基于学科能力培养的单元复习课

周强

[摘  要] 单元复习课教学的基本环节包括：构建思维导图、回忆知识要点、分析例题、反馈练习、巩固提高等环节.文章意在探讨单元复习课中如何有效地夯实学生的基本知识、强化学生的基本技能，由此更有效地提升学生归纳整理、阅读理解、操作实践、语言表达、演绎推理等学科能力.

[关键词] 复习课;例题;学科能力

复习课的主要任务是进一步深化理解和巩固数学知识、形成技能，培养学生运用数学知识与方法分析问题、解决问题的能力. 复习课既可以夯实学生的知识、方法，又培养了学生化未知为已知、化繁为简的数学思想，提升了学生的学科能力.

复习课的意义

复习课的目的是引导学生系统地总结、巩固已学过的知识，使学生对知识加深理解、牢固掌握、灵活应用，提高学生解决实际问题的能力. 复习课要有利于构建知识结构，揭示知识之间内在的、本质的和必然的联系. 在单元复习时，应把握如下要点：

（1）深化公理化思想的渗透

客观事物的存在都具有其各自的存在条件和规律，数学知识亦如此. 数学知识本身的规律性以及知识之间的逻辑关系是客观存在的，我们只是在学习相应的知识时把它揭示出来而已. 那么这种知识的存在性的认识，实际上就是我们提出的学习公理化思想的根本原因.

（2）强化论证推理的训练

论证推理，就是应用已学过的知识，通过对其已知条件、图形结构与未知结论的分析，探索论证的思路，选择恰当的论证方法予以证明，并能用规范的数学语言阐述论证过程.

（3）加大自主探究的力度

问题探究是教学过程中的重要环节，通过对问题的探究，不仅可以培养学生的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）能力，还能引导学生养成用数学的眼光发现和提出问题、用数学的思维分析和解决问题、用数学的语言表达和交流问题的习惯，更有助于培养他们的数学学科能力.

例题选择的目的

复习课例题的选择，既要考虑对知识的产生、巩固、拓展和应用有裨益;又要关注例题的典型性、方法的启迪性、思维方式的科学性、思维品质的培植性;还要有趣味，有品位，有意味;更要能够体现数学独特的育人价值[1].

通过例题教学与练习，学生可以进一步巩固数学的基础知识，形成基本技能，深化对数学概念和定理的理解与掌握，加强对数学思想方法与规律的认识和理解，进一步提高学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

学科能力的内涵

学科能力是指学生在面对数学相关的生活实践或学习探索问题情境时，有效地发现问题、分析问题、解决问题所必备的能力. 它是人才培养体系中所必须培养的、支撑终身发展和适应时代要求的能力，是发展学科素养、培养核心价值所必须具备的能力基础[2].

学科能力的培育

基于数学学科特点和考查功能，复习课中教师应培育学生的归纳整理、阅读理解、操作实践、语言表达、演绎推理能力.

现以七年级（下）第二章“相交线与平行线”的单元复习为例.

一、归纳整理能力

数学教学中教师不但要让学生掌握基本的数学知识，还要注重培养学生的数学思维能力. 归纳和整理是思维训练的一个基本内容，教学中有针对性地开展归纳整理能力训练，是发挥学生主体作用的重要环节，对学生数学学科能力的培养有着积极的意义.

1. 归纳结构框架

就平行线和相交线的内容结构而言，其“基本事实（公理）—概念—判定—性质—应用”的公理化体系清晰明确，可以呈现一个完整的“抽象数学概念—形成联结数学概念的判断而得出的命题—通过推理、论证，形成一个层次分明、结构严密的逻辑系统”的过程，展现“从特殊到一般”“从定量到定性”的研究路径及发现和提出问题的思想和方法[3].

2. 整理知识要点

就平行线和相交线的内容知识而言，在同一平面内，从两点的位置关系，拓展到点与直线的位置关系，延伸到两直线的位置关系，引入这章学习的起点，再引导学生把握这章的知识要点. 复习知识要点，可以让学生对教材中的概念、定理进行补充与延伸、巩固与深化、补救与强化.

（1）同一平面内的两条直线的位置关系只有相交与平行两种.

（2）两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.

（3）两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角. 对顶角的性质：对顶角相等.

（4）两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直.

（5）垂线的性质：

①在同一平面內，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

（6）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离.

（7）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

（8）两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，

①如果两个角都在截线的同侧，在两条被截直线的同一方，那么这一对角叫同位角;

②如果两个角在截线的异侧，且在两条被截直线之间，那么这一对角叫内错角;

③如果两个角都在截线的同侧，在两条被截直线之间，那么这一对角叫同旁内角.

（9）平行线的判定方法.

（方法一）由定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行.

（方法二）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

（方法三）平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.

（方法四）平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行.

（方法五）平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行.

（10）平行线的性质：两条直线被第三条直线所截，

①两直线平行，同位角相等.

②两直线平行，内错角相等.

③两直线平行，同旁内角互补.

二、阅读理解能力

阅读理解能力是指学生能从语言文字与数学符号中获取正确意义所需要的信息，把语言文字描述的图形想象出来，并描绘出来，再对图形加工、整理，进一步抽象其中包含的解题关键信息.

例1已知∠1以及∠1内一点P.

（1）在图2中画出∠P，使∠P的两边分别与∠1的两边平行，且用量角器量一下∠1，∠P的度数，可以发现：它们之间的数量关系是______;

（2）在图3中画出∠P，使∠P的两边分别与∠1的两边平行，且与（1）中的方法不同，量出∠1，∠P的度数，可以发现：它们之间的数量关系是______;

（3）由上述两种情况可以得出结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角______.

本题要求学生在阅读试题后，根据叙述画出图形，让学生动脑动手亲身经历探究问题的过程，经历从定量到定性的过程，从而获得研究的初步体验，加深对问题的思考与感悟，激发学生探索问题的求知欲，促使学生养成独立思考和重视解决实际问题的学习习惯. 此题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解决问题的前提，等量代换起到非常重要的作用，也考查了分类讨论思想的应用.

三、操作实践能力

数学源于对现实生活的抽象，通过抽象得到了数学研究的对象. 数学实践操作是学生通过动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式;是在教师的引导下，学生通过实践操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的数学活动. 实践操作具有直观性，能将抽象的数学问题可视化，增强学生对知识的感性认识.

例2图4是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图5，则∠FGD=_____，再沿BF折叠成图6，则图6中∠DHF=_____.

本题是一道折叠问题，第1问面向全体学生，要求他们利用平行线的性质直接找出同位角;第2问要求学生具有审慎思考、分析推理、图形重构等多种能力. 此题考查了平行线的性质、翻折对应角相等，熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解决问题的关键，也考查学生从形象思维过渡到抽象思维的能力.

四、语言表达能力

语言表达能力不仅是对数学语言运用能力的考查，更是对思维过程的考查，通过学生的答题过程判断学生是否理解数学概念、性质定理，是否真正掌握数学思维方法、是否具有信息处理能力. 教师在批阅作业时完全通过书面答题判定，学生没有当面说明、解释和展示的机会，因此要求他们做到能够用精确、简约的数学语言去表达对数学的想法和思考的过程.

例3已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F.

（1）如图7，当E，F都在直线AB，CD之间且∠MEN=80°时，∠MFN的度数为_________;

（2）如图8，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论;

（3）如图9，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系.

本题是一道需要通过作辅助线来求解的问题，添加辅助线对于学生的语言表达要求较高. 语言表达能力要求学生能正确运用数学术语、符号、算式、推理步骤表达自己的思想，同时要求规范，符合数学表达程式和要求，具有逻辑性和条理性. 只有条理清晰的思维，才能有规范流畅的表达. 此题要应用分类与整合、化规与转化的思想.

五、演绎推理能力

逻辑推理是数学学科六个核心素养之一. 逻辑推理包括从特殊到一般的归纳推理，以及从一般到特殊的演绎推理. “数学教育的主要价值，学习数学的最主要目的是培养人的思维能力，特别是逻辑思维能力，使学生善于思考，有独创精神.”[4]

例4如图10，PQ∥CN，A，B为PQ上两点，AD平分∠CAB交CN于点D，E为AD上一点，连接BE，AF平分∠BAD交BE于点F.

（1）若∠C=40°，则∠EAF=______;

（2）作AG交CD于点G，且满足∠1=∠ADC，当∠2+∠GAF=180°，试说明：AC∥BE;

（3）在（1）问的条件下，将AC绕点A以每秒10°的速度逆时针转动，将DN绕点D以每秒30°的速度逆时针转动，DN转至射线DC后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当DN回到出发的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当AC与DN互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值.

此题考查了平行线的性质和判定，还考查了学生分析推理能力，分类讨论思想、数形结合思想的应用. 教师不仅要让学生掌握获得知识的策略、方法，更要让学生运用已有的知识解释现象产生的原因，运用数学的逻辑方法推理结论的合理性，发展表达有理有据的推理能力.

小结

以上复习教学过程，首先从基础知识出发，然后应用已学知识解决问题，既能覆盖全章知識要点，又具有方法的典型性. 笔者从既能激发学生的思维又具有一定探索性的问题出发，设计整理归纳、阅读理解、操作实践、语言表达、拓展延伸等教学环节，创造多维度思维平台. 笔者在培养学科能力的驱动下展开教学，引导学生经历知识的生成、归纳、应用和延伸的过程，变教学实践为思维活动再现，进而让知识成为思维活动的结果. 在教学中笔者引导学生注重基础知识的理解、基本模型的构建、思想本质的挖掘、基本方法的应用，让学生实现“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把数学基本思想、基本活动经验落实在基础知识、基本技能的教学过程中，使数学学科能力真正落地.

参考文献：

[1]郑瑄，沈吉尔. 也谈好的例题教学是照亮学生解题的灯塔[J]. 数学通报，2020（8）.

[2]任子朝，赵轩，郭学恒. 基于高考体系的关键能力的考查[J]. 数学通报，2020（8）.

[3]章建跃. 研究三角形的数学思维方式[J].数学通报，2019（4）.

[4]章建跃. 章建跃数学皎月随想录（上卷）[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.