是否更简便.

根据题意，因为b2=3，b5=-81，{bn}是等比数列，所以q3==-27⇒，q=-3，b1==-1，所以bn=-(-3)n-1.由b1=a5，得a5=-1.

获知关于{bn}全部信息，获知a5，缺d.

选①，b1+b3=a2时，a2=-10，又a5=-1，所以d=3，a1=-13，

要使Sk+1＜Sk，且Sk+1＜Sk+2，

敲黑板

先观察题干条件，能提供给我们什么信息？还需要什么条件才能求解？

机智的小B：将要求的不等式等价转化为ak+1＜0，ak+2＞0，即-1+3 (k-4)＜0且-1+3(k-3)＞0，即因为k∈Z，所以k=4.

“长手哥”点评：这种思路绕过求和，直接利用通项公式的性质来求解，非常简洁.实际上，选②最简单，这是因为最终目标转化为ak+1＜0，ak+2＞0，于是公差d＞0.因为a4=b4时，a5=-1，a4=b4=27.所以d=a5-a4=-2 8＜0，与d＞0 矛盾，所以k不存在.

勤奋的小A：若选③，因为S5=-25，利用等差数列性质得S5=5a3，即a3=-5.

因为又a5=-1，所以d=2，a1=-9.所以前七项为-9，-7，-5，-3，-1，1，3，而等差数列是单调递增数列，所以k=4 符合题意.

敲黑板1.“结构不良型”试题一般比较基础，需要我们细致而快速审题；2.迅速做出选择，补充完整结构，不必过于纠结；

3.具有一定的开放性、探究性，结论并不一定统一.

实战演练

在①对任意n≥2，n∈N＊，满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)，②Sn+1-2=Sn+an，③Sn=nan+1-n(n+1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：已知数列{an} 的前n项和为Sn，a2=4，________，若数列{an}是等差数列，求数列{an}的通项公式；若数列{an}不一定是等差数列，说明理由.