借力数学抽象 提升思维品质

王宏官

数学本质上是研究抽象的东西，主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征.

在学习过程中，如何发展自己的数学抽象素养，促思维品质的提升？

策略之一：挖掘定理公式推导过程中蕴含的思想方法，发展抽象思维品质

教材中正弦定理与余弦定理的推导方法中都用到了向量法和解析法，这两种方法也正是我们解决三角形应用问题中常用的两种思维角度.

敲黑板

教材中一些定理、性质和公式的推导过程往往隐藏了某一重要的数学思想或方法.我们不能只关注概念、法则和它们的应用，应多一份追求与思考，追根溯源，关注这些概念和法则产生过程、推导方法、渗透的数学思想与方法.

例1已知△ABC 的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6，那么的值为________.

解析1（常规解法）利用余弦定理的推论与数量积的定义即可求解.

解析2（借助余弦定理的推导）注意到中向量与的形式，首尾相接.在△ABC中，平方得,代入解得

教材中有这样一道习题：

在△ABC中，求 证：a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

再看这样一道泰州联考题：

在 △ABC中，a=3,b=4,c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为________.

敲黑板

你的教材，多久没碰啦？仔细阅读过几遍？

解题时如果我们想不到应用上题结论，而感到应用正弦、余弦定理无从下手时，应该跳出解三角形范畴，联想到余弦定理与向量数量积的关系，得

由上可以看出它们的转化也正是基于余弦定理的推导过程，在具体情境中思考问题的背后是否隐藏了某些规律，抽象出其本质，达到多题归一、多题一解之效.因此我们要善于从课本中概念、公式、定理的形成过程中发现规律、方法，发展抽象思维品质，提升数学抽象素养.

策略之二:积累从具体到抽象的活动经验，提升数学抽象的思维品质

教材中有这样一道例题：

直线y=x-2 与抛物线y2=2x相交于点A,B，求证：OA⊥OB.

面对这样的问题，我们可以反思：能使OA⊥OB成立的关键条件是什么？

可以质疑：“抛物线y2=2x”中的“2”与“直线y=x-2”中的“2”是“巧合”？

尝试将此系数进行一般化，抽象为一般：

直线y=x-2p与抛物线y2=2px(p＞0) 相交于点A,B，OA⊥OB成立吗？

发现此命题成立.

继续反思：直线的斜率只能为“1”吗？

尝试将直线方程改为y=x2-2，推理发现OA与OB并不垂直.而将直线y=x-2改为直线y=2(x-2) 后，才会出现OA⊥OB.由此我们可再抽象为一般化的结论：

结论1直线y=k(x-2p) 与抛物线y2=2px(p＞0) 相交于点A,B，有OA⊥OB.

结论2过定点(2p,0)的动直线和抛物线y2=2px(p＞0) 相交于两点A,B，O为原点，有OA⊥OB.

从上述命题探究过程中，可发现：

结论3若一直线与y2=2px(p＞0) 相交于两点A,B，O为原点，且OA⊥OB，则直线AB必过定点(2p,0).

由于O点是抛物线上一点，进一步一般化得到：

结论4若M(x0,y0)为y2=2px(p＞0) 上一定点，过点M作抛物线的两条互相垂直的弦MA,MB，则直线AB必过定点(x0+2p,-y0).

结论5M(x0,y0)为y2=2px(p＞0) 上一定点，过点(x0+2p,-y0)的动直线与抛物线交于两点A,B，则MA⊥MB.

至此，“直线、抛物线、顶点”这三个条件都已经进行了一般化（抽象）推广.

如果再将“两条互相垂直的弦”一般化为：两条弦斜率之积为定值.进一步可得到：

结论6M(x0,y0)为y2=2px(p＞0) 上一定点，AB为抛物线的动弦，若kMA kMB=λ，则直线AB过定点

还可以进一步抽象，将曲线改为圆、椭圆、双曲线后，看看会得到什么样的结论.

策略之三：熟悉常用的数学抽象方式，促成一般性思考问题的习惯

1.由特殊到一般的抽象方式

先看下面的问题：

例2 (2018·北京卷)设n为正整数，集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈ {0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，记M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)].当n=3时，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)……

分析当n=3 时，集合A={α|α=(t1,t2,t3),t1,t2,t3∈ {0,1}},α=（1，1，0）,β=（0,1,1），

所以，M(α,α)=[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2，

M(α,β)=[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.

通过对特殊情形“n=3”的探寻，我们可以进一步感知M(α,)β蕴含的信息，明确要研究M(α,)β的取值势必要去掉绝对值的符号，自然需要讨论xn和yn的大小关系，会寻找到解决问题的入口.

2.由整体到局部进行抽象方式

例3已知t为常数，函数y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2，则t=______.

解析1（常规解法）通过二次函数的对称轴和区间的关系，结合图象进行分类讨论.

解析2（换元法）将y=|x2-2x-t|中的x2-2x换元为u，那么原函数就转化为y=|u-t|.先分析内层函数u=x2-2x.由x∈[0,3]，得u∈[-1,3].

问题就等价转化为：函数y=|u-t|在u∈[-1,3] 上的最大值为2，t=______.

借助绝对值的几何意义，从而转化为：u是区间[-13，]上的任意一点，且u与数轴上一点t的距离的最大值为2，求t的位置.很容易得到t=1.

数学抽象是学习数学的核心和灵魂，直接影响数学方法与思想的形成与构建.我们平时研究数学问题要学会由表及里，由浅入深，善于总结思辨，透过现象抓住本质，抽象归纳出解决问题的方法和思想，这样才能构建出完整的数学结构体系，提升自己自己的思维能力.