数学活动，助力学生深度学习

黄锦

[摘  要] 要想让初中学生在数学学习的过程中进入深度学习的状态，那就必须给学生提供一定的助力，只有让学生在现有水平的基础之上，通过有效的活动参与和体验，才能让深度学习从理想变成现实. 选择一个合适的教学内容，设计与之相匹配的数学活动，让学生在活动参与的过程当中积极思考，从而实现思维的不断递进，逐渐达成深度学习.

[关键词] 初中数学;数学活动;深度学习;勾股数

人们在寻找数学核心素养的培养方法时，不约而同地认为深度学习是培养学生数学核心素养的有效途径. 但是人们对深度学习的理解却出现了一些不同，有人认为深度学习对应着有难度的学习，也有人认为深度学习就是学生思维不断递进的学习，这些认识有其可取之处，但又存在一些不足，其中最关键的就是深度学习怎样才能真正发生这一根本问题. 笔者结合初中数学教学的优秀传统，同时考虑初中阶段学生在数学学习过程中表现出来的一些基本特点，得出的一个初步结论是：要想让初中学生在数学学习的过程中进入深度学习的状态，那就必须给学生提供一定的助力，只有让学生在现有水平的基础之上，通过有效的活动参与和体验，才能让深度学习从理想变成现实.

相应的，要将这一教学理念变成具体的教学实际行为，必须结合具体的教学案例来进行. 选择一个合适的教学内容，设计与之相匹配的数学活动，让学生在活动参与的过程当中积极思考，从而实现思维的不断递进，逐渐达成深度学习. 在初中数学知识体系当中，“勾股数”是一个相对特殊的知识，其既是学生对勾股定理理解的直觉性表现之一，同时又反映着学生的数学思维. 让学生在对勾股数的学习与探究中，体验一定的数学活动，就可以引导学生进入深度学习之境.

初中数学活动教学中的深度学习因素

《九年义务教育课程方案》已经正式把活动课纳入了中小学课程，这其中也包括初中数学课程. 很显然，这是一项重大教学改革，其对学生数学学习兴趣以及数学综合素养的提升具有十分积极的意义. 在初中数学教学中，教师应对“数学活动”及其相应板块知识的学习予以高度重视，并通过任务驱动的方式引导学生参与和完成数学活动. 一般来讲，通过任务驱动，可以让更多的学生参与到数学学习的任务当中来，而当学生在完成任务的时候，实际上就是在经历一个问题解决的过程. 问题解决是认知心理中的一个重要范畴，同时也是一个重要概念，学生在解决问题的时候，思维必然会从浅层走向深处，学习也就会从浅层学习状态走向深度学习的状态.

由此可以认为，面向初中学生组织数学活动的时候，能够充分体现深度学习的相关因素. 具体来说，初中数学活动教学中的深度学习因素表现为这样几点：一是学生思维的广度，学生在学习相关数学知识、解决相关数学问题的时候，会拓宽自己的知识理解与运用范围，将更多的知识或者生活经验运用到数学学习与问题解决中来;二是学生思维的深度，在数学活动当中，学生所表现出来的深度学习会让他们对知识的理解变得更加深刻，更注重让自己形成良好的逻辑推理能力与直觉思维能力;三是学生思维的批判性，在任务驱动与问题解决的过程中，不同学生会基于自己的想法提出不同的知识理解与问题解决思路，在交流的时候，他们对小组成员的观点更多的是思考之后，再决定是否接纳，而不是像传统小组合作学习当中那样，学优生的观点“一统天下”.

可以肯定地说，当学生在数学活动的过程当中能够保证足够的思维宽度、深度以及批判性，那学生的深度学习就一定能够发生.

基于深度学习的数学活动设计与实施

说到底，数学活动是学生习得知识、发展思维的根本途径. 因此，在数学教学中教师必须重视活动的创设与指导，并以此激发学生的探究兴趣，让学生真正参与到探究活动中来. 与此同时还可以让学生在具体翔实的数学活动中养成逻辑思考的习惯，并逐步形成逻辑思考的意识，进而在具体的数学活动中使其逻辑思维获得生长，使其数学核心素养获得发展.

勾股数又被称为毕达哥拉斯三元数，其实也就是一个直角三角形三边长度的数值. 众所周知，勾股定理又叫毕达哥拉斯定理，在我国古代的数学研究当中，也有“勾三股四弦五”之说，那么相应的3，4，5就是勾股数. 除此之外，5，12，13也是容易被学生记住的勾股数. 但是从教学经验来看，学生记住这些基本的勾股数，往往是重复运用的结果，要想让学生真正参与一个数学活动，并且经历深度学习的过程，可以进行如下的教学设计.

活动一：利用学生身边的情境，初步提出问题.

问题：若正整数a，b，c满足关系式a2+b2=c2，则这样的正整数a，b，c叫作勾股数. 你能写出多少组勾股数？

这一步实际上是拓宽学生思维的广度，让学生在后面的学习过程当中有充足的素材.

活动二：设计学生参與的具体活动，引导学生对勾股数形成初步感知.

1. 让学生通过多种途径写出尽可能多的勾股数. 然后教师提出问题：如果要验证一个数组是否为勾股数，有没有更加简便的方法？

学生通过思考后给出的回答往往是：如果数据比较小，就可以结合勾股定理直接判断;如果数据比较大，可以用平方差公式.

2. 进一步提出问题：仔细研究自己和同学们写出的勾股数，看其中是否存在某种规律？

在教学实践当中，学生一般可以得出这样的结论：一组勾股数，至少有一个偶数. 这实际上是一个非常具有深度的结论，学生有了这一发现之后，认为可以从奇数、偶数的角度去研究勾股数.

3. 从特殊走向一般. 即设a，b，c为一组勾股数，根据此前研究得出的规律进一步探究勾股数内在的规律. 学生的证明过程一般来讲是这样的——第一种情况：若a为奇数，b，c为正整数，然后探索b，c之间的数量关系，以及b，c与a2之间的关系式. 这个任务对学生而言并不困难，此时为了进一步促进学生的深度学习，教师可以提出新的问题，比如当a=2n+1（n为正整数）时，能否写出一组b，c的值. 第二种情况：若a为偶数，继续用上述思路进行探索.

4. 再次构建勾股数，具体可结合下式来进行.

（     ）2+（     ）2=（     ）2

（     ）2-（     ）2=（     ）2

这樣学生就能联想到上述式子的形式，进而会想到乘法公式（x+y）2-（x-y）2=4xy，这个时候问题就转化为4xy是什么的平方，学生在解决这一问题的时候，往往会想到只要设x=m2，y=n2，就可以得到（m2+n2）2-（m2-n2）2=（2mn）2.

……

事实证明，通过上述教学设计的实施，学生不仅可以经历一个内容丰富的数学活动过程，也可以经历一个深度学习的过程，教学效果非常理想.

面向深度学习的数学活动设计注意点

通过数学活动来实现深度学习对于初中数学教学来说，意义是不言而喻的. 在具体的初中数学教材探究活动的设计过程中，一般来讲要注意这样的几个方面：一是目标确立要准确，防止偏颇现象;二是内容选取要恰当，防止泛化现象;三是类型呈现要全面，防止缺失现象.

比如在上面的勾股数探究的过程中，教师必须跟学生明确活动的主要目的就是体验探究得出勾股数的过程，并找出其中的一般规律. 因此在具体教学的时候，教师要记住在给出勾股数的概念后，让学生尽可能多地写出一些熟悉的勾股数，便于学生观察、体验和探索勾股数的规律. 具体包括让学生重点观察每一组勾股数，并思考其中三个数之间存在怎样的关系，然后引导学生从奇数、偶数的角度进行分类讨论. 很显然其中的难点是当a=2n+1（n为正整数）或a=2n（n为正整数）时，写出一组b，c的一般的值. 从深度学习的角度来看，这就需要教师引导学生对具体勾股数进行观察、猜想、验证等活动，并在相应的活动中激发学生的数学思维. 这是一个创造性的过程，有利于发展学生的多种数学能力和数学核心素养.

在上面的探究中，最终得出：当a为奇数时，通过观察发现c-b=1，a2=b+c;当a=2n+1（n为正整数）时，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1;当a为偶数时，通过观察发现c=b+2，a2=2（b+c）;当a=2n（n为正整数）时，b=n2-1，c=n2+1. 事实上，当学生得出这些结论时，他们是非常有成就感的. 其中一个默会的教学价值就在于：在这些结论的推导过程中，学生会在充分观察的基础上，通过自己的努力尝试构造、加强代数推理，这有效地培养了学生的抽象能力，发展了学生的创新能力.

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