函数与导数的应用

一、单项选择题

1.（2020·成都为明学校高二月考）某产品的销售收入y1（万元）关于产量x（千台）的函数为y1=生产成本y2（万元）关于产量x（千台）的函数为（x＞0），为使利润最大，应生产产品（ ）

A.9千台 B.8千台

C.7千台 D.6千台

2.（2020·安徽高三月考）从一张圆形铁板上剪下一个扇形，将其制成一个无底圆锥容器，当容器体积最大时，该扇形的圆心角是（ ）

3.（2020·辽宁高三月考）《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为，纵77cm，横53cm，油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm（如图所示）.有一

身高为175cm 的游客从正面观赏它（该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm），设该游客离墙的距离为xcm，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x应为（ ）

（第3题）

4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转哗的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车每秒转动rad.如图2所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为3m，则2s后盛水桶M到水面的距离近似为（ ）

（第4题）

A.3.2m B.3.4m

C.3.6m D.3.8m

二、多项选择题

5.（改编自2020·北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f（t），用的大小评价在[a，b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.下列四个结论中正确的有（ ）

（第5题）

A.在[t1，t2）这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强

B.在t2时刻，甲、乙两企业的污水治理能力相同

C.在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标

D.甲企业在[0，t1），[t1，t2），[t2，t3]这三段时间中，在[0，t]

1 的污水治理能力最强

6.（2020·开原二中高三）国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63000π立方米的粮食储藏容器，已知该容器分上、下两部分，上部分是底面半径和高都为r（r≥10）米的圆锥，下部分是底面半径为r米、高为h米的圆柱，如图所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是（ ）

（第6题）

A.10≤r＜40

B.h的最大值为

C.当r=21时，y=7029aπ

D.当r=30时，y有最小值，最小值为6300aπ

三、填空题

7.（2020·西南大学附中高三月考）为了研究口服某流感药物后人体血液中药物浓度随时间的变化规律，西南大学附属中学高三数学兴趣小组以本班同学为实验对象（被试）.通过记录口服该流感药物x（h）时被试血液中药物浓度y（mg/mL）的方式获取试验数据.经多次实验发现，被试服用药物后，血液中药物浓度与时间成正比升高，当x=1h时药物浓度达到最高10mg/ml，此后，被试血液中药物浓度以每小时25%的比例下降.根据以上信息，从被试服用药物开始，其血液中药物浓度y（mg/ml）与时间x（h）之间的函数关系式为________.

四、解答题

8.（2020·上海交大附中高二期末）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“当甍”（音同“除萌”）的五面体（如图1）.其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△EAD和△FBC是三角形，“当甍”字面意思为茅草屋顶.图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构.它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图3，屋顶五面体为“当甍”，其中前后两坡屋面ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左、右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上射影分别为H，M，已知HM=5米，BC=10米，梯形ABEF的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH=

（第10题）

（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；

（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米.现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？