一堂“实验思维”课教学引发深度思考

[摘  要] 学生求解一个新问题的过程，充满着未知、探索和反复性，需要像做物理实验或化学实验一样不断尝试，我们把这种思维称为“实验思维”.通过课堂实践发现，当学生遇到问题的信息与自身的知识、经验相距甚远时，许多学生就不愿实验了，从而使解题半途而废.利用“实验思维”可促进学生的认知能力和元认知能力的提升，同时通过关注思维的发生和调整来促进“实验思维”能力的提升.

[关键词] 实验思维;思维的发生;思维的调整;作图思路

写在前面

当学生独立面对数学问题时，对解题策略、解题思路、解题方法大多是不确定的、未知的、盲目的，需要去检索、联想、调用、筛选大脑中储备的相关的知识和经验，甚至有时很难将问题与相关的知识和经验直接联系起来，这时解题就像做物理实验或化学实验一样不断地尝试各种材料或操作方法，只不过数学中解题的材料或操作方法是知识和经验. “实验思维”就是建立在这个“尝试验证”基础上的，即根据题目的信息，逐一尝试自身所有的知识和经验. 利用“实验思维”探究某个数学问题时，有时并不是从一般性的原則或公理、定理入手，而是通过类比借鉴特殊的具体的例子、工具进行实验尝试，获得结果. “实验思维”能充分调动学生的思维，培养学生的直觉能力及创造性思维[1]. 下面以“尺规作已知角的平分线和过一点作已知直线的垂线”为例，谈谈“实验思维”在课堂教学中的应用，希望能引发大家更多的关注和思考.

教学流程

1. 回顾与激发

环节1：回顾“作一个角等于已知角”的过程和方法.

（1）分别展示用量角器画一个角等于已知角的过程及用尺规作一个角等于已知角的过程，并强调直尺和圆规只能做什么.

（2）将“画法”与“作法”进行对比，将“借鉴过程”复原，明确“作法”如何从“画法”中获得相应的思路.

①将“已知角”部分进行对比. 如图1所示，量角器是一个半圆，圆心与角的顶点重合，一边与零度线重合，形成一个扇形OCD;如图2所示，用圆规以顶点O为圆心，以任意长为半径画弧，就可以做出量角器，得到对应的扇形OCD（标出扇形的三个点）.

②将“所求角”部分进行对比. 如图3所示，用量角器画角就是将对应的扇形（图3中对应的扇形是OCD）“搬”过来，怎样“搬”？只需把量角器“搬”过来，然后根据对应的度数确定点E的位置即可. 如何用尺规将扇形OCD“搬”过来呢？如图4所示，先画出与图2的半径相等的量角器，再把弧CD所对的弦“搬”过来得到弧EF（因为圆规能作一条线段等于已知线段，实际上是由两段弧相交得到的点E）.

（3）总结：画角时，首先角的一边已由直尺画出，另一边也就知道了其中一个端点，再找到另外一个端点即可. 这个端点就在量角器的外轮廓上，用圆规找到这个端点需要用圆规画两次，因为找到这个端点需要满足两个条件——“EF=CD”“OE=OC”，即用圆规画轮廓使得OE=OC，EF=CD.

（4）明确每一步操作能得到什么条件，探究作法的理论依据. 实际上就是利用“SSS”构造两个全等三角形.

反思  “作一个角等于已知角”是七年级上学期学习的内容，尺规作图是从用量角器画一个角等于已知角的方法抽象、归纳出来的，其中隐含着十分重要的思维策略——类比借鉴. 这也正是这节课将要用到的方法. 利用“复习与回顾”这个抽象的过程，为这节课的探究做前期铺垫，同时明确一下尺规作图的要求和功能. 直尺能画线，圆规可保证弧上每个点到圆心的距离不变，以及作一条线段等于已知线段，即用圆规的两只“脚”，分别放在已知线段的两个端点上，再移动已知线段——利用圆规作弧两次可得到满足两个条件的交点.

环节2：思考一个可借鉴的问题.

问题1：工人师傅常常利用角尺平分一个角. 如图5所示，在∠AOB的两边OA，OB上分别任取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线. 请同学们说明这样画角平分线的道理.

（1）教师先让学生思考，思考后选择了两位没有完成任务的学生，让他们说一说问题的条件是什么、要证明的结论是什么. 其中一位学生说到条件是OC=OD，要证明射线OM是∠AOB的平分线，结果证明两个三角形全等时又把角平分线作为了条件;另一位学生说到条件是OC=OD和射线OM是∠AOB的平分线，据此证明两个三角形全等.

（2）让其他学生指出这两位学生存在的问题，并完整地说出题目的条件和结论，以及证明的过程，由教师追问每个条件是怎么得到的、每个步骤是怎样想到的.

（3）教师强调一定要仔细研读每一步操作，挖掘其中隐含的条件，必须要分清题目的条件和结论. 解答本题的关键是从条件“使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合”中挖掘出“CM=DM”，以及分清本题的条件和结论.

反思  对于一个实际的操作性问题，找到问题中的条件和结论对一般学生来说是一个难点. 教师没有一开始就带领学生读句找条件，而是让学生经历自主体验的过程. 毕竟教师不能时刻带领着学生，让他们自己经历犯错、改错的过程，才能真正获得经验，这就是“实验思维”. 同时，教师不能满足于学生正确解答，在学生展示解法之时，教师要以学困生的困惑、认知差异为契机进行追问，直击学生的思路及解法，进一步引发学生进行深层思考. 在倾听、分享学生的见解时，发现各自的困惑，展开互补讨论. 在师生、生生互动对话中突破学生思维的盲点，领悟数学思想. 当然，如果平时教学中教师能有意识地培养学生自主提问的习惯，一些问题能由学生互问互答，那么课堂会更加精彩. 教师要为学生提供充分思考和表达的时空，通过适时追问和质疑，为学生搭建思考的“跳板”，暴露思维方法，从而引导学生突破表象、深入思考，提高学生数学思维的深度及理解的宽度. 以上两个环节作为铺垫，针对的不仅是知识的传授，还有思维的激发.

2. 类比与迁移

问题2：根据前面的经验，你能用直尺和圆规作出一个角的平分线吗？

（1）巡视、观察学生自主探究的情况. 全班所有学生自主探索的第一步都是以点O为圆心，任意长为半径画弧，与角的两边交于点C，D（借鉴“作一个角等于已知角”的方法）. 接下来有两种情形：一是有一部分学生只做到了第一步，不知道再在角的内部确定一点;二是完成的学生有三种结果，如图6、图7、图8所示.

（2）交流展示.

①教师向没有完成任务的学生提问：“第一步为什么这样做？”学生回答的是“套用‘作一个角等于已知角的方法，但后面不知道怎么做了”;教师再向学生提问：“角平分线应该在什么位置？”让学生在黑板上画出来;然后又提问：“要画出这条角平分线，还需要确定几个点？”学生回答的是“一个点”，教师要求学生把这个点画出来;接着继续引导学生回答：“你是怎样画的两段弧？”“使它们交于这个点”;在学生画出这个点后教师再总结. 这是逆向思考，即假设已经画出了图，然后去探索画图条件.

②关于图6、图7、图8作圖的交流，主要是学生自己叙说.

作出图6的学生有一半以上，但是思路有三种：第一种，有几个学生是直接借鉴和操作问题1的方法，这些都是学习优秀的学生;第二种，先把角平分线画出来，然后对照课本上的图像用圆规凑出来;第三种，借鉴“作一个角等于已知角”的方法，拿圆规尝试而成.

作出图7的学生认为，角平分线一定经过CD的中点，所以就凑出了这个中点.

作出图8的学生直接以C，D为圆心，任意长为半径画出了两个圆（注：图中显示的是两个圆各自的两段弧），得到了两个交点，发现过这两个交点的线与角平分线是重合的. 这几个学生平时都是画圆不画弧，这次反而完成了一种作法.

③接着教师组织讨论操作的正确性. 大家一致认为图6没有问题，因为第二次、第三次作弧，半径都没有改变. 对于图7，大家发现第二次、第三次作弧时，半径必须是CD的一半，这个“一半”不好把握. 教师这时借助于图7进行了演示——如果半径小于CD的一半，根本没有交点——由此把作法中为什么要大于CD的一半解释了. 图8在证明时有点困难，教师直接进行了讲解，在这里让学生体验了如何证明三个点在一条直线上和“同一法”思想. 最后一致认为，最简洁的作法只需在角的内部再确定一个点即可，并在作图过程中要明确每一步的要点. 这时教师指出，不知道怎样确定点M的学生，一是在头脑中没有形成“再确定一个点就可以画出角平分线”的意识，二是说明缺乏直观想象能力，这需要在平时多练习.

④教师要求学生思考：我们作图的方法有哪些？经过讨论得到：方法1，先假设图形已经画成，然后反复实验如何能用直尺和圆规得到相应的条件，如图7所示，认为角平分线一定经过CD的中点，所以就去寻找这个中点;方法2，借鉴做过的题目，然后反复实验如何能用直尺和圆规得到相应的条件，如图6、图8所示;方法3，先寻找能得到图形的几何定理，然后构造出对应的图形，再反复实验如何能用直尺和圆规得到相应的条件. 即首先想象作出的图形，然后用工具进行实验性操作或联想相关的问题或利用性质定理进行条件探索.

反思  学生直接借鉴问题1方法的很少，这和教师课前的预想吻合. 本来设计的是借鉴问题1来作角平分线，但教师把此过程去掉了，而是细致复习了“作一个角等于已知角”的过程，特别是对几个关键点的强调——一是圆规的两个作用及能得到的条件，二是对点E的确定. 因为都是作图，所以想到借鉴“作一个角等于已知角”方法的学生很多. 虽然在描述方法时学生的语言不够规范、不够精致，而且这个环节之后没有进行相应的练习——如果这样提示：①如何用圆规作出“OC=OD”;②如何用圆规作出点M，使“CM=DM”;③化归作图的步骤，特别指出为何“要以大于CD的长为半径作弧”，且“选择两弧在∠AOB的内部的交点M”，那么学生就能很快获得结果——但是教师觉得，学生只有真正思考了，只有经历过挫折、失败的磨炼，学生才能真正体会作图的方法，实现对问题本质的认识，实现质的飞跃;才能提升自主探究能力，积累丰富的经验，从而提升核心素养. 这就是“实验思维”的精髓所在.

3. 巩固与内化

问题3：过直线外一点如何作这条直线的垂线？

教师指导学生思考如下：

思考1：直接把角平分线的作法“克隆”一遍. 在学生完成之后，引导学生把“克隆”的过程整理如下：

①角平分线作法的第一步是作弧，在本图（图9）上能怎样操作？对照角平分线的作法，就是把点P看作点O，后面也就水到渠成了.

②角平分线作法的第二步是确定交点，这需要两段弧，在本图（图9）上能怎样操作？

③作出的图形符合要求吗？

思考2：尝试“凑”出图形.

因为过点P作垂线，所以只需要在点P的正上方或正下方再找一个点即可. 如何用圆规把这个点找出来呢？根据经验，要找到这个点一般需要两段弧，那么就需要两个圆心和两条半径，你觉得这两个圆心应该在哪里找，这两条半径怎么确定？

出示提示后，教师引导学生把圆规的“脚”放在直线AB上，然后确定圆规的位置. 这时有学生说到，应该放在思考1中的第一步（作弧）得到的两个交点上，接着发现这种作法就是思路1的作法.

这时教师接着提示：现在把圆规的“脚”放在直线AB上的任意一点，你觉得可以以什么为半径作弧？你觉得作出的弧应该在什么位置？这时有学生说到，可以试试以到点P的距离为半径作弧. 学生尝试完成后，教师在黑板上作出图形，并讨论交点取在不同的位置对图形的影响，以及在直线AB上取不同位置的点对应的各种情形. 通过操作发现，在直线AB上任意取两点，既可以在垂线的同侧，也可以在垂线的两侧.

思考3：你能找到类似的证明垂直的题目吗？假设垂线已经画成，你能构造出全等三角形，并以此获得作图的思路吗？经过讨论，将作图的方法完善、整理后再次展示，让学生自主体验.

反思  “作一个角等于已知角”是开放的，学生进行了反复的尝试，获得的经验是及时性的. 为了加深印象，利用“过直线外一点作这条直线的垂线”进行思维梳理，促使经验进行内化，使思维变得有序，在头脑中形成结构，所以在本环节中教师要有意识地进行引导、梳理、归纳. 几何的思维起点是形象思维，用形象思维洞察问题的结构，然后让结构与知识经验进行对接. 在几何中视觉思维占主导地位，而代数中有序思维占主导地位，所以教师要多引导学生观察图形的位置与形状，先“凑”条件，再进行证明，这是“实验思维”的一个基本套路.

4. 作业

（1）整理这三个作图的基本方法，牢记作法和证明的过程.

（2）再次探寻两个尺规作图的方法，并说明理由.

教学反思

“学习任何东西的最好途径是自己发现”. “实验思维”的本质就是检索、联想、调用、筛选的不断尝试，这是促进学生自主发现，逐步形成认知结构的过程. “实验思维”由于其探索性和反复性，导致它极其的不确定性，所以运用“实验思维”时，一定要强调自我反省，这样才能不断总结经验，形成能力.

1. 恰当展示思维的发生过程

遇到问题也不能盲目探索，要学会寻找“蛛丝马迹”. 要多向学生展示思维的发生过程，要让学生深刻体会思维如何才能发生. 一是让学生思考解决问题的一般方法，并能形成提示语，如“复杂的问题可能包含哪些基本问题？”“这个模型可以看作是几个模型的组合？”“有哪些可能的思考路径？”“怎样将复杂的问题分解为简单的问题或模型？”二是让学生对问题情境中的各种线索产生敏感性，这种敏感性决定着情境中有关信息的觉察与认知程度;如果不敏感就可能遗漏、忽略某些重要信息，或产生误解、偏差. 三是形成激活和提取不同问题情境下相应的策略、知识和经验的敏感性，这种敏感性影响着调控对策和方法的选取;如果缺乏这方面的敏感性就可能在问题情境和方法的匹配上发生困难，难以激活和提取适当的方法或策略，难以将某种具体问题情境下解决问题的策略或方法迁移到其他问题情境. 要形成这三种敏感性，需要深刻理解知识的深层结构，比如完全平方公式，为什么背得滚瓜烂熟，但是一用就错？主要原因就是对公式的结构、对各项指数的关系理解得不够深刻.

2. 充分展示思维的调整过程

学生思考问题是一个错综复杂、循序渐进的过程，需要从宏观到微观、由表及里反复进行尝试、探索，既要注意具体细节方面的有效处理，也要有条理、有逻辑、简洁地进行表达. 课堂教学中，由于教师需要考虑时间效应，在有效的时间和空间内引导学生完成分析、思考、解答，可能会用“精准导航”减少思维岔路，用“过度引导”减少思维坡度. 这样学生不会经历反复尝试的过程，没有失败后的自省过程，在遇到思路断点时，不知如何选择——是回头还是想法修复？不知如何評估自己的思路. 有时一条道走到黑——浪费时间，有时缺乏毅力——半途而废.

要让学生主动展示思路断点的情形，并反思思路断点的原因. 比如可以引导学生思考：根据条件能得到几种结果？你想要这两个三角形全等，但是假设你把缺少的条件找到了，是否发现就不再需要全等了？为了得到你想要的结果，还有什么知识能用到？你想证明它是等腰三角形，你有没有发现它不一定始终是等腰三角形？让学生将其所经历的思路逐一阐述，找出思路断点、寻找思维盲点并组织分析，从而学会调整思维的方法. “你想到用什么方法、用什么知识？为什么没想到？是图形不像还是条件不够？”——要多用这样的提示语;也可以在学生讲解正确思路时，让其展示所走的弯路，以及如何回头、为什么回头. 这能避免教师的单线思维，有时同龄人的思考方式更容易互相接受. 要创造适当的时机，充分揭示学生真实的思维过程，不能只让学生展示正确的过程就完成问题解决了.

所以，要用一些常见的激发思维的提示语，要精心将一些常见的思维方式归纳为一些自然的、简单的、显而易见的，具备普遍性和常识性的提示语. 如思路受阻时，能问道“是否还有什么条件没有看到？是否还有其他的方法？”“一般在什么条件下可以构造全等？向什么方向构造？”通过反复地提出这些提示语，总会获得一次诱导出正确念头的成果. 所以，教学中要经常反复地提出这些提示语，促使学生能自己想出一个好念头. 这样的指导，可以使学生找到各种使用提示语的正确方法，并能内化为自觉的提示语.

对图形相关内容的研究是让学生真正成为发现者的重要途径，学生经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，探索、发现、提出图形元素之间的关系，然后尝试去证明，这才能使学生真正体会合情推理和演绎推理的精髓[2]. 尝试与探索会经历挫折、失败，再联想、再筛选的过程，这个过程可能会多次反复，是一个不断实验的过程，对学生的意志和心理是一种考验. 许多学生经常因为失败而放弃进一步思考，所以教师也要多鼓励学生，提升他们的信心.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]乔太华. 过程与结果并重  直观与推理相融[J]. 中学数学教学参考，2019（26）.