同构思想在函数中的简单应用

顾红霞

同构法：将F (x)＞0等价变形为f (g (x))＞f (h (x))，构造函数y =f (x).若f (x)单调递增，则F (x)＞0等价于g (x )＞h(x)；若f (x)单调递减，则F (x)＞0等价于g (x )＜h(x).

下面研究两种：“地位同等”要同构、“指对跨界”想同构.

一、地位同等要同构

基础自测1已知a＞b＞0，则a2__________b2，2a__________2b.（填“＞”或“＜”）

解析发现问题的左、右两边结构相同——同构式，结合简单的幂函数f(x)=x2与指数函数f(x)=2x的单调性可判断大小关系.填“＞”、“＞”.

【小结】含有地位同等的两个量a，b的等式或不等式，如果进行整理（同构）后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，利用单调性解决.

思考：已知a＞b＞c，则a2+2a______________b2+2b.（填“＞”或“＞”）

变式1已知a＞0,b＞0,a2-b2＞2b-2a，则a,b的大小关系为____________.

解析观察形式，将a,b分开，变形为a2+2a＞b2+2b，此时左、右两边结构相同，故可构造f(x)=x2+2x，知f(x)在(0，+∞)上单调递增，从而由f(a)＞f(b)可得a＞b.

收纳袋

变形→构造（同构式）；f(a)＞f(b)→单调性.

变式2已知a＞0,b＜0,a2-b2=-2a，则a+b=________.

解析已知等式变形为a2+2a=b2+，观察左、右形式，整理为a2+2a=(-b)2+2-b，故可构造f(x)=x2+2x，知f(x) 在(0，+∞) 上单调递增，从而由f(a)=f(-b) 可得a=-b，即a+b=0.

变式3已知a,b∈ (0,2),a2-b2=-2a-4b+4，则a+b=_______________.

解析已知等式变形为a2+2a=b2-4b+4+，右边形式较复杂，发现完全平方式b2-4b+4=(2-b)2，从而a2+2a=（2-b）2+22-b，

故构造f(x)=x2+2x，知f(x) 在(0，+∞)上单调递增，从而由f(a)=f(2-b)可得a=2-b，即a+b=2.

二、指对跨界想同构

基础自测2已知ex≥e2，则x的取值范围为__________________.

解析发现同构式，构造f(x)=ex，利用单调性解不等式，可得x的取值范围为[2,+∞).

变式1已知x+ex≥2+e2，则x的取值范围为__________________.

解析发现结构相同，构造f(x)=x+ex，利用单调性解不等式，可得x的取值范围为[2,+∞).

变式2已知x+ex≥2+ln 2，则x的取值范围为____________________.

解析结构不同，如何求解？化不同为相同，渗透化归思想.

思路一：由恒等式alogax=x，可知2=eln2，不等式可化为x+ex≥l n 2+eln2，

故构造f(x)=x+ex，由f(x)≥f(ln 2)，结合f(x)单调性可得x≥ln 2.

思路二：由恒等式loga ax=x，可知x=ln ex，不等式可化为ex+ln ex≥2+ln 2，

故构造f(x)=x+lnx，由f(ex)≥f(2)，结合f(x)单调性可得ex≥2，从而解出x范围.

思路图示：

请你补充：

（参考答案见文末）

闯关题：已知(a-1)x+eax-lnx≥0，对任意的x∈ (0,+∞)恒成立，则a的取值范围为__________.

分析：通过基础自测变式2 的提炼总结，不等式可变形为ax+eax≥x+lnx，从归纳的两个角度构造函数，利用单调性求解.

思路一：ax+eax≥lnx+elnx，故构造f(x)=x+ex，

由f(ax)≥f(lnx)，结合f(x)单调性可得ax≥lnx，从而a≥

研究函数g(x)=的最大值，可求导处理，得最终结果a＞

思路二：eax+ln eax≥x+lnx，故构造f(x)=x+lnx，

由f(eax)≥f(x)，结合f(x)单调性可得eax≥x，再求参数a范围，

需将指数ax“拿”下来，此时可两边取e 为底的对数，得ax≥lnx，下同思路一.

回归真题

1.（2020·全国卷II）若2x-2y＜3-x-3-y，则（ ）

A.ln(y-x+1)＞0 B.ln(y-x+1)＜0

C.ln|x-y|＞0 D.ln|x-y|＜0

2.（2020·全国卷I）已知a＞0,b＞0,2a+log2a=4b+2log4b，则（ ）

A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

3.（2020·山东卷）已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范围.（有删减）