联系拓展，构建“前后一致”的期末复习课

杜晓亮

[摘  要] 期末复习课的有效性问题，一直是一线教师教学研究的重点. 构建前后一致、逻辑连贯的期末复习课，不仅可以让学生扫清知识盲区，还可以站在全局角度去看待一个学期的学习内容，真正做到前后勾连、融会贯通.

[关键词] 期末复习课;联系拓展;前后一致.

复习课是一种重要的课型，也是令教师头疼的一种课型. 头疼的是上完复习课的效果不佳：似乎会的学生仍然会，不会的学生仍然不会，学生并没有因复习课而生长、成长. 因此，如何上复习课是非常值得教师去研究和思考的. 下面以北师大版数学七年级上册的一节期末复习课“从线段的中点谈起”为例，阐述笔者的一些尝试与思考.

教学过程

1. 课前导学，复习基础知识

（1）线段的中点：线段中点的图形及符号语言. 线段中点的三种表示方法（如图1所示）：

①因为C是线段AB的中点，所以____=____.

②因为C是线段AB的中点，所以____=2____，或____=2____.

③因为C是线段AB的中点，所以____=____，或____=____.

反之推理，仍然成立：

①因为点C在线段AB上，且____=____，所以C是线段AB的中点.

②因为点C在线段AB上，且____=2____，或____=2____，所以C是线段AB的中点.

③因为点C在线段AB上，且____=____，或____=____，所以C是线段AB的中点.

教学说明  通过看图填空的形式，帮助学生回忆线段中点的概念，并引导学生发现：选取适当的表示方式的重要性. 最终引导学生灵活运用线段中点的概念解决问题.

（2）如图2所示，点C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，则DE与AB满足什么数量关系？

（3）若点C为直线AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，则DE与AB满足什么数量关系？请你画出相应的图形，并针对你的结论说明理由.

教学说明  问题（2）是典型的线段双中点问题，考虑到本节课是期末复习课，距离线段中点的学习已经有一段时间了，因此图形由教师展示，降低学生的入手门槛，学生借助于图形能很快地解决这个问题. 问题（3）是问题（2）的变式问题，将“点C为线段AB上一点”改变为“点C为直线AB上一点”，其他条件没有变化. 教师有意没有给出具体的图形，让学生根据自己的思考画图求解. 目的是培养学生迁移、应用的能力，同时渗透着分类讨论思想.

（4）回忆：在第二章的学习中，是否有关于中点的知识？它们是依托于谁展开研究学习的？

教学说明  通过问题（4）的思考，期待学生能够搜寻头脑中的记忆存储，让学习第二章的场景在他们的头脑中重现，引出本节复习课的“主阵地”——数轴.

2. 例题导学，串联重点知识

例题：已知点A，B，C表示的数分别为1，2，-3，

（1）请在数轴上标记出A，B，C三点的位置，并比较它们的大小.

教学说明  由“课前导学”引出数轴之后，再用一个简单的画图问题帮助学生回忆数轴的三要素，以及它的基本功能——表示有理数（七年级第一学期学生认识的数域为有理数）. 这不同于以往常见的复习课教学，没有直接问学生“什么是数轴的三要素”，因为笔者在日常教学中通过观察发现，大部分学生能够快速说出数轴的三要素，但他们并没有理解“为什么要有数轴的三要素”，也不清楚这三要素的具体功能是什么，基本上都是“知其然而不知其所以然”. 因此，利用学生自己画数轴这一教学活动，让学生切实地感受三要素是必需的，也能由此理解三要素的具体功能.

（2）与点A的距离为3的点表示的数是____，B，C两点之间的距离为____.

思考：此问题能让你回忆起哪个公式？

（3）数轴上的点D到A，C两点的距离相等，则点D表示的数是_____.

思考：此问题能让你回忆起哪个公式？

教学说明  通过问题（2）帮助学生回忆如何表示数轴上两点之间的距离;问题（3）是问题（2）的延续，通過距离相等引出中点公式，这也与“课前导学”提出的问题前后呼应. 有一部分学生是直接通过数轴的“形”找到点D的位置的，求出了点D表示的“数”. 教师在肯定其思考的正确性之时要引导学生发现：解决问题时可以从“数”与“形”两方面去思考.

（4）若点E，F表示的数分别为x，y：

①当x-1=x+3时，x的取值为______;（你还会另一种方法吗？）

②x-1+x+3的最小值为______，此时x的取值为______;

③若（x-1+x+3）（y-3+y+2）=20，求x-3y的最大值和最小值.

教学说明  问题（4）-①从表面上看是一个绝对值方程，似乎是一个超纲问题，但其可以转化为a=b这一模型，这个模型对学生而言，不难理解. 接下来，教师追问：“你还会另一种方法吗？”把学生的目光从代数方面引向几何方面——由于在解决问题（3）时刚刚总结过，因此学生能很快想到几何方法——并且发现问题（3）与问题（4）-①其实是同一个问题. 通过这样的引导，学生对绝对值的几何意义的理解会更加深入，也能体会到数学知识之间的紧密联系，这比教师一味说教的效果要好很多. 问题（4）-②是对绝对值的几何意义及应用的深度挖掘，此时教师可以追问：“3个绝对值相加你会做吗？4个呢？5个呢？你有什么发现？”问题（4）-③是继续对绝对值的几何意义及应用的深度挖掘，显示了其与代数式求值的紧密联系，旨在让学生深切感受数学的整体性.

（5）若动点P，Q分别从A，C同时出发，向右匀速运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒3个单位长度.设运动时间为t秒，

①当t=____时，P，Q到原点的距离相等;

②在运动开始时，数轴上有一点M，从Q点出发，在Q，P两点之间不间断地来回运动，点M的速度为每秒2个单位长度. 当P，Q两点重合时，点M的运动路程为____.

思考：你能给问题（5）设计一个生活中的情境吗？

教学说明  问题（5）是数轴上的动点问题. 问题（5）-①看似中点问题，但其实它是有2种情形的——一是P，Q在原点两侧，二是P，Q在原点右侧. 如果用代数解法，那么它就只是一个绝对值相等问题. 这样做的好处是不会漏解，而且渗透着数形结合思想，还与前面复习的知识遥相呼应，体现了知识的一致性、系统性. 问题（5）-②既是一个动点问题，又可以赋予适当的情境变为一个行程类的应用题. 北师大版教材有一个“联络员”的问题与它高度相似，很容易唤醒学生去联想.

3. 考题检学，检验复习效果

（2017·龙华改编）如图3所示，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为-4，C为线段AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒.

（1）点C表示的数是____;

（2）当t=____时，点P到达点A处;

（3）点P表示的数是____（用含字母t的代数式表示）;

（4）当t=____时，线段PC的长为2个单位长度;

（5）若动点Q同时从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，那么，当t=____时，PQ的长为1个单位长度.

（6）若数轴上一动点M所表示的数为x，则x-6+x+4的最小值为____.

教后思考

1. 期末复习课应是一个逐步唤醒的过程

期末复习课是在学完一个学期的课程之后进行的. 根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的指示，对所学的数学知识、思想方法进行全面回顾、系统整理，通过板块整合、问题导学等方式全方位扫清死角，拓宽思路，以旧引新[1]. 由于时间有限，不可能像讲授新课时做到面面俱到;但简单地复述知识要点，效果又不理想. 笔者认为，好的方式应是教师设置合理的问题情境，让学生在解决问题的过程中经历回忆、思考、运用、反思等一系列环节，将一些遗忘的知识、方法唤醒;并且在反思的过程中获得新知以外的一些数学知识和经验，将这些知识和经验存储在大脑之中，以便以后遇到类似问题时能够及时调用. 本节课通过设置“课前导学”，将线段中点的基本概念以多种形式的填空题呈现在学生面前. 起点低又不刻板，既让学生容易入手，又有一定的思维量. 通过合理的问题帮助学生回忆线段中点的相关概念与典型问题，进而激活学生的思维. 让学生回忆本学期学过哪些与中点相关的知识，从而引入本节课的主题，使得学生可以快速进入课堂.

2. 期末复习课应是一个逐步串联的过程

期末复习课不应该是某几节课或某一个章节的重复学习. 教师在备课时，应站在全册书的角度去看待本学期所学的知识. 教师应该更加关注课程之间的联系、章节之间的联系、知识之间的联系、方法之间的联系，甚至代数与几何之间的联系. 本节课从线段中点的概念入手，引导学生回忆起数轴这一重要概念，通过画数轴这一教学活动让学生充分体会数轴三要素的必要性和重要性. 通过合理的问题设置，把两点之间的距离、线段中点、绝对值的几何意义等相关知识串联起来，让学生在思考与解决问题的过程中体会它们之间的内在联系，体会数学的前后一致、逻辑连贯、一以贯之.

3. 期末复习课应是一个完善体系的过程

学习新知是一个循序漸进的过程，这就产生了或多或少的碎片化知识. 笔者尝试用问题化学习消除复习课效果不佳的弊端. 问题化学习就是通过系列的问题来引发持续性学习行为的活动，它要求学习活动以学习者对问题的自主发现与提出为开端，用有层次、结构化、可拓展、可持续的问题系统贯穿学习过程和整合各种知识，通过系列问题的解决，达到学习的有效迁移，实现知识的连续建构[2]. 章节复习可以使得章节内部的知识更加系统化. 期末复习课可以站在全局的角度来看待所学的数学知识，系统地梳理所学的数学知识，将其适当地放入已有的知识体系，不断地完善知识体系. 学生经历本节课的复习，可以感受到本学期章节之间的紧密联系. 第二章的“数轴”、第三章的“代数式求值”、第四章的“线段中点”、第五章的“一元一次方程及其应用”，它们虽然属于不同的章节，但这些知识都有着非常紧密的联系，并且在数学中扮演着非常重要的角色. 学生在复习的过程中，不断地将这些知识、方法，以及分类讨论思想、数形结合思想等恰当地融入自己的知识体系，形成并提升自己的数学核心素养.

参考文献：

[1]黄小燕. 核心素养导向的初中数学复习课教学策略[J]. 广西教育学院学报，2017（04）.

[2]蔡建新. 问题化学习，优化初中数学复习课教学[J]. 中学数学月刊，2018（10）.